金融工程概论：Ch13 二叉树简介.ppt

Click to edit Master title style,Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,*,*,第,13,章 二叉树简介,内容提纲,11.1,单步二叉树与无套利方法,11.2,风险中性定价及其与无套利的关系,11.3,两步二叉树,11.411.5,看跌期权与美式期权,11.6 Delta,对冲,11.7,u,和,d,与波动率,11.1,单步二叉树与无套利,1.1,引例,假设股票的当前价格是,20,美元，,3,个月后，该股票的价格可能为,22,美元或者,18,美元，一个欧式看涨期权的敲定价格是,21,美元，确定期权的当前价格。,A stock price is currently$20,，,K,=,21,In 3 months it will be either$22 or$18,3,个月股价,=$18,期权价格,=0,美元,3,个月股价,=$22,期权价格,=1,美元,当前价格,=$20,建立一个无风险投资组合：即无论股价如何变化，该组合的价值保持不变,购买,股股票；,卖空一个欧式看涨期权。,如果,22,D,1=18,D,or,D,=0.25,，,则投资组合无风险。,0.25,股股票,该组合在到期时的价值,如果,S,=22,，则,V,=220.25-1=4.5,如果,S,=18,，则,V,=18*0.25=4.5,该组合在当前的价格：由无套利原理，组合的价格为其价值的无风险贴现（假设无风险利率,12%,）：,期权的价格：设股票当前的价格为,20,，期权的价格为,f,，则,20*0.25-,f,=4.367,得,f,=0.633,1.2,推广：一般公式,记号如图,S,0,u,u,S,0,d,d,S,0,涨,跌,组合的价值,如果股票上涨到 ，则组合的价值为,如果股票下跌到,则组合的价值为,由两种情形组合的价值相同,，,可计算股票头寸的数量,D,期权的价格,由构造组合的成本应,=,组合价值的贴现：,即期权的价格为：,代入,D,即有：其中,(11.2),例,P166,：在前例中，有,因此,1.3,股票收益期望与期权价格的无关性,股票上涨或下跌一般有不同的概率；,上述期权的定价与股票上涨或下跌的概率无关,根据股票价格定价，其实已经将股价的变化概率考虑在内。,11.2,风险中性定价,关于公式,(11.2),假设随机变量,X,表示期权在,T,时刻的价值，并设,期权的当前的价格即是其期望价值的无风险贴现，即,p,:,可解释为股票上涨的概率，,p as a Probability,S,0,u,u,S,0,d,d,S,0,p,(1,p,),考虑股票的期望价格：,当股票上涨的概率为,p,时，有,或者,代入,p,的值，即有,（,11.4风险中性世界：,投资者对风险不要求任何补偿，所有证券的,期望收益,等于无风险收益。,(11.4),表明：当股票上涨的概率,p,由,(11.3),定义时，股票的期望收益率等于无风险利率，即,p,是在风险中性世界里股票上涨的概率；,(11.2),表明：期权的价格等于风险中性世界里期权期望价值的无风险贴现,2.1,应用风险中性定价的举例,计算股价上涨的概率,p,由公式,由公式,(11.4),即,即得,p,=0.6523,或者,计算期权价格,f,根据公式,(11.2),由,结论：风险中性定价与无套利方法等价,!,贴现，即得,0.6523*1+0.3477*0=0.6523,2.2,现实世界与风险中性世界,计算股价上涨的真实概率,p*,设股票在现实世界中的期望收益率为,16%,，则,期权的期望收益为,p,*,1+(1-p,*,)0=p,*,在现实世界中期权的期望收益很难求得,不能确定期权在真实世界里的期望收益率，无法获得贴现利率,得,22 p*+18(1-p*)=20 e,0.16*3/12,p*=0.7041,11.3,两步二叉树,引例,K,=21,r,=12%,p,=0.6523,20,22,18,24.2,19.8,16.2,10%,p,-10%,1-,p,-10%,p,*,p,-10%,10%,-10%,(1-,p,)*(1-,p,),t,0,0.25,0.5,节点,B,的价值e,0.12*0.25,(0.6523*,3.2,+0.3477*,0,)=,2.0257,节点,A,的价值,e,0.12*0.25,(0.6523*,2.0257,+0.3477*,0,)=,1.2823,20,1.2823,22,18,24.2,3.2,19.8,0.0,16.2,0.0,2.0257,0.0,A,B,C,D,E,F,两步两叉树的另一计算步骤,(,注：适用于欧式期权,),步长为 ，一步两叉树的期权价格计算公式为,其中,于是：,两步两叉树的一般结论,11.4,看跌期权实例,假设,K,=52,D,t,=1year,u,=1.2,d,=0.8,r,=5%,，,p,=0.6282由,(11.2),50,4.1923,60,40,72,0,48,4,32,20,1.4147,9.4636,A,B,C,D,E,F,由,(11.10),可得,方法总结,从树的末尾出发，以倒推的形式到树的起点，在树的每个节点处计算期权的价值（价格），直到树的起点止。,11.5,美式期权,定价方法,从树的末尾出发，以倒推的形式到树的起点，在树的每个节点处计算期权的价值（价格），直到树的起点止，由,(11.5),计算。,在中间,(,包括起点,),的每个节点处，验证提前执行是否最优，即假设提前执行，比较与不提前执行，期权的价值。,50,5.0894,60,40,72,0,48,4,32,20,1.4147,12.0,A,B,C,D,E,F,举例,：,一个美式看跌期权，假设,K,=52,D,t,=1yr,u,=1.2,d,=0.8,，,r,=5%,，,p,=0.6282(,由,(11.2),9.4636,提前,执行,不提前,执行,不提前,执行,2,11.6,Delta,定义：,Delta(,D,),是期权价格变化与标的股票价格变化的比率。,意义：,对于期权的空头，为了构造无风险组合，往往需要通过持有,(,卖空,),标的股票来对冲风险，,Delta,应该持有,(,卖空,),标的股票的数量，这也称为,Delta,对冲方法或期权的复制。,举例,假设当前股价,S,=20,，,K,=,21,Dt,=0.25,18,0,22,1,20,20,1.2823,22,18,24.2,3.2,19.8,0.0,16.2,0.0,2.0257,0.0,A,B,C,D,E,F,在第,1,步，,Delta=,如果在第,1,步，股价上涨，则在第,2,步,Delta=,看涨期权,50,4.1923,60,40,72,0,48,4,32,20,1.4147,9.4636,A,B,C,D,E,F,在第,1,步，,Delta=,在第,2,步,Delta=,看跌期权,结论,在二叉树中，各个节点处的,Delta,不同，这实际反映了,Delta,值将随时间变化而变化；,看涨期权的,Delta,是正的，表示需要买入标的，看跌期权的,Delta,是负的，表示需要卖出标的。,11.7,选取,u,和,d,使得二叉树与波动率吻合,问题,股票价格是一个随机变量，在二叉树中，如何反映了股价的真实波动率？,二叉树中的,u,和,d,是反应股价波动率的参数，这实际上是如何选择，使得二叉树与股票真实的波动率吻合。,现实世界,风险中性世界,7.1,现实世界,设股票,在,D,t,时间间隔内收益率记为,假设股票,价格的,年波动率,为,s,年期望收益为,m,即,那么股票,在,D,t,时间间隔内波动率和期望收益率为,股票价格的期望与二叉树中股票价格期望一致，即,二叉树中，股票价格波动率应与现实世界的波动率一致，即,可得,(11.11),所以,即有,忽略时间间隔的高阶项，可得,7.2,风险中性世界,假设在风险中性世界里，股票的期望收益率等于无风险收益率，因此，,(11.11),成为,股票价格的期望,其中,风险中性世界股票价格波动率,代入,p,代入,u,d,忽略时间的高阶项,结论：,当从现实世界转向风险中性世界时，股价的收益率期望将会发生变化，但收益的波动率,(,即股价波动率,),不会改变；,当从一组风险偏好转向另一组风险偏好时，变量的期望收益率会发生变化，但波动率保持不变。,本质原因：给定,(,则,u,和,d,亦给定,),，,2,个的世界股票上升概率,p,是不同的，这亦等价于 的不同，而,和 是没有关系的（互不影响），因此,2,个世界里的,是相同的。,7.3,美式期权举例,考虑一个美式看跌期权，如图，,S,0,=50,k=52,r,=5%,，,D,t,=2,s=30%,由,(11.13),及,(11.14),再由,(11.16),及,(11.15),注：,这里与前面假设,u,=1.2,d,=0.8,得出的结果不同；利用,11.5,节的方法可以算出此看跌期权的价格为,7.43,。,