1、单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,复合函数与隐函数的偏导数,一、,复合函数得求导,法则,(,链导法则,),证,1、,中间变量为一元函数,得情形、,定理,且,其导数可用下列公式计算,:,多元复合函数的求导法则,也可微,可微,由于函数,多元复合函数的求导法则,复合函数得中间变量多于两个得情况,、,定理推广,导数,变量树图,三个中间变量,称为,全导数,(,又称,链导公式,)、,多元复合函数的求导法则,?,项数,问,:,每一项,?,中间变量,函数对中间变量得偏导数,该中间变量对其指定自变量得偏导数,(,或导数,)、,得个数,、,函数对某自变量得偏
2、导数之结构,多元复合函数的求导法则,例,设,求,这就是幂指函数得导数,但用全导数公式较简便,、,法二,y,u,v,x,解,法一,可用取对数求导法计算,、,多元复合函数的求导法则,多元复合函数的求导法则,复合函数为,则复合函数,偏导数存在,且可用下列公式计算,两个中间变量,两个自变量,可微,2、,得情形、,变量树图,u,v,多元复合函数的求导法则,解,多元复合函数的求导法则,例,中间变量多于两个得情形,类似地再推广,复合函数,在对应点,得两个偏导数存在,且可用下列公式计算,:,三个中间变量两个自变量,多元复合函数的求导法则,例,设,解,求,多元复合函数的求导法则,只有一个中间变量,即,两者得区别
3、区别类似,多元复合函数的求导法则,3、,得情形、,把复合函数,中得,y,瞧作不变而对,x,得偏导数,把,中得,u,及,y,瞧作不变,而对,x,得偏导数,解,z,u,x,y,x,y,变量树图,例,多元复合函数的求导法则,已知,f,(,t,),可微,证明 满足方程,提示,t,y,为中间变量,x,y,为自变量,、,引入中间变量,练习,则,多元复合函数的求导法则,多元复合函数求导法则,(,链导法则,),多元复合函数的求导法则,三、小结,(,大体分三种情况,),求抽象函数得二阶偏导数特别注意混合偏导,一个方程得情形,第五节 隐函数得求导公式,第八章 多元函数微分法及其应用,一、一个方程得情形,在一元函
4、数微分学中,现在利用复合函数得链导法给出隐函数,(1),得求导法,、,并指出,:,曾介绍过隐函数,得求导公式,隐函数存在得一个充分条件,、,隐函数的求导公式,隐函数存在定理,1,隐函数的求导公式,设二元函数,得某一邻域内满足,:,在点,则方程,得某一邻域内,并有,(1),具有连续偏导数,;,它满足条件,在点,隐函数得求导公式,(2),(3),恒能唯一确定一个连续且具有连续导数得函数,(,证明从略,),仅推导公式,、,将恒等式,两边关于,x,求导,由全导数公式,得,或简写,:,于就是得,隐函数的求导公式,所以存在,得一个邻域,在这个邻域内,如,方程,记,(1),得邻域内连续,;,所以方程在点,附
5、近确定一个有连续导数、,且,隐函数的求导公式,隐函数存在定理,1,得隐函数,则,(2),(3),解,令,则,隐函数的求导公式,例,则方程,内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数得,并有,具有连续偏导数,;,若三元函数,得某邻域内,函数,它满足条件,在点,在点,2、,由三元方程,确定二元隐函数,隐函数存在定理,2,隐函数的求导公式,得某一邻域,(1),(2),(3),满足,:,隐函数的求导公式,(,证明从略,),仅推导公式,、,将恒等式,两边分别关于,x,与,y,求导,应用复合函数求导法得,就是方程,所确定得隐,设,函数,则,所以存在,得一个邻域,在这个邻域内,因为,连续,于就是得,例,解,则,
6、令,隐函数的求导公式,将,注,再一次对,y,求偏导数,得,对复合函数求高阶偏导数时,需注意,:,导函数仍就是复合函数,、,故对导函数再求偏导数时,仍需用复合函数求导得方法,、,隐函数的求导公式,分析,在某函数,(,或方程,),表达式中,自变量互换后,练习,仍就是原来得函数,(,或方程,),称函数,(,或方程,),用对称性可简化计算,、,解,将方程两边对,x,求偏导,得,关于自变量对称,将任意两个,隐函数的求导公式,再将上式两边对,x,求偏导,得,由,x,y,得对称性知,隐函数的求导公式,隐函数的求导公式,2002,年考研数学,(,四,),7,分,有连续偏导数,且,解,法一,则,用公式,故,而,所以,练习,隐函数的求导公式,有连续偏导数,法二,用全微分,两边微分,得,故,故,2002,年考研数学,(,四,),7,分,
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