第5章---大数定律和中心极限定理.只是分享.ppt

第5章-大数定律和中心极限定理.,研究大量的随机现象，常常采用极限形式，由此导致对极限定理进行研究,.,极限定理的内容很广泛，其中最重要的有两种,:,与,大数定律,中心极限定理,5.1,大数定律,一、依概率收敛的概念,二、,切比雪夫不等式,三、切比雪夫大数定律,四、伯努利大数定律,五、辛钦大数定律,定义,一、依概率收敛的概念,依概率收敛不是通常微积分中的收敛,因此,设随机变量 的期望值 方差,则对于任意给定的正数,有,二、,切比雪夫不等式,注,:,(1),切比雪夫不等式也可以写成,(2),切比雪夫不等式表明：,则事件,发生的概率越大，,即，,随机变量,集中在期望附近,的可能性越大,.,随机变量,的方差越小，,(3),在方差已知的情况下，,它的期望的偏差不小于,的概率的估计式,.,如,取,则有,切比雪夫不等式给出了,与,故对任给的分布，,只要期望和方差存在，,则随机变,量,取值偏离,超过,3,倍均方差的概率小于,例,1,已知正常男性成人血液中,每一毫升白细胞,数平均是,7300,均方差是,700.,利用切比雪夫不,等式估计每毫升白细胞数在,5200 9400,之间的,概率,.,解,设每毫升白细胞数为,依题意,所求概率为,由切比雪夫不等式,即每毫升白细胞数在,5200 9400,之间的概率不,小于,8/9,.,例,2,在每次试验中,事件,发生的概率为,0.75,利用切比雪夫不等式求,:,独立试验次数,最小取,何值时,事件,出现的频率在,0.74 0.76,之间的,概率至少为,0.90,?,解,设,为,次试验中,事件,出现的次数,则,在切比雪夫不等式中取,则,依题意,取,使,解得,即,取,18750,时,可以使得在,次独立重复试验,中,事件,出现的频率在,之间的概率,至少为,0.90,.,三、切比雪夫大数定律,切比雪夫,切比雪夫大数定律说明：在定理的条件下，当,n,充分大时，,n,个独立随机变量的平均数这个随机变量的离散程度是很小的,.,这意味着只要,n,充分大，尽管,n,个随机变量可以各有其分布，但其算术平均以后得到的随机变量 将比较密地聚集在它的数学期望 的附近，不再为个别随机变量所左右,.,作为切比雪夫大数定律的特例，我们有下面的推论,.,推论,这一推论使算术平均值的法则有了理论根据,四、伯努利大数定律,切比雪夫大数定律的另一个推论通常称为伯努利大数定律,n,重,伯努利,试验中事件,A,发生,n,次,每次试验,A,发生的概率为,p,，则对任意,0,有,伯努利大数定律,表明事件发生的,频率依概率收敛于事件的概率,。,由,实际推断原理,在实际应用中,当试验次数很大时,可以用事件发生的频率来代替事件的概率。,进一步研究表明，切比雪夫大数定律推论中的方差存在这个条件并不是必要的，下面给出一个独立同分布场合下的,辛钦,大数定律。,作业,P139,练习,5.1,12.,5.,2,中心极限定理,一、莱维,中心极限定理,二、棣莫佛拉普拉斯中心极限定理,在实际问题中，常常需要考虑许多随机因素所产生总影响,.,例如：炮弹射击的落点与目标的偏差，就受着许多随机因素的影响,.,重要的是这些,随机因素的,总影响,.,如瞄准时的误差，空气阻力所产生的误差，炮弹或炮身结构所引起的误差等等,.,研究独立随机变量之和所特有的规律性问题,当,n,无限增大时，这个和的分布是什么,？,本节内容,观察表明，如果一个量是由大量相互独立的随机因素的影响所造成，而每一个别因素在总影响中所起的作用不大,.,则这种量一般都服从或近似服从正态分布,.,自从,高斯,指出测量误差服从正态分布之后人们发现，正态分布在自然界中极为常见,.,一、莱维,中心极限定理,一、莱维,中心极限定理,例,1,设有,30,个电子元件,它们的寿命均服从参数为,0.1,的指数分布,(,单位,:,小时,),每个元件工作相互独立,求他们的寿命之和超过,350,小时的概率,.,解,由,莱维中心极限定理,即他们的寿命之和超过,350,小时的概率为,0.1814,标准正态分布表,他们的寿命之和超过,350,小时,例,2,一加法器同时收到,20,个噪声电器,V,k,(,k,=1,2,20),设它们是相互独立的随机变量，且都在区间,(0,10),上,服从均匀分布。记,求,P,V,105,的近似值,解,E,(,V,k,)5,D,(,V,k,)=100/12 (,k,=1,2,20).,近似服从正态分布,N,(0,1),由,莱维中心极限定理,例,3,对敌人的防御地段进行,100,次炮击,在每次,炮击中,炮弹命中颗数的数学期望为,2,均方差为,1.5,求在,100,次炮击中,有,180,颗到,220,颗炮弹命中目标的,概率,.,解,设,X,k,为第,k,次炮击炮弹命中的颗数,(,k,=1,2,100),在,100,次炮击中炮弹命中的总颗数,X,k,相互独立，且,E,(,X,k,)=2,D,(,X,k,)=1.5,2,(,k,=1,2,100),由,莱维中心极限定理,有,180,颗到,220,颗炮弹命中目标的概率二、,棣莫佛,拉普拉斯,中心极限定理,证明,由于,根据莱维中心极限定理得,根据莱维中心极限定理得,棣莫佛拉普拉斯中心极限定理,表明,:,当,n,充分大时,正态分布是二项分布的极限分布,当,n,充分,大时,可以利用下面公式计算二项分布的概率,例,4,某工厂有,200,台同类型的机器,每台机器工作时需,要的电功率为,Q,千瓦,由于工艺等原因,每台机器的实,际工作时间只占全部工作的,75%,各台机器工作是相互,独立的,求,:,(1),任一时刻有,144,至,160,台机器正在工作的概率,.,(2),需要供应多少电功率可以保证所有机器正常工作的概率不少于,0.99.,解,(,1,),设随机变量,X,表示,200,台任一时刻正在工作的机器的台数，,则,X,B(200,0.75),.,由,棣莫佛拉普拉斯中心极限定理,有,n,=,200,p,=,0.75,q,=,0.25,np,=,150,npq,=,37.5,(1),任一时刻有,144,至,160,台机器正在工作的概率,.,(,2,),设任一时刻正在工作的机器的台数不超过,m,则,由,3,原则知,，,查标准正态函数分布表，得,例,4,某工厂有,200,台同类型的机器,每台机器工作时需,要的电功率为,Q,千瓦,由于工艺等原因,每台机器的实,际工作时间只占全部工作的,75%,各台机器工作是相互,独立的,求,:,(1),任一时刻有,144,至,160,台机器正在工作的概率,.,(2),需要供应多少电功率可以保证所有机器正常工作的概率不少于,0.99.,解,(,1,),设随机变量,X,表示,200,台任一时刻正在工作的机器的台数，,则,X,B(200,0.75),.,由,棣莫佛拉普拉斯中心极限定理,有,(1),任一时刻有,144,至,160,台机器正在工作的概率,.,查标准正态函数分布表，得,(,2,),设任一时刻正在工作的机器的台数不超过,m,则,思考题,对于一个学生而言，来参加家长会的家长人,数是一个随机变量，设一个学生无家长、,1,名家长、,2,名家长来参加会议的概率分别为,0.05,、,0.8,、,0.15.,若,学校共有,400,名学生,设各学生参加会议的家长数相互,独立,且服从同一分布,.,求参加会议的家长数,X,超过,450,的概率,.,(2),求有,1,名家长来参加会议的学生数不多于,340,的概率,.,解,(1),以,X,k,(,k,=1,2,400),记第,k,个学生来参加会议,的家长数,其分布律为,p,k,0.05,0,1,2,0.8,0.15,X,k,X,k,相互独立地服从同一分布,近似服从标准正态分布,则随机变量,(2),以,Y,表示有一名家长来参加会议的学生,数,则,Y,B(400,0.8),由,棣莫佛拉普拉斯中心极限定理,有,作业,P145,练习,5.2,1.2.3.4.,P145,习题五,此课件下载可自行编辑修改，仅供参考！感谢您的支持，我们努力做得更好！谢谢,