1、单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,华长生制作,*,*,Numerical Value Analysis,第五章 解线性方程组的直接法,5.5-5.6,误差分析,华长生制作,1,范数,是对向量和矩阵的一种度量,实际上是二维,和三维向量长度概念的一种推广,数域,:,数的集合,对加法和乘法封闭,线性空间,:,可简化为向量的集合,对向量的加法和,数量乘法封闭,二维向量和三维向量都可以度量其大小和长度,高维向量的,长度,能否定义呢,?,也称为向量空间,5.,-5.,误差分析,华长生制作,2,定义,1.,一、,向量和矩阵的范数,华长生制作,3,-(1),-
2、2),-(3),华长生制作,4,显然,并且由于,-(4),华长生制作,5,例,1.,求下列向量的各种常用范数,解,:,华长生制作,6,向量范数的性质,连续性,:,等价性,:,按范数收敛,:,华长生制作,7,定义,2.,华长生制作,8,例2.,不难验证其满足定义,2,的,4,个条件,称为,Frobenius,范数,简称,F-,范数,而且可以验证,tr,为矩阵的迹,-(5),-(6),类似向量的,2-,范数定义：,华长生制作,9,定义,3.,-(7),简称为,从属范数,或,算子范数,华长生制作,10,显然，由定义不难推出,定义,4.,由,(8),式,可知,算子范数和其对应的向量范数是相容的,-(
3、8),-(9),华长生制作,11,根据向量的常用范数可以得到常用的,矩阵算子范数,:,-(10),-(11),-(12),华长生制作,12,例3.,解,:,类似于向量的,2-,范数,华长生制作,13,不过,华长生制作,14,矩阵范数的性质,等价性,:,按范数收敛,:,华长生制作,15,例4.,求矩阵,A,的各种常用范数,解,:,由于,华长生制作,16,特征方程为,华长生制作,17,容易计算,计算较复杂,对矩阵元素的,变化比较敏感,不是从属范数,较少使用,使用最广泛,性质较好,华长生制作,18,定义,5,.,而,因此,-(13),显然,华长生制作,19,即,所以,华长生制作,20,谱半径的相关定
4、理,(,谱半径有界,),设,则对任一种算子范数,均有,定理,1,设,则 的充分条件是,B,的,谱半径,定理,2,华长生制作,21,引理,1.,-(14),证明略,直接法中的误差分析,华长生制作,22,条件数与病态方程组,考察方程组,和,上述方程组尽管只是右端项有微小扰动，但解大不相同：,一个是 ，一个是,。,这类方程组称为,病态,的。,方程组 的病态程度可由系数矩阵,(,非奇异,),的,条件数,来刻画，条件数愈大，扰动对解的影响愈大。,华长生制作,23,二、,误差分析简介,即有,-(15),华长生制作,24,-(16),-(17),-(18),所以两边取算子范数得：,又因为,可得,(16),和
5、17),两式相乘,得,相对误差,华长生制作,25,(18),式表明,由常数项产生的误差,最多可将解的,相对误差放大 倍,-(19),华长生制作,26,如果假设,则由引理,1,可知,且,(19),式化为,-(20),-(21),华长生制作,27,-(22),定义,7.,-(23),华长生制作,28,显然,即任意方阵的条件数必不小于,1,根据算子范数的不同也有不同的条件数,:,华长生制作,29,-(18),-(22),根据定义,7,的定义,(18),式和,(22),式可表示为,-(24),华长生制作,30,华长生制作,31,See you next chapter!,应用数值分析,复习题：,例题,5.4.2,；,习题,5.1-5.4,、,5.6,、,5.7,、,5.11,、,5.12,华长生制作,32,
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