数值分析：6.1-6.2线性方程组迭代解法.ppt

单击此处编辑母版标题样式,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,第六章 线性方程组迭代解法,Numerical Value Analysis,内容提要,6.1,概 论,6.2(I),Jacobi,迭代法,6.2(II),Gauss-Seidel,迭代法,6.3,迭代法的收敛性,6.4,SOR,法,本章学习要点,概 论,引子,迭代法的基本思想,迭代法的主要步骤,直接法得到的解是理论上准确的，但是我们可以看得出，它们的计算量都是,n,3,数量级，存储量为,n,2,量级，这在,n,比较小的时候还比较合适（,n400,），但是对于现在的很多实际问题，往往要我们求解很大的,n,的矩阵，而且这些矩阵,(,系数矩阵,),往往,是含有大量的,0,元素。对于这类的矩阵，再用直接法时就会耗费大量的时间和存储单元。另一方面,实际,计算结果精度有时无法保,.,主要原因是在多次消去、回代过程中四则运算的误差积累与传播无法控制,.,因此我们有必要引入一类新的方法：迭代法。,引子,返回节,迭代法的基本思想,迭代法是解线性方程组的一个重要的实用方法，特别适用于求解在实际中大量出现的，系数矩阵为稀疏阵的大型线性方程组。,迭代法的基本思想是去构成一个向量序列,X,(,k,),，使其收敛至某个极限向量,X,*,，并且,X,*,就是要求解的方程组：,AX=b,的准确解。,返回节,迭代法的主要步骤解线性方程组迭代法的主要步骤是,:,1.,把所给的线性方程组,AX=b,化成如下形式的同解方程组,X,=,BX,+,f,（,1),2.,给出初始向量,按迭代公式,X,(,k,+1),=BX,(,k,),+f,(,k,=0,1,2,),（,2),进行计算,。,如果按上述迭代公式所得到的向量序列,X,(,k,),收敛于某个向量,X,*,则,X,*,就是方程组,AX=b,的,解，并称此迭代法收敛。否则，就叫不收敛或发,散。,式,(1),、,(2),中的矩阵,B,，,称为迭代矩阵。,研究,内容：,如何建立迭代格式？,向量序列的收敛条件？,收敛速度？,误差估计？,本章重要介绍三个迭代法，即：,1,）,Jacobi,迭代法,2,）,Gauss-Seidel,迭代法,3,）,超松弛迭代法（,SOR,法）,及其收敛性。,返回章,3.2(I),Jacobi,迭代法,数学问题的描述,Jacobi,迭代法的主要步骤,数学问题的描述,设有线性方程组,AX=b,即,（,3,）,其中,A,=(,a,ij,),nn,非奇异（,A,0,），且,a,ii,0(,i,=1,2,n,),由式,（,3,）得,（,4,）,返回引用,若记,则有,A=D-L-U,成立,，而式（,3,-,4,）的矩阵形式为,DX=,（,L+U,）,X+b,（,5,）,等式两边乘以,D,-,1,，得,X=D,-,1,（,L+U,）,X+D,-,1,b,（,6,）,由此得到迭代公式,X,（,k,+1,）,=,D,-1,（,L+U,）,X,（,k,）,+,D,-1,b,（,7,）,即,（,8,）,这种迭代法，称为,Jacobi,迭代法。,返回节,写成矩阵形式,：,A,=,-L,-U,D,B,Jacobi,迭代阵,Jacobi,迭代,法,雅可比,(Jacobi),迭代法,迭代矩阵,;,每迭代一次主要近似计算一次矩阵乘向量,；,计算过程中,初始数据,A,始终不变,;,计算过程中涉及到的中间变量 及,需要两组工作单元,x(n),y(n),来存储,.,Jacobi,迭代法的计算步骤,(5,步,),为：,k,=1,；输入最大迭代次数,N,，误差,以及迭代初值,X,=,（,x,1,，,x,2,，,，,x,n,）,；,如果,|,Y-X,|,N,，算法失败。,置,X,=,Y,，即,x,i,=,y,i,(,i,=1,2,n,),，转；,Jacobi,迭代法的主要步骤,例,1,求解,Jacobi,迭代公式为：,解,:,选取,X,（,0,）,=(0,0,0,0),T,迭代,10,次，,结果见,表,1,返回引用,k,x,1,（,k,）,x,2,（,k,）,x,3,（,k,）,x,4,（,k,）,0,0.0000,0.0000,0.0000,0.0000,1,0.6000,2.2727,-1.1000,1.8750,2,1.0473,1.7157,-0.8052,0.8852,3,0.9326,2.0533,-1.0493,1.1309,4,1.0152,1.9537,-0.9681,0.9739,5,0.9890,2.0114,-1.0103,1.0214,6,1.0032,1.9922,-0.9945,0.9944,7,0.9981,2.0023,-1.0020,1.0036,8,1.0006,1.9987,-0.9990,0.9989,9,0.9997,2.0004,-1.0004,1.0006,10,1.0001,1.9998,-1.9998,0.9998,例,3.1,迭代结果,表,1,返回引用,对于,Jacobi,迭代法,它的每一步设定计算顺序为,在计算迭代值,利用它前面已计算的值,而此时 也已计算,但是,Jacobi,迭代,法并没有充分及时地利用这些信息,为此我们得到改,进的格式,称为,高斯,塞德尔,(,Gauss,Seidel),迭代,公式,。,Jacobi,迭代法的改进,返回章,3.2(II),Gauss-Seidel,迭代法,算法分析与描述,实例求解,算法分析与描述,(8),可写成形如,原,Jacobi,迭代公式,(8),在,Jacobi,迭代中，是用,X,(k),的全部分量来计算,X,(k+1),的全部分量的。,我们应该注意到，在计算,新分量,x,i,(k+1),时，,分量,x,1,(k+1),x,2,(k1),x,i,-1,(k+1),都,已经算出,。,返回引用,如果,Jacobi,法收敛，则可期望,X,(,k+1,),比,X,(,k,),更好，在式,(,8,),中右边第,1,个求和号,中，用,X,(,k+1,),的分量代替,X,(,k,),的分量，似乎更合理些。,这对许多问题来说，不仅会,加快收敛速度,，更重要的是，在排程序时，,不必,另设一套单元来,记存上一次,的,近似解,。这就是,逐个代换算法,，又称,Gauss-Seidel,迭代法,。,因此，我们就得到新的迭代公式：,（,9),这就是,Gauss-Seidel,迭代公式,X,(,k+1,),=,B,G,X,(,k,),+,f,G,（10,）,其中,B,G,=,(,D,-,L,),-1,U,，,f,G,=,(,D,-,L,),-1,b,，,称,B,G,为,G-S,迭代矩阵。,由于,Gauss-Seidel,迭代法逐次用计算出来的新值代替旧值，所以在收敛的条件下，它要比,Jacobi,迭代法收敛速度快。,返回节,Gauss-Seidel,迭代公式的其矩阵形式为：,实例求解,用,Gauss-Seidel,迭代法求解,例,1,Gauss-Seidel,迭代公式为,仍取,x,（,0,）,=,（,0,，,0,，,0,，,0,）,T,，迭代结果见,表,2,例,2,解,|,x,（,5,）,-,x,（,4,）,|,=8.010,-4,|x,（,5,）,-,x,|,=10,-4,从例,1,和例,2,比较可见，,Gauss-Seidel,迭代,5,次的结果,比,Jacobi,迭代,10,次的结果,还要好。,表,2,例,2,Gauss-Seidel,迭代结果,k,x,1,（,k,）,x,2,（,k,）,x,3,（,k,）,x,4,（,k,）,0,0.0000,0.0000,0.0000,0.0000,1,0.6000,2.3272,-0.9873,0.8789,2,1.0300,2.0370,-1.0140,0.9844,3,1.0065,2.0036,-1.0025,0.9983,4,1.0009,2.0003,-1.0003,0.9999,5,1.0001,2.0000,-1.0000,1.0000,返回节,返回引用,See you next time!,