二重积分的概念与性质-PPT.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,/2,1,/24,第一节 二重积分的概念与性质,一、问题的提出,二、二重积分的概念,三、二重积分的性质,四、小结 思考题,2,/24,复习和总结,（,1,）,定积分是用来解决哪一类问题？,（,2,）,解决这一类问题采用了什么思想方法？,定积分,答：,求非均匀分布在区间上的量的求和问题,被积函数是一元函数，积分范围是直线上的区间,答：“,分割,取近似,求和,取极限”,（,3,）,如何计算定积分？,3,/24,现要求解非均匀分布在平面、空间立体上的量的求和问题,推广,所计算的量与多元函数及平面或空间区域有关,被积函数,积分范围,二元函数,平面区域,二重积分,三元函数,空间区域,三重积分,一段曲线,曲线积分,一片曲面,曲面积分,问题,:,积分类型,4,/24,柱体体积,=,底面积,高,【特点,】,平顶,.,柱体体积,=,？,【特点,】,曲顶,.,曲顶柱体,1,曲顶柱体的体积,一、问题的提出,引例,5,/24,类似定积分解决问题的思想,:,给定曲顶柱体,:,底：,xoy,面上的闭区域,D,顶,:,连续曲面,侧面：以,D,的边界为准线,母线平行于,z,轴的柱面,求其体积,.,“,分割,取近似,求和,取极限”,解法,6,/24,步骤如下,取近似、,求和：用若干个小平顶柱体体积之和近似表示曲顶柱体的体积，,分割：先分割曲顶柱体的底，并取典型小区域，,得曲顶柱体的体积,取极限：,7,/24,2,求平面薄片的质量,分割：,将薄片分割成若干小块，,近似：,取典型小块，将其近似,看作均匀薄片，,求和：,所有小块质量之和,近似等于薄片总质量,分析,=,常数时，质量,=,，,其中,为面积,.,取极限：得,薄片总质量,若,为非常数，仍可用“分割,取近似,求和,取极限”解决,.,8,/24,两个问题的共性：,(1),解决问题的步骤相同,(2),所求量的结构式相同,“,分割,取近似,求和,取极限”,曲顶柱体体积,:,平面薄片的质量,:,9,/24,二、二重积分的定义及可积性,1.,定义,将区域,D,任意分成,n,个小区域,任取一点,若存在一个常数,I,使,可积,在,D,上的二重积分,.,积分和,积分域,被积函数,积分表达式,面积元素,记作,是定义在有界闭区域,D,上的有界函数,10,/24,2,.,【对二重积分定义的说明,】,(3),f,(,x,y,),在,D,上有界是二重积分,存在的必要条件,.,代替,？,不能,连续是二重积分存在的充分条件,用,(1),积分存在时，其值与区域的分法和点 的取法无关,(,证明略,),11,/24,3.,【二重积分的几何意义,】,4.,【物理意义,】,表曲顶柱体的体积,.,1),若,表曲顶柱体体积的负值,.,2),若,3),若,表区域,D,的面积,.,几个特殊结果,体积的代数和,12,/24,注,1.,重积分与定积分的区别：,重积分中,d,0,定积分中,d,x,可正可负,.,2.,根据分割的任意性，当二重积分存在时，在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区域,D,故二重积分可写为,D,则直角坐标系下面积元素为,即,引例,1,中曲顶柱体体积,:,引例,2,中平面薄板的质量,:,13,/24,性质,1,性质,2,（二重积分与定积分有类似的性质）,三、二重积分的性质,逐项积分,线性,性质可以推广至有限个函数的情形。,线性性质,14,/24,性质,3,对区域具有可加性,性质,4,若 为,D,的面积,，,性质,5,若在,D,上,特殊地,则有,比较性质,15,/24,性质,6,性质,7,二重积分中值定理,二重积分估值不等式,曲顶柱体的体积等于一个平顶柱体的体积,几何意义,16,/24,证明,以下仅证性质,7,（中值定理）,由,估值性质得,据有界闭域上的连续函数的介值定理,变形后 【得证,】,17,/24,比较下列积分的大小,:,其中,积分域,D,的边界为圆周,它与,x,轴交于点,(1,0),而区域,D,位,从而,于直线的上方,故在,D,上,作业题、课后习题,见作业答案解法或有关习题解答,例,1,解,解,18,/24,例,2,解,19,/24,解,课后习题,例,3,20,/24,机动,被积函数相同,且非负,由它们的积分域范围可知,1.,比较下列积分值的大小关系,:,练习,解,提示,被积函数相同，则比较区域,D,的大小,.,21,/24,2.,设,D,是第二象限的一个有界闭域,且,0,y,1,则,的大小顺序为,(),因,0,y,1,故,故在,D,上有,提示,区域,D,相同，则比较被积函数的大小,22,/24,D,位于,x,轴上方的部分为,D,1,在,D,上,1.,设函数,在闭区域,D,上连续,D,关于,x,轴对称,则,则,补充,在分析问题和计算二重积分时常用的对称奇偶性,当区域关于,y,轴对称,函数关于变量,x,有奇偶性时有类似结果,.,2.,若,D,关于原点对称,(1),(2),D,2,为,y,轴右方的部分,23,/24,例如,在第一象限部分,则有,利用对称性简化运算时要特别考虑两方面,被积函数的奇偶性,积分区域的对称性,说明,24,/24,二重积分的定义,二重积分的性质（,7,条,）,二重积分的几何意义,（曲顶柱体的体积）,（积分和式的极限）,四、小结,二重积分的物理意义,（平面薄片的质量）,二重积分的比较大小,1.,若区域,D,相同，则比较被积函数的大小；,2.,若被积函数相同，则比较区域,D,的大小,.,25,/24,26,/24,一 利用直角坐标计算二重积分,二 小结 思考题,10.2,二重积分的计算法（一）,27,/24,复习与回顾,(2),回顾一元函数定积分的应用,平行截面面积为已知的立体的体积的求法,体积元素,体积为,在点,x,处的平行截面的面积为,:,(1),二重积分,28,/24,其中函数 、在区间 上连续,.,一、利用直角坐标系计算二重积分,(1),X,型域,X,型区域的特点,穿过区域且平行于,y,轴的直线与区域边界相交不多于两个交点,.,1.,预备知识,29,/24,(2),Y,型域,Y,型区域的特点,穿过区域且平行于,x,轴的直线与区域边界相交不多于两个交点,.,30,/24,(3),既非,X,型域也非,Y,型域,在分割后的三个区域上分别都是,X,型域,(,或,Y,型域,),则必须分割,.,由二重积分积分区域的可加性得,31,/24,(1),若积分区域为,X,型域：,2,.,【二重积分公式推导,】,根据二重积分的几何意义以及计算“平行截面面积为已知的立体的体积”的方法来求,.,方法,32,/24,即得,公式,1,33,/24,几点小结,定限口诀,后积先定限,(,投影,),限内划条线,(,穿线,),先交下限写,后交上限见,a,b,o,x,y,D,x,(,后积变量上下限必为常数,),该线平行于坐标轴且同向,投影穿线法,34,/24,3.,【,二重积分的计算步骤可归结为,】,画出积分域的图形，标出边界线方程,；,根据积分域特征，确定积分次序；,根据上述结果，化二重积分为二次积分并计算。,公式,2,35,/24,(1),使用公式,1,必须是,X,型域，,公式,2,必须是,Y,型域,.,(2),若积分区域既是,X,型区域又是,Y,型区域,为计算方便,可选择积分次序,必要时还可交换积分次序,.,(,见后续补充例题,),(3),若积分域较复杂,可将它分成若干,X,-,型域（或,Y,-,型域）,说明,36,/24,4.,【,例题部分,】,例,1,解,看作,X,型域,1,2,o,x,y,y,=,x,y,=1,D,x,1,2,o,x,y,x,=,y,x,=2,D,y,1,2,解,看作,Y,型域,37,/24,例,2,解,D,既是,X,型域又是,Y,型域,法,1,1,1,1,x,o,y=x,D,x,y,38,/24,法,2,注意到先对,x,的积分较繁，故应用法,1,较方便,1,1,1,y,o,y=x,D,1,x,y,注意两种积分次序的计算效果！,39,/24,例,3,解,D,既是,X,型域,又是,Y,型域,先求交点,40,/24,法,1,法,2,视为,X,型域,计算较繁,本题进一步说明两种积分次序的不同计算效果！,41,/24,小结,以上三例说明，在化二重积分为二次积分时，为简便见需恰当选择积分次序；既要考虑积分区域,D,的形状，又要考虑被积函数的特性,(,易积,),42,/24,5.,【简单应用,】,例,4,求两个底圆半径都等于,R,的直交圆柱面所围成的立体的体积,V.,解,设两个直圆柱方程为,利用对称性,考虑第一卦限部分,其曲顶柱体的顶为,则所求体积为,43,/24,例,5,解,据二重积分的性质,4,（几何意义）,交点,与定积分元素法相同,44,/24,6.,【补充】改变二次积分的积分次序例题,补例,1,解,45,/24,随堂练习,1,.,计算,其,中,D,是由直线,y=x,及抛物线,y,2,=x,所围成,.,解,积不出的积分，无法计算。,课本,P,154,第,5,题第,6,题,练习,46,/24,解,当被积函数中有绝对值时，要考虑,积分域中不同范围脱去绝对值符号。,分析,补例,2,作业,:,1,x,1,47,/24,计算,其中,D,由,所围成,.,令,(,如图所示,),显然,利用对称性与奇偶性,补例,3,分析,解,课本,P154,第,3,题,与积分变量无关,补例,4,与积分变量无关,与积分变量无关,48,/24,分部积分法,(,略,).(,05/06,学年第一学期考试题,A,卷,),化为二次积分,交换积分次序,原式,=,原式,补例,5,解,解,49,/24,二重积分在直角坐标下的计算公式,（在积分中要正确选择积分次序）,二、小结,Y,型,X,型,课本,P153,习题,10-2,练习,50,/24,51,/24,一 利用直角坐标计算二重积分,二 小结 思考题,10.2,二重积分的计算法（一）,52,/24,复习与回顾,(2),回顾一元函数定积分的应用,平行截面面积为已知的立体的体积的求法,体积元素,体积为,在点,x,处的平行截面的面积为,:,(1),二重积分53,/24,其中函数 、在区间 上连续,.,一、利用直角坐标系计算二重积分,(1),X,型域,X,型区域的特点,穿过区域且平行于,y,轴的直线与区域边界相交不多于两个交点,.,1.,预备知识,54,/24,(2),Y,型域,Y,型区域的特点,穿过区域且平行于,x,轴的直线与区域边界相交不多于两个交点,.,55,/24,(3),既非,X,型域也非,Y,型域,在分割后的三个区域上分别都是,X,型域,(,或,Y,型域,),则必须分割,.,由二重积分积分区域的可加性得,56,/24,(1),若积分区域为,X,型域：,2,.,【二重积分公式推导,】,根据二重积分的几何意义以及计算“平行截面面积为已知的立体的体积”的方法来求,.,方法,57,/24,即得,公式,1,58,/24,几点小结,定限口诀,后积先定限,(,投影,),限内划条线,(,穿线,),先交下限写,后交上限见,a,b,o,x,y,D,x,(,后积变量上下限必为常数,),该线平行于坐标轴且同向,投影穿线法,59,/24,3.,【,二重积分的计算步骤可归结为,】,画出积分域的图形，标出边界线方程,；,根据积分域特征，确定积分次序；,根据上述结果，化二重积分为二次积分并计算。,公式,2,60,/24,(1),使用公式,1,必须是,X,型域，,公式,2,必须是,Y,型域,.,(2),若积分区域既是,X,型区域又是,Y,型区域,为计算方便,可选择积分次序,必要时还可交换积分次序,.,(,见后续补充例题,),(3),若积分域较复杂,可将它分成若干,X,-,型域（或,Y,-,型域）,说明,61,/24,4.,【,例题部分,】,例,1,解,看作,X,型域,1,2,o,x,y,y,=,x,y,=1,D,x,1,2,o,x,y,x,=,y,x,=2,D,y,1,2,解,看作,Y,型域,62,/24,例,2,解,D,既是,X,型域又是,Y,型域,法,1,1,1,1,x,o,y=x,D,x,y,63,/24,法,2,注意到先对,x,的积分较繁，故应用法,1,较方便,1,1,1,y,o,y=x,D,1,x,y,注意两种积分次序的计算效果！,64,/24,例,3,解,D,既是,X,型域,又是,Y,型域,先求交点,65,/24,法,1,法,2,视为,X,型域,计算较繁,本题进一步说明两种积分次序的不同计算效果！,66,/24,小结,以上三例说明，在化二重积分为二次积分时，为简便见需恰当选择积分次序；既要考虑积分区域,D,的形状，又要考虑被积函数的特性,(,易积,),67,/24,5.,【简单应用,】,例,4,求两个底圆半径都等于,R,的直交圆柱面所围成的立体的体积,V.,解,设两个直圆柱方程为,利用对称性,考虑第一卦限部分,其曲顶柱体的顶为,则所求体积为,68,/24,例,5,解,据二重积分的性质,4,（几何意义）,交点,与定积分元素法相同,69,/24,6.,【补充】改变二次积分的积分次序例题,补例,1,解,70,/24,随堂练习,1,.,计算,其,中,D,是由直线,y=x,及抛物线,y,2,=x,所围成,.,解,积不出的积分，无法计算。,课本,P,154,第,5,题第,6,题,练习,71,/24,解,当被积函数中有绝对值时，要考虑,积分域中不同范围脱去绝对值符号。,分析,补例,2,作业,:,1,x,1,72,/24,计算,其中,D,由,所围成,.,令,(,如图所示,),显然,利用对称性与奇偶性,补例,3,分析,解,课本,P154,第,3,题,与积分变量无关,补例,4,与积分变量无关,与积分变量无关,73,/24,分部积分法,(,略,).(,05/06,学年第一学期考试题,A,卷,),化为二次积分,交换积分次序,原式,=,原式,补例,5,解,解,74,/24,二重积分在直角坐标下的计算公式,（在积分中要正确选择积分次序）,二、小结,Y,型,X,型,课本,P153,习题,10-2,练习,