函数的的奇偶性-PPT.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,函数奇偶性,课件,1,函数奇偶性,（复习课）,2,1.,偶函数,一般地，如果对于函数,f(x),的定义域内,一个,x,，都有,，那么函数,f(x),就叫做偶函数,.,2.,奇函数,一般地，如果对于函数,f(x),的定义域内,一个,x,都有,那么函数,f(x),就叫做奇函数,.,3.,奇偶性,：,那么，就说函数,f(x),具有奇偶性,.,4.,奇函数的图象关于,对称,反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是,；偶函数的图象关于,对称，反过来，如果一个函数的图象关于,y,轴对称，那么这个函数是,.f(-x)=f(x),f(-x)=-f(x),如果函数,f(x),是奇函数或偶函数,原点,任意,任意,奇函数,y,轴,偶函数,3,5.,若奇函数,f(x),在,a,b,上是增函数，且有最大值,M,，则,f(x),在,-b,-a,上是,函数，且有,.,6.,若奇函数,f(x),在,x=0,处有定义，则,f(0)=,.,7.,若,y=f(x),是偶函数，则,f(x),与,f(|x|),的大小关系是,.,8.,若,f(x),是奇函数或偶函数，则其定义域关于,对称,.,增,最小值,-M,0,f(x)=f(|x|),原点,4,学点一 奇偶性的判定,判断下列函数的奇偶性,:,（,1,）,f(x)=(x-1),;,（,2,）,f(x)=,.,【分析】先观察定义域是否关于原点对称，再看,f(-x),与,f(x),之间的关系,.,若,f(x),本身能化简，应先化简，再进行判断，可避免失误,.,5,【解析】,（,1,）先确定函数的定义域，,由,0,得,-1x0,，关于原点不对称，,函数,f(x)=,为非奇非偶函数,.,（,4,）由,1-x,2,0,x,2,-10,x=1.,函数的定义域为,-1,1,于是,f(x)=0,x-1,1.,满足,f(-x)=f(x)=0,f(-x)=-f(x)=0.,f(x),既是奇函数，又是偶函数,.,10,学点二,由奇偶性求函数解析式,设,f(x),是定义在,R,上的奇函数，当,x0,时，,f(x)=x,2,+x+1,求函数解析式,.,【分析】由奇函数的图象关于原点对称，找,x0,和,x0,时解析式间的联系,.,【解析】当,x0,，由已知得,f(-x)=x,2,-x+1,f(x),为,R,上,的奇函数，,f(-x)=-f(x)=x,2,-x+1,f(x)=-x,2,+x-1,又,f(0)=-f(0),f(0)=0.,x,2,+x+1,，,x0,，,0,，,x=0,，,-x,2,+x-1,，,x0,时，,f(x)=x|x-2|,，求当,x0,时，,f(x),的表达式,.,设,x0,，且满足表达式,f(x)=x|x-2|,f(-x)=-x|-x-2|=-x|x+2|.,又,f(x),是奇函数，,f(-x)=-f(x),-f(x)=-x|x+2|,f(x)=x|x+2|.,故当,x0,时，,f(x),的表达式为,f(x)=x|x+2,|.,13,学点三 奇偶性的证明,函数,f(x),xR,若对于任意实数,a,b,，都有,f(a+b)=f(a)+f(b),，,求证：,f(x),为奇函数,.,【分析】因为对于,a,bR,都有,f(a+b)=f(a)+f(b),，所以可以令,a,b,为某些特殊值，得出,f(-x)=-f(x).,【证明】令,a=0,，则,f(b)=f(0)+f(b),f(0)=0.,又令,a=-x,b=x,，代入,f(a+b)=f(a)+f(b),得,f(-x+x)=f(-x)+f(x),即,0=f(-x)+f(x),f(-x)=-f(x),f(x),为奇函数,.,【评析】证明函数的奇偶性，即证明,f(-x)=-f(x),或,f(-x)=f(x),成立,.,这需要对给定函数方程中的,x,y,赋值，使其变成含,f(x),f(-x),的式子，然后判定,.,14,设函数,f(x),定义在 上,.,证明：,f(x)+f(-x),是偶函数，,f(x)-f(-x),是奇函数,.,证明:,由于对任意的,x,，必有,-x .,可见,f(-x),的定义域也是,.,若设,F(x)=f(x)+f(-x),G(x)=f(x)-f(-x).,则,F(x),与,G(x),的定义域也是 ，显然是关于原点对称的区间,而且,F(-x)=f(-x)+f,-(-x),=f(x)+f(-x)=F(x),G(-x)=f(-x)-f,-(-x),=f(-x)-f(x),=-,f(x)-f(-x),=-G(x).,所以,F,（,x,）为偶函数，而,G,（,x,）为奇函数,.,15,学点四 奇偶性与单调性的综合应用,设函数,f(x),是定义在,(-,0)(0,+),上的奇函数，且,f(x),在,(0,+),上是减函数，且,f(x)0,，试判断函数,F(x)=,在,(-,0),上的单调性，并给出证明,.,【分析】,F,（,x,）的单调性的判定与,f(x,1,),f(x2,),的大小有关，而,f(x),在,(0,+),上为减函数，可由此建立关系,.,16,【解析】,F(x),在,(-,0),上是增函数，以下进行证明：,设,x,1,x,2,(-,0),，,x,1,0,，且,-x,1,-x,2,(0,+),且,-x,1,-x,2,(-x,2,)-(-x,1,)=x,1,-x,2,0,又,f(x),在,(-,0)(0,+),上是奇函数，,f(-x,1,)=-f(x,1,),f(-x,2,)=-f(x,2,),由,式得,-f(x,2,)+f(x,1,)0,F(x,2,)-F(x,1,)=,17,又,f(x),在,(0,+),上总小于,0,，,f(x,1,)=-f(x,1,)0,f(x,2,)=-f(-x,2,)0,f(x,1,)f(x,2,)0,又,f(x,1,)-f(x,2,)0,F(x,2,)-F(x,1,)0,，且,x,2,-x,1,0,故,F(x)=,在,(-,0),上是增函数,.,【评析】解决综合性问题，关键是熟练掌握函数的性质,.,18,已知函数,f(x),在,(-1,1),上有定义，,f,（）,=-1,，当且仅当,0 x1,时，,f(x)0,，且对任意,x,y(-1,1),都有,f(x)+f(y)=,f,（），试证明：,（,1,）,f(x),为奇函数；,（,2,）,f(x),在,(-1,1),上单调递减,.,19,证明,:,（,1,）由f(x)+f(y)=f,（）,令,x=y=0,，得,f(0)=0.,令,y=-x,，得,f(x)+f(-x)=f,（）,=f(0)=0,f(x)=-f(-x),，,f(x),为奇函数,.,（,2,）先证,f(x),在,(0,1),上单调递减，,令,0 x,1,x,2,0,则,f(x,2,)-f(x,1,)=f(x,2,)+f(-x,1,)=f,（）,20,0 x,1,x,2,0,1-x,1,x,2,0,0,又,(x,2,-x,1,)-(1-x,2,x,1,)=(x,2,-1)(x,1,+1)0,0 x,2,-x,1,1-x,1,x,2,0 1,由题意知,0,，即,f(x,2,)-f(x,1,)0,f(x),在,(0,1),上为减函数,.,又,f(x),为奇函数，且,f(0)=0,f(x),在,(-1,1),上单调递减,.,21,学点五 奇偶性在求变量范围中的应用,设,f(x),在,R,上是偶函数，在区间,(-,0),上递增，且有,f(2a,2,+a+1)0,2a,2,-2a+3=2,（,a-,）,2,+0,且,f(2a,2,+a+1)2a,2,-2a+3,即,3a-20,解之得,a .,a,的取值范围是,a .,【评析】该例在求解过程中用到了前面提到的减函数定义的逆命题,.,23,（,1,）定义在,(-1,1),上的奇函数,f(x),为减函数，且,f(1-a)+f(1-a,2,)0,，求实数,a,的取值范围；,（,2,）定义在,-2,2,上的偶函数,g(x),，当,x0,时，,g(x),为减函数，若,g(1-m)g(m),成立，求,m,的取值范围,.,（,1,）,f(1-a)+f(1-a,2,)0,f(1-a)-f(1-a,2,),f(x),为奇函数,f(1-a)a,2,-1,-11-a1,-1a,2,-11,解得,0a1.,（,2,）因为函数,g(x),在,-2,2,上是偶函数，则由,g(1-m)g(m),，可得,g(|1-m|)g(|m|),又当,x0,时，,g(x),为减函数，得到,|1-m|2,|m|2,解之得,-1m|m|,.,24,1.,在函数的奇偶性中应注意什么问题？,（,1,）对于函数奇偶性的理解,函数的奇偶性与单调性的差异,:,函数的奇偶性是相对于函数的整个定义域来说的，这一点与函数的单调性不同,.,从这个意义上来讲，函数的单调性是函数的“局部”性质，而奇偶性是函数的“整体”性质，只有对函数定义域内的每一个值,x,，都有,f(-x)=-f(x),（或,f(-x)=f(x),）,才能说,f(x),是奇（或偶）函数,.,奇（或偶）函数的定义域必须是关于原点对称的，如果函数的定义域不关于原点对称，则此函数既不是奇函数，也不是偶函数,.,归纳小结,25,（,2,）函数按奇偶性分类,有的函数是奇函数；,有的函数是偶函数；,如果对于函数定义域内任一个x,，,f(-x)=f(x),与,f(-x)=-f(x),同时成立，那么函数,f(x),既是奇函数，又是偶函数,.,既是奇函数又是偶函数的表达式是唯一的：,f(x)=0,xA,，定义域,A,是关于原点对称的非空数集；,有的函数既不是奇函数，也不是偶函数,.,（,3,）用定义判断函数奇偶性的步骤,考查定义域是否关于原点对称；,判断,f(-x)=f(x),之一是否成立,.,26,2.,奇偶函数的图象有什么几何性质？,（,1,）如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数,.,如果一个函数是偶函数，则它的图象是以,y,轴为对称轴的轴对称图形；反之如果一个函数的图象关于,y,轴对称，则这个函数是偶函数,.,（,2,）若奇函数,y=f(x),在,x=0,时有定义，则由奇函数定义知,f(-0)=-f(0),，即,f(0)=-f(0),所以,f(0)=0.,（,3,）奇函数在对称于原点的两个区间上的单调性一致，偶函数则相反,.,27,1.,如果已知函数具有奇偶性，只要画出它在,y,轴一侧的图象，则另一侧的图象可对称画出,.,2.,奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同；偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反,.,3.,判断函数的奇偶性时，我们可以根据,f(-x)=f(x),，或是根据,f(-x)f(x)=0,，或是根据,f(-x)/f(x)=1,等途径来判断,.,4.,利用定义判断函数的奇偶性时，既要判断,f(x),与,f(-x),的关系，又不能忽略与定义域有关的问题，如关于原点对称、,x,的任意性等,.,因此，在解题中先确定函数的定义域不仅是解题程序的需要，可以避免许多错误，而且有时还可以避开讨论，简化解题的过程,.,注意问题,28,