管理统计学：第7章 参数估计.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,4-,*,统计学第四版,第,7,章 参数估计,广东工业大学,管理学院,引例,估计树的平均直径时样本大小确定,一家木材公司刚刚获得了一片包含有成千上万树木的土地权。该木材公司必须估计木材的数量，以确定他们争取该土地权的努力将是有利可图的。为此，他们必须估计树木的平均直径。他们决定对树木平均直径估计的误差在,1,英寸范围内且置信水平为,90,。根据林学与该土地的知识猜想这片树木的直径服从标准差为,6,英寸的正态分布。使用置信区间的计算公式，负责估计的公司经理决定，他应该取,98,棵树为样本。采样了,98,树木后，该经理计算样本均值为,25,英寸。假设在他完成了他的采样和计算后，他发现，实际的标准差为,12,英寸。他得到的结果是否令人满意呢？,大学生每周上网花多少时间？,为了解学生每周上网花费的时间，中国人民大学公共管理学院的,4,名本科生对全校部分本科生做了问卷调查。调查的对象为中国人民大学在校本科生，调查内容包括上网时间、途径、支出、目的、关心的校园网内容，以及学生对收费的态度，包括收费方式、价格等,问卷调查由调查员直接到宿舍发放并当场回收。对四个年级中每年级各发,60,份问卷，其中男、女生各,30,份。共收回有效问卷共,200,份。其中有关上网时间方面的数据经整理如下表所示,大学生每周上网花多少时间回答类别,人数（人）,频率（,%,）,3,小时以下,32,16,3,6,小时,35,17.5,6,9,小时,33,16.5,9,12,小时,29,14.5,12,小时以上,71,35.5,合计,200,100,平均上网时间为,8.58,小时，标准差为,0.69,小时。全校学生每周的平均上网时间是多少？每周上网时间在,12,小时以上的学生比例是多少？你做出估计的理论依据是什么？,第,7,章 参数估计,7.1,参数估计的一般问题,7.2,一个总体参数的区间估计,7.3,两个总体参数的区间估计,7.4,样本量的确定,学习目标,估计量与估计值的概念,点估计与区间估计的区别,评价估计量优良性的标准,一个总体参数的区间估计方法,两个总体参数的区间估计方法,样本量的确定方法,7.1,参数估计的一般问题,7.1.1,估计量与估计值,7.1.2,点估计与区间估计,7.1.3,评价估计量的标准,估计量与估计值,参数估计的概念,(parameter estimation),参数估计是指用样本统计量去估计总体的参数,具体包括点估计与区间估计两类,实践中常常不可能或难以获得总体的全部数据，因此需要从总体中抽取样本进行调查，进而利用样本提供的信息来推断总体特征。参数估计就是一种利用样本信息推断总体特征的方法,估计量：用于估计总体参数的样本统计量,如样本均值，样本比例,样本方差等,例如,:,样本均值就是总体均值,的一个估计量,参数用,表示，估计量,用 表示,估计值：估计参数时计算出来的统计量的具体值,如果样本均值,x,=80,，则,80,就是,的估计值,估计量与估计值,(estimator&estimated value),点估计与区间估计,点估计,(point estimate),用样本的估计量的某个取值直接作为总体参数的估计值,例如：用样本均值直接,作为,总体均值的估计；用两个样本均值之差直接,作为,总体均值之差的估计,不足：无法给出估计值接近总体参数程度的信息,虽然在重复抽样条件下，点估计的均值可望等于总体真值，但由于样本是随机的，抽出一个具体的样本得到的估计值很可能不同于总体真值,一个点估计量的可靠性是由它的抽样标准误差来衡量的，这表明一个具体的点估计值无法给出估计的可靠性的度量,常用的点估计方法,矩估计,粗略地讲就是用样本的矩估计总体的相应矩,例如用样本的一阶原点矩,(,样本均值,),估计总体的一阶原点矩,(,总体均值,);,用样本的二阶中心矩,(,样本方差,S,n,2,),估计总体的二阶中心矩,(,总体方差,),另一种常用的估计方法是极大似然法,.,它依据的是极大似然原理,即如果若干个可能事件中某一个发生时,那么该事件发生的概率应该最大,.,设某炸药厂一天中发生着火现象的次数,X,【,例,】,服从,例：,英语六级未通过率,假设某财经大学的学生在毕业时尚未通过六级的比率为,p,，现从中随机抽取,100,人调查其档案，发现其中有,10,人六级没过，试用极大似然法估计总体参数,未通过六级的比例,p,。,解,用,X,表示任意抽取的一个毕业生六级通过的情况：,X,=,1,，若该生通过了六级,0,，若该生未通过六级,则,X,B(1,p,).,于是对于,x,=0,1,有,P(,X=x,)=,p,x,(1,p,),1,x,英语六级未通过率,对于来自于总体,X,的,100,个样本观测值,x,1,x,2,x,100,，其中恰好有,10,个取值为,1,，其他为零。,样本观察值的联合概率分布函数（似然函数）为,两边取对数得对数似然函数为：,上式关于,p,求导数并令导数为,0,，解得：其中,q,=1,p.,注：用矩估计法可得到同样结果,区间估计,(interval estimate),在点估计的基础上，给出总体参数估计的一个区间范围，该区间由样本统计量加减估计误差而得到,根据样本统计量的抽样分布能够对样本统计量与总体参数的接近程度给出一个概率度量,比如，某班级平均分数在,75,85,之间，置信水平是,95%,样本统计量,(,点估计,),置信区间,置信下限,置信上限,区间估计的图示,x,95%,的样本,-1.96,x,+1.96,x,99%,的样本,-2.58,x,+2.58,x,90%,的样本,-1.65,x,+1.65,x,将构造置信区间的步骤重复很多次，置信区间包含总体参数真值的次数所占的比例称为置信水平,表示为,(1-,(,称为,显著性水平,),是总体参数,未在,区间内的比例,常用的置信水平值有,99%,95%,90%,相应的,为,0.01,，,0.05,，,0.10,置信水平,(,confidence level,),由样本统计量所构造的总体参数的估计区间称为置信区间,统计学家在某种程度上确信这个区间会包含真正的总体参数，所以给它取名为置信区间,用一个具体的样本所构造的区间是一个特定的区间，我们无法知道这个样本所产生的区间是否包含总体参数的真值,我们只能是希望这个区间是大量包含总体参数真值的区间中的一个，但它也可能是少数几个不包含参数真值的区间中的一个总体参数以一定的概率落在这一区间的表述是错误的,置信区间,(,confidence interval,),置信区间,(,95%,的置信区间,),重复构造出,的,20,个,置信区间,点估计值,评价估计量的标准,无偏性,(,unbiasedness,),无偏性：,估计量抽样分布的数学期望等于被估计的总体参数,P,(,),B,A,无偏,有偏,有效性,(,efficiency,),有效性：,对同一总体参数的两个无偏点估计,量，有更小标准差的估计量更有效,A,B,的抽样分布,的抽样分布,P,(,),一致性,(,consistency,),一致性：,随着样本量的增大，估计量的,值越来越接近被估计的总体参数,A,B,较小的样本量,较大的样本量,P,(,),7.2,一个总体参数的区间估计,7.2.1,总体均值的区间估计,7.2.2,总体比例的区间估计,7.2.3,总体方差的区间估计,一个总体参数的区间估计,总体参数,符号表示,样本统计量,均值,比例,方差,总体均值的区间估计,(,正态总体、,已知，或非正态总体、大样本,),总体均值的区间估计,(,正态总体分布已知或大样本,),1.,假定条件,总体服从正态分布,且方差,(,),已,知,如果不是正态分布，可由正态分布来近似,(,n,30),使用正态分布统计量,z,总体均值,在,1-,置信水平下的,置信区间为,或大样本,总体均值的区间估计,(,例题分析),例,:,一家酸奶生产企业以生产杯装酸奶为主，为对食品质量进行监测，企业质检部门经常要进行抽检，以分析每杯重量是否符合要求。现从某天生产的一批酸奶中随机抽取了,25,杯，测得这,25,杯的平均重量是,250.2g,。已知产品重量的分布服从正态分布，且总体标准差为,2.5g,。试估计该批产品平均重量的置信区间，置信水平为,95%,总体均值的区间估计,(,例题分析,),解：,已知,N,(,，,2.5,2,),，,n,=25,1-,=95%,，,z,/2,=1.96,。根据样本数据计算得：。由于是正态总体，且方差已知。,总体均值,在,1-,置信水平下的置信区间为,该食品平均重量的置信区间为,249.22g251.18g,总体均值的区间估计,(,例题分析,),【,例,】,一家保险公司收集到由,36,个,投保人组成的随机样本，得到每个投保人的年龄,(,单位：周岁,),数据如下表。试建立投保人年龄,90%,的置信区间,36,个投保人年龄的数据,23,35,39,27,36,44,36,42,46,43,31,33,42,53,45,54,47,24,34,28,39,36,44,40,39,49,38,34,48,50,34,39,45,48,45,32,总体均值的区间估计,(,例题分析,),解：,已知,n,=36,1-,=90%,，,z,/2,=1.645,。根据样本数据计算得：，,总体均值,在,1-,置信水平下的置信区间为,投保人平均年龄的置信区间为,37.37,岁,41.63,岁,总体均值的区间估计,(,正态总体、,未知、小样本,),总体均值的区间估计,(,小样本,),1.,假定条件,总体服从正态分布,但方差,(,),未知,小样本,(,n,30),使用,t,分布统计量,总体均值,在,1-,置信水平下的,置信区间为,t,分布,t,分布是类似正态分布的一种对称分布，它通常要比正态分布平坦和分散。一个特定的分布依赖于称之为自由度的参数。随着自由度的增大，分布也逐渐趋于正态分布,x,t,分布与标准正态分布的比较,t,分布,标准正态分布,t,不同自由度的,t,分布,标准正态分布,tdf,=13),t,(,df,=5),z,总体均值的区间估计,(,例题分析,),【,例,】,已知某种灯泡的寿命服从正态分布，现从一批灯泡中随机抽取,16,只，测得其使用寿命,(,单位：,h),如下。建立该批灯泡平均使用寿命,95%,的置信区间,16,灯泡使用寿命的数据,1510,1520,1480,1500,1450,1480,1510,1520,1480,1490,1530,1510,1460,1460,1470,1470,总体均值的区间估计,(,例题分析,),解：,已知,N,(,，,2,),，,n,=16,1-,=95%,，,t,/2,=2.131,根据样本数据计算得：，,总体均值,在,1-,置信水平下的置信区间为,该种灯泡平均使用寿命的置信区间为,1476.8,h,1503.2,h,总体比例的区间估计,总体比例的区间估计,1.,假定条件,总体服从二项分布,可以由正态分布来近似,使用正态分布统计量,z,3.,总体比例,在,1-,置信水平下,的置信区间为,总体比例的区间估计,(,例题分析,),【,例,】,某城市想要估计下岗职工中女性所占的比例，随机地抽取了,100,名下岗职工，其中,65,人为女性职工。试以,95%,的置信水平估计该城市下岗职工中女性比例的置信区间,解：,已知,n,=100,，,p,65%,1,-,=95%,，,z,/2,=1.96,该城市下岗职工中女性比例的置信区间为,55.65%74.35%,总体方差的区间估计,总体方差的区间估计,1.,估计一个总体的方差或标准差,2.,假设总体服从正态分布,总体方差,2,的点估计量为,s,2,且,4.,总体方差在,1-,置信水平下的置信区间为,总体方差的区间估计,(,图示,),2,2,1-,2,总体方差的,1-,的置信区间,自由度为,n,-1,的,2,总体方差的区间估计,(,例题分析,),【,例,】,一家食品生产企业以生产袋装食品为主，现从某天生产的一批食品中随机抽取了,25,袋，测得每袋重量如下表所示。已知产品重量的分布服从正态分布。以,95%,的置信水平建立该种食品重量方差的置信区间,25,袋食品的重量112.5,101.0,103.0,102.0,100.5,102.6,107.5,95.0,108.8,115.6,100.0,123.5,102.0,101.6,102.2,116.6,95.4,97.8,108.6,105.0,136.8,102.8,101.5,98.4,93.3,总体方差的区间估计,(,例题分析,),解,:,已知,n,25,，,1-,95%,根据样本数据计算得,s,2,=93.21,2,置信度为,95%,的置信区间为,该企业生产的食品总体重量标准差的的置信区,间为,7.54g13.43g,一个总体参数的区间估计,(,小结,),7.3,两个总体参数的区间估计,7.3.1,两个总体均值之差的区间估计,7.3.2,两个总体比例之差的区间估计,7.3.3,两个总体方差比的区间估计,两个总体参数的区间估计,总体参数,符号表示,样本统计量,均值差,比例差,方差比,两个总体均值之差的区间估计,(,独立大样本,),两个总体均值之差的估计,(,大样本,),1.,假定条件,两个,总体都服从正态分布，,1,、,2,已知,若不是正态分布,可以用正态分布来近似,(,n,1,30,和,n,2,30),两个样本是独立的随机样本,2.,使用正态分布统计量,z,两个总体均值之差的估计,(,大样本,),1.,1,，,2,已知时，,两个总体均值之差,1,-,2,在,1-,置信水平下的置信区间为,1,、,2,未知时，,两个总体均值之差,1,-,2,在,1-,置信水平下的置信区间为,两个总体均值之差的估计,(,例题分析,),【,例,】,某地区教育管理部门想估计两所中学的学生高考时的英语平均分数之差，为此在两所中学独立抽取两个随机样本，有关数据如右表。建立两所中学高考英语平均分数之差,95%,的置信区间,两个样本的有关数据,中学,1,中学,2,n,1,=46,n,1,=33,S,1,=5.8,S,2,=7.2,English,两个总体均值之差的估计,(,例题分析,),解,:,两个总体均值之差在,1-,置信水平下的置信区间为,两所中学高考英语平均分数之差的置信区间为,5.03,分,10.97,分,两个总体均值之差的区间估计,(,独立小样本,),两个总体均值之差的估计,(,小样本,:,1,2,=,2,2,),1.,假定条件,两个,总体都服从正态分布,两个总体方差未知但相等：,1,=,2,两个独立的小样本,(,n,1,30,和,n,2,30),2.,总体方差的合并估计量,估计,量,x,1,-,x,2,的抽样标准差,两个总体均值之差的估计,(,小样本,:,1,2,=,2,2,),两个样本均值之差的,t,统计量,两个总体均值之差,1,-,2,在,1-,置信水平下的置信区间为,两个总体均值之差的估计,(,例题分析,),【,例,】,为估计两种方法组装产品所需时间的差异，分别对两种不同的组装方法各随机安排,12,名工人，每个工人组装一件产品所需的时间,(,单位：,min),下如表,。,假定两种方法组装产品的时间服从正态分布，且方差相等。试以,95%,的置信水平建立两种方法组装产品所需平均时间差值的置信区间,两个方法组装产品所需的时间,方法,1,方法,2,28.3,36.0,27.6,31.7,30.1,37.2,22.2,26.0,29.0,38.5,31.0,32.0,37.6,34.4,33.8,31.2,32.1,28.0,20.0,33.4,28.8,30.0,30.2,26.5,两个总体均值之差的估计,(,例题分析,),解,:,根据样本数据计算得,合并估计量为,两种方法组装产品所需平均时间之差的置信区间为,0.14min7.26min,两个总体均值之差的估计,(,小样本,:,1,2,2,2,),1.,假定条件,两个,总体都服从正态分布,两个总体方差未知且不相等：,1,2,两个独立的小样本,(,n,1,30,和,n,2,30),2.,使用统计量,两个总体均值之差的估计,(,小样本,:,1,2,2,2,),两个总体均值之差,1,-,2,在,1-,置信水平下的置信区间为,自由度,若非整数，将截尾取整,两个总体均值之差的估计,(,例题分析,),【,例,】,沿用前例。假定第一种方法随机安排,12,名工人，第二种方法随机安排,8,名工人，即,n,1,=12,，,n,28,，所得的有关数据如表。假定两种方法组装产品的时间服从正态分布，且方差不相等。以,95%,的置信水平建立两种方法组装产品所需平均时间差值的置信区间,两个方法组装产品所需的时间,方法,1,方法,2,28.3,36.0,27.6,31.7,30.1,37.2,22.2,26.5,29.0,38.5,31.0,37.6,34.4,33.8,32.1,28.0,20.0,28.8,30.0,30.2,两个总体均值之差的估计,(,例题分析,),解,:,根据样本数据计算得,自由度为,两种方法组装产品所需平均时间之差的置信区间为,0.192min9.058min,两个总体均值之差的区间估计,(,匹配样本,),两个总体均值之差的估计,(,匹配大样本,),假定条件,两个匹配的大样本,(,n,1,30,和,n,2,30),两个总体各观察值的配对差服从正态分布,两个总体均值之差,d,=,1,-,2,在,1-,置信水平下的置信区间为,对应差值的均值,对应差值的标准差,两个总体均值之差的估计,(,匹配小样本,),假定条件,两个匹配的小样本,(,n,1,30,和,n,2,30),两个总体各观察值的配对差服从正态分布,两个总体均值之差,d,=,1,-,2,在,1-,置信水平下的置信区间为,两个总体均值之差的估计,(,例题分析,),【,例,】,由,10,名学生组成一个随机样本，让他们分别采用,A,和,B,两套试卷进行测试，结果如下表。试建立两种试卷分数之差,d,=,1,-,2,95%,的置信区间,10,名学生两套试卷的得分,学生编号,试卷,A,试卷,B,差值,d,1,78,71,7,2,63,44,19,3,72,61,11,4,89,84,5,6,91,74,17,5,49,51,-2,7,68,55,13,8,76,60,16,9,85,77,8,10,55,39,16,STATISTICS,两个总体均值之差的估计,(,例题分析,),解,:,根据样本数据计算得,两种试卷所产生的分数之差的置信区间为,6.33,分,15.67,分,两个总体比例之差区间的估计,1.,假定条件,两个,总体服从二项分布,可以用正态分布来近似,两个样本是独立的,2.,两个总体比例之差,1,-,2,在,1-,置信水平下的置信区间为,两个总体比例之差的区间估计,两个总体比例之差的估计,(,例题分析,),【,例,】,在某个电视节目的收视率调查中，农村随机调查了,400,人，有,32%,的人收看了该节目；城市随机调查了,500,人，有,45%,的人收看了该节目。试以,95%,的置信水平估计城市与农村收视率差别的置信区间,1,2,两个总体比例之差的估计,(,例题分析,),解,:,已知,n,1,=500,，,n,2,=400,，,p,1,=45%,，,p,2,=32%,，,1-,=95%,，,z,/2,=1.96,1,2,置信度为,95%,的置信区间为,城市与农村收视率差值的置信区间为,6.68%19.32%,两个总体方差比的区间估计,两个总体方差比的区间估计,1.,比较两个总体的方差比,用两个样本的方差比来判断,如果,S,1,2,/,S,2,2,接近于,1,说明两个总体方差很接近,如果,S,1,2,/,S,2,2,远离,1,说明两个总体方差之间存在差异,总体方差比在,1-,置信水平下的置信区间为,两个总体方差比的区间估计,(,图示,),F,F,1-,F,总体方差比的,1-,的置信区间,方差比置信区间示意图,两个总体方差比的区间估计,(,例题分析,),【,例,】,为了研究男女学生在生活费支出,(,单位：元,),上的差异，在某大学各随机抽取,25,名男学生和,25,名女学生，得到下面的结果,男学生：,女学生：,试以,90%,置信水平估计男女学生生活费支出方差比的置信区间,两个总体方差比的区间估计,(,例题分析,),解,:,根据自由度,n,1,=25-1=24,，,n,2,=25-1=24,，查得,F,/2,(24)=1.98,，,F,1-,/2,(24)=1/1.98=0.505,1,2,/,2,2,置信度为,90%,的置信区间为,男女学生生活费支出方差比的置信区间为,0.471.84,两个总体参数的区间估计,(,小结,),7.4,样本量的确定,7.4.1,估计总体均值时样本量的确定,7.4.2,估计总体比例时样本量的确定,7.4.3,估计两个总体均值之差时样本量的确定,7.4.4,估计两个总体比例之差时样本量的确定,估计总体均值时样本量的确定,估计总体均值时样本量,n,为,样本量,n,与总体方差,2,、估计误差,E,、可靠性系数,Z,或,t,之间的关系为,与总体方差成正比,与估计误差的平方成反比,与可靠性系数成正比,样本量的圆整法则：当计算出的样本量不是整数时，将小数点后面的数值一律进位成整数，如,24.68,取,25,，,24.32,也取,25,等等,估计总体均值时样本量的确定,其中：,估计总体均值时样本量的确定,(,例题分析,),【,例,】,拥有工商管理学士学位的大学毕业生年薪的标准差大约为,2000,元，假定想要估计年薪,95%,的置信区间，希望估计误差为,400,元，应抽取多大的样本量？,估计总体均值时样本量的确定,(,例题分析,),解,:,已知,=2000,，,E,=400,1-,=95%,，,z,/2,=1.96,应抽取的样本量为,即应抽取,97,人作为样本,引例的解,在采样之前，负责预测的经理对样本容量的决定的计算如下：,首先他设计的估计误差是,E,=1,，而置信水平为,90%(1-,=0.90).,因此,=0.10,且,/2=0.05.,于是,z,/2,=1.645.,总体标准差假设为,=6.,故,引例的解（续）,但是在采样之后，该经理计算估计出树的平均直径是,25,英寸，并发现标准差实际是,=12.,因此置信水平为,90%,的置信区间是,可见估计误差并非设计的,1,英寸而是,2,英寸，因此估计的精度并没有达到要求。,估计总体比例时样本量的确定,根据比例区间估计公式可得样本量,n,为,估计总体比例时样本量的确定,E,的取值一般小于,0.1,未知时，可取使方差达到最大的值,0.5,其中：,估计总体比例时样本量的确定,(,例题分析,),【,例,】,根据以往的生产统计，某种产品的合格率约为,90%,，现要求估计误差为,5%,，在求,95%,的置信区间时，应抽取多少个产品作为样本？,解,:,已知,=90%,，,=0.05,，,z,/2,=1.96,，,E,=5%,应抽取的样本量,为,应抽取,139,个产品作为样本,本章小结,参数估计的一般问题,一个总体参数的区间估计,两个总体参数的区间估计,样本量的确定,结 束,THANKS,