1、单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,作 业,115页 3,4,6,12,13,第三节,一、三重积分的概念,二、三重积分的计算,三重积分的概念与计算,第九章,一、三重积分的概念,类似二重积分解决问题的思想,采用,引例:,设在空间有界闭区域,内分布着某种不均匀的,物质,求分布在 内的物质的,可得,“大化小,常代变,近似和,求极限”,解决方法:,质量,M,.,密度函数为,定义.,设,存在,称为,体积元素,若对,作,任意分割,:,任意取点,则称此极限为函数,在,上的,三重积分,.,在直角坐标系下常写作,下列“乘积和式”极限,记作,三重积分的性质,1.
2、线性性质、单调性、积分估值公式,2.区域可加性,4.微元法,5.对称奇偶性*,6.中值定理.,在有界闭域,上连续,则存在,使得,V,为,的,体积,二、三重积分的计算,1.利用直角坐标计算三重积分,方法1.,投影法(“先一后二”),方法2,.,截面法(“先二后一”),三次积分法,方法1.,投影法,(“先一后二”),记作,投影法,三次积分法,设区域,利用投影法结果,把二重积分化成二次积分即得:,适用范围:由平面围成的情况,其中,为三个坐标,例.,计算三重积分,所围成的闭区域.,解:,面及平面,.计算 ,其中 由锥面,及平面 围成.,解：,例2.,化 为三次积分，由曲面,及平面 围成.,解：如图,所
3、以,曲面与 xOy 坐标面交于 x 轴和 y 轴.,例1.,方法2.截面法,(“先二后一”),特别适用于积分区域中一坐标的范围易获得，截面范围易表示的情况。,其中,为三个坐标,例3.,计算三重积分,所围成的闭区域.,面及平面,为 面上 轴，,解:如图，：,轴和 围成的等腰直角三角形.,所以,注：此题可用投影法求解,计算三重积分,其中,是上半椭球体,解：,则,而,原式,例4.,例.,计算三重积分,解:,用“,先二后一,”,补充：三重积分对称性：,补充：三重积分对称性：,2、奇偶对称性：,解,积分域关于三个坐标面都对称，,被积函数是 的,奇函数,球面关于xoy面对称,解,1.,将,用三次积分表示,
4、其中,由,所,提示:,思考与练习,六个平面,围成,3.,设,计算,提示:,利用对称性,原式=,奇函数,to be continue,作 业,115页 3,4,6,12,13,换元法,三重积分也有类似二重积分的,换元积分公式:,体积元素,一一对应,雅可比行列式,利用柱坐标计算三重积分,就称为点,M,的柱坐标.,直角坐标与柱面坐标的关系:,圆柱面,平面,半平面,圆柱面,半平面,平面,在柱面坐标下,若,从小到大,边界到边界,则有,在投影区域上做极坐标变换,例.,计算三重积分,解:,在柱面坐标系下,所围成.,与平面,其中,由抛物面,原式=,4.,计算,其中,解:,利用对称性,利用球坐标计算三重积分,就
5、称为点,M,的球坐标.,直角坐标与球面坐标的关系,球面,半平面,锥面,在球面坐标系中,从小到大，从边界到边界。,体积元素为,化为三次积分，,求 的体积，,解：球面方程为,在球坐标系下方程为,所以,例6.,内容小结,积分区域,多由坐标面,被积函数,形式简洁,或,坐标系 体积元素 适用情况,直角坐标系,柱面坐标系,球面坐标系,*说明:,三重积分也有类似二重积分的,换元积分公式:,对应雅可比行列式为,变量可分离.,围成;,x,z,O,y,图 2-3,2,2,2 计算,，其中,为双曲面,，锥面,及柱面,围成,思考与练习,3.,设,由锥面,和球面,所围成,计算,提示:,利用对称性,用球坐标,其中 由锥面,平面 围成.,解法：用投影法.,计算,例5.,计算三重积分,解:,在球面坐标系下,所围立体.,其中,与球面,例6.,求曲面,所围立体体积.,解:,由曲面方程可知,立体位于,xoy,面上部,立体体积为,yoz,面对称,并与,xoy,面相切,故在球坐标系下所围立体,且关于,xoz,The End,
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