1、单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,数值分析,第二章 函数近似计算的插值法,2.3,Newton,插值法,1,均差（也称为差商）是数值方法中的一个重要概念，它可以反映出列表函数的性质，并能对,Lagrange,插值公式给出新的表达形式，这就是,Newton,插值,。,一、,均差,二、,Newton,插值公式,三、等距节点的,Newton,插值公式,四、,Newton,插值算法,2.3,Newton,插值法,2,我们知道,Lagrange,插值多项式的插值基函数为,形式上太复杂,计算量很大,并且重复计算也很多,由线性代数的知识可知,任何一个
2、n,次多项式都可以表示成,共,n+1,个多项式的线性组合,那么，是否可以将这,n+1,个多项式作为插值基函数呢？,引入差商和差分的目的,3,显然，多项式组,线性无关，,因此，可以作为插值基函数,4,有,再继续下去待定系数的形式将更复杂,为此引入差商和差分的概念,5,一、差商,(,均差,),定义,1,.,称,依此类推,6,差商具有如下性质,(,请同学们自证,),：,显然,7,(2),差商具有对称性,即任意调换节点的次序,差商的值不变,如,8,差商的计算方法,(,表格法,):,规定函数值为,零阶差商,差商表,9,二、,Newton,基本插值公式,设插值多项式,满足插值条件,则待定系数为,10,称
3、定义,3.,由插值多项式的唯一性,Newton,基本插值公式的,余项,为,为,k,次多项式,11,因此可得,12,因此,一般,Newton,插值,估计误差的,重要公式,另外,13,14,三、,等距节点的,Newton,插值公式,所谓等距节点，是指 中，相邻两点之间的距离都相等。这个相等的间距称为步长，记为,h,，,即：,如果插值节点是等距的，那么整个插值公式将会出现新的规律，毫无疑问会更加简单。,本节研究等距点的插值多项式。,15,1,、差分,设等距节点,相应的函数值是,称,而,向 前 差 分,16,一般，可定义,向 前 差 分,向 后 差 分,17,向 后 差 分,一般地,关联公式,18,
4、差分表,19,在等距节点的前提下,差商与差分有如下关系,20,依此类推,21,由差商与向前差分的关系,Newton,插值基本公式为,如果假设,2,.,Newton,向前,(,差分,),插值公式,22,则插值公式,化为,其余项,化为,23,称,为,Newton,向前,插值公式,插值余项为,24,插值余项为,根据向前差分和向后差分的关系,如果假设,可得,Newton,向后插值公式,3,.,Newton,向后,(,差分,),插值公式,25,四、,Newton,基本插值公式的算法设计,Newton,插值法的优点是计算较简单,尤其是增加节点时,计算只要增加一项,这是,Lagrange,插值无法比的,.,另外,Newton,插值多项式 需要除法 次,及,2n-1,次乘法,大约比,Lagrange,公式节省,3,到,4,倍工作量,.,（略）,26,See you next time!,应用数值分析,：,例题,2.2.1,、,2.3.2,；,习题,2.1,、,2.2,、,2.10,、,2.11,、,2.22,、,2.28,27,
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