2025届河北省唐山市高三上学期开学考-数学（含答案）.docx

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唐山市 2024－2025 学年度高三年级摸底演练
数学参考答案
一．选择题（单选）：
~4．DCCB
二．选择题（多选）：
．AD
三．填空题：
1
5~8．ABDD
9
10．ACD
11．ABC
3
2
－1
1
5
3
7
1
2．2x－y－2＝0
13．
14． ， （第一空3分，第二空2分）
四．解答题：
1
5．解：
π
6
（
1） 3sin2A＋cos2A＝2sin(2A＋ )＝2，
π
6
所以 sin(2A＋ )＝1，
…2 分
π
6
π
2
π
6
又 A∈(0，π)，所以 2A＋ ＝ ，即 A＝ ．
…3 分
由 b＝ 2a 及正弦定理得 sin B＝ 2sin A，所以 sin B＝ 22，
…5 分
…6 分
…7 分
π
4
3π
4
可得 B＝ 或
．
π
4
7π
12
（
2）因为角 B 为锐角，所以由（1）知 B＝ ，从而可得 C＝
，
6
＋ 2
4
2－ 6
4
则 sin C＝
，cos C＝
．
…9 分
设 AC 边上的高为 h，h＝ 2＋ 6，
h
h
sin A
可得 a＝
＝4，c＝
＝2 2＋2 6，
…11 分
sin C
又 b＝ 2a＝4 2，
所以△ABC 的周长为 4＋6 2＋2 6．
6．解：
1）由题意，以 AC，AB，AA1 所在直线分别为
…12 分
…13 分
1
z
C1
A1
（
G
x，y，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，
B1
则 C(3，0，0)，B(0，3，0)，A1(0，0，3)，
3
2
3
3
2
P( ， ， )，G(1，1，3)
…2 分
P
2
→
x
1
2
1
2
→
3 →
2
所以 PG ＝(－ ，－ ， )，A C＝(3，0，－3)，
A
C
1
Q
3
2
Q 为 AB 的中点，A Q＝(0， ，－3)， …4 分
y
B
1
高三数学答案 第1页（共4页）
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设平面 A1CQ 的一个法向量为 n＝(x，y，z)，则
→
ì
ï
n·A C＝0，
í
1
→
取 n＝(1，21)．
…6 分
ï
î
n·A Q＝0，
1
→
1
1
3
→
所以 PG ·n＝－ ×1－ ×2＋ ×1＝0，即 PG ⊥n，
2
2
2
故 PG∥平面 A1CQ．
…8 分
（
2）依题意，设 AQ＝a，0＜a＜3，则 Q(0，a，0)，
→
ì
ï
n·A C＝0，
í
1
取 n＝(a，3，a)．
…10 分
→
ï
î
n·A Q＝0，
1
设直线 PG 与平面 A1CQ 所成的角为 θ，
3
→
2|a－2
|
→
|n· PG |
→
则 sin θ＝|cos á PG ，nñ|＝
＝
，
…13 分
1
1
2a2＋9
|
n||PG |
3
2
2
|a－ |
33
3
5
由题意，
＝
，解得 a＝ 或 3（舍）．
…15 分
3
3
1
1
2a2＋9
1
7．解：
（
1）将 P(2，2 2)代入抛物线方程，可得 p＝2，即 C 的方程为 y2＝4x． …2 分
所以 F(1，0)．
…4 分
因此，直线 l 的方程为 2 2x－y－2 2＝0．
…6 分
y1－y
4
（
2）设 A(x ，y )，B(x ，y )，则 k ＝
2＝
．
…8 分
1
1
2
2
AB
x1－x2 y1＋y2
直线 PA：y－2 2＝k(x－2)，则直线 PB：y－2 2＝－k(x－2)，
…9 分
4
k
8 2
k
将 PA 方程代入 y2＝4x，得 y2－ y＋
－8＝0，
4
k
4
k
所以 y ＋2 2＝ ，即 y ＝ －2 2，
1
1
4
k
同理，y ＝－ －2 2，故 y ＋y ＝－4 2．
…11 分
2
1
2
1
k
4
又 PA⊥AB，所以 k ＝－ ＝
，解得 k＝ 2．
4 2
…13 分
AB
－
因此 A(0，0)，B(8，－4 2)，
从而可得|PA|＝2 3，|AB|＝4 6，
1
2
于是，S△PAB＝ ×|PA|×|AB|＝12 2．
…15 分
1
8．解：
（
1）证明：由已知 an＋2－5an＋1＋6an＝0，
得 an＋2－2an＋1＝3an＋1－6an 及 an＋2－3an＋1＝2an＋1－6an
…2 分
故 an＋2－2an＋1＝3(an＋1－2an)及 an＋2－3an＋1＝2(an＋1－3an)
…4 分
高三数学答案 第2页（共4页）
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a －2a ＝－1，a －3a ＝－2，
…6 分
2
1
2
1
{an＋1－2an}是以－1 为首项，3 为公比的等比数列；
{an＋1－3an}是以－2 为首项，2 为公比的等比数列．
…7 分
（
2）由（1）知：
{an＋1－2an}是以－1 为首项，3 为公比的等比数列，于是 an＋1－2an＝－3n－1；
…9 分
{an＋1－3an}是以－2 为首项，2 为公比的等比数列，于是 an＋1－3an＝－2n．
…11 分
ì
an＋1－2an＝－3n－1，
联立í
解得 an＝2n－3n－1．
…12 分
an＋1－3an＝－2n，
î
（
3）S ＝a ＋a ＋a ＋…＋a
n
n
1
2
3
＝
(21＋22＋23…＋2n)－(30＋31＋32…＋3n－1)
…14 分
＝2
1－2n×2
－
30－3n－1×3
…16 分
1
－2
1－3
＝2
n＋2－3n－3．
…17 分
2
1
9．解：
（
1）函数 f (x)定义域为{x|x≠1}，
f ¢(x)＝(2x2－3x)ex．
…2 分
(x－1)2
3
2
3
2
当 x＜0 或 x＞ 时，f ¢(x)＞0；当 0＜x＜ 且 x≠1 时，f ¢(x)＜0，
…4 分
3
2
所以 f (x)在(－∞，0)，( ，＋∞)上单调递增，
3
2
在(0，1)，(1， )上单调递减．
…6 分
3
2
3
2e
3
2
（
2）f ( )＝4e ，f (0)＝1，f (－1)＝
，
3
2
3
2
由（1）得，x＞1 时，f (x)≥f ( )＝4e ＞2．
…8 分
所以，满足题设的 x0＝0，即 f (－1)≤a＜f (0)，
3
故2e≤a＜1．
…10 分
e
2
（
3）存在，且 m＝ ．
…11 分
m(5x2－4x＋1)
(2x－1)ex
x－1
＞m(5x2－4x＋1)，
证明：由 f (x)＞
得：
x－1
x－1
又 5x2－4x＋1＞0，
2x－1)ex
x2－4x＋1
所以，当 x＜1 时，m＞5
；
高三数学答案 第3页（共4页）
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(2x－1)ex
x2－4x＋1
当 x＞1 时，m＜5
．
…12 分
令 g (x)＝5x2－4x＋1，所以 g ¢(x)＝(x－1)2(10x－3)ex，
(2x－1)ex
…13 分
(5x2－4x＋1)2
所以，当 x＜130时，g ¢(x)＜0，g (x)单调递减，
当 x＞130时，g ¢(x)≥0，g (x)单调递增，
…15 分
1
2
e
2
又 x＜ 时，g (x)＜0，g (1)＝ ，
因此，当 x＜1 时，m≥g (1)；当 x＞1 时，m≤g (1)，
e
2
所以 m＝g (1)＝ ．
…17 分
高三数学答案 第4页（共4页）
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