1、单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,第四章 微积分的数值计算方法,Numerical Value Analysis,4.5,数值微分,1,4.5,数值微分公式,先看一个实例,:,已知,20,世纪美国人口的统计数据为,(,单位,:,百万,),年份,1900 1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990,人口,76.0 92.0 106.5 123.2 131.7 150.7 179.3 204.0 226.5 251.4,试计算美国,20,世纪的,(,相对,),年增长率,2,一、插值型求导公式,-
2、1),3,对,(1),式两边求导,有,-(2),4,-(2),-(3),(2),式称为,插值型求导公式,(3),式为相应产生的,误差,由于公式,(2),采取的是,n,次,Lagrange,插值多项式,而高次,插值会产生,Runge,现象,因此实际应用中多采用低次插,值型求导公式,5,二、低阶插值型求导公式,1.,两点公式,6,-(4),-(5),(4)(5),式称为带余项的,两点求导公式,即,精度,1,阶,7,2.,三点公式,8,9,-(6),-(7),-(8),(6)(7)(8),式称为带余项的,三点求导公式,其中,(7),式又称为中点公式,其精度稍高,在分段求导公式中有着重要的地位,精度
3、2,阶,10,3.,五点公式,-(9),11,组,(9),称为带余项的,五点求导公式,精度,4,阶,综合考虑上述三种公式,可知五点公式的精度最高,可发现,且,并且当步长,h,越小时,误差会越小,但是不是,h,越,小公式越好呢,?,12,因此实际应用中步长,h,不要取得太小,13,两点公式和三点公式的比较图,14,三、低阶插值型求导公式的分段构造,由于高次插值的,Runge,现象,数值微分一般采用分段低,次插值公式,常见的就是分段两点、三点和五点公式,1.,分段两点求导公式,对于任取的相邻两点,由两点公式有,-(10),称,(10),式为,分段两点公式,15,2.,分段三点求导公式,对于任取的
4、相邻三点,由,三点公式,有,-(11),称,(11),式为,分段三点公式,16,-(12),3.,分段五点求导公式,由,五点公式,17,例:,回到实例,(,美国人口,),1900 1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990,76.0 92.0 106.5 123.2 131.7 150.7 179.3 204.0 226.5 251.4,解:,则,先用精度较高的分段五点公式求出节点处的导数值,求增长率必须先求导数,x=21.508 13.458 16.158 11.908 12.267 25.000,27.633 23.075 22.692 28.
5、358,r=,dx/dt/x,=0.0283 0.0146 0.0152 0.0097 0.0093 0.0166,0.0154 0.0113 0.0100 0.0113,18,将节点处的增长率作,三次样条插值,节点处增长率的值,每年增长率曲线图,年份 增长率,1900 0.0283,1901 0.0255,1902 0.0230,1935 0.0082,1936 0.0081,1937 0.0083,1953 0.0172,1954 0.0172,1979 0.0100,1980 0.0100,1981 0.0109,1989 0.0111,1990 0.0113,19,四、样条求导公式,L
6、agrange,插值型求导公式构造比较简单,但由于误差的原因，只能求出节点处的导数,其缺点显而易见,-(13),20,Hermite,插值,21,假设节点是等距的，则,其中,由于,-(14),22,因此基本方程组,(,三对角方程组,),为,加上第一类边界条件,-(15),23,-(16),上式再对,x,求导,得,-(17),24,从而,-(18),-(19),(18),、,(19),式组合,(16),、,(17),式统称为,样条求导公式,样条求导公式的,优点,:,可以求非节点处的,12,阶导数,精度较高,样条求导公式的,缺点,:,要求预知边界条件,要解三对角方程组,比较复杂,25,五、样条求导公式的简化,介绍两种常用的简化方法,:,首先用三点或五点公式求出节点处的导数,这种方法不但避免解三对角方程组,也不必预知边界条件,(2),采用先求节点处导数,然后作三次样条插值,直接代入,(16)(17),式,26,其缺点是不好求二阶导数,实验,:,找一个已知函数，分别用样条求导方法和两种,简化样条求导方法求其数值导数，和精确值比,较，画出导数的图象，并指出它们的异同,27,
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