称为亥姆霍兹方程知识讲解.ppt

第 4 章,时变电磁场,电磁场与电磁波,*,称为亥姆霍兹方程,引入位函数来描述时变电磁场，使一些问题的分析得到简化。,引入位函数的意义,位函数的定义,4.2 电磁场的位函数,2,位函数的不确定性,满足下列变换关系的两组位函数 和 能描述同一个电磁场问题。,即,也就是说，对一给定的电磁场可用不同的位函数来描述。,不同位函数之间的上述变换称为规范变换。,原因,：未规定 的散度。,为任意可微函数,3,除了利用洛仑兹条件外，另一种常用的是库仑条件，即,在电磁理论中，通常采用洛仑兹条件，即,位函数的规范条件,4,位函数的微分方程,5,同样,6,说明,若应用库仑条件，位函数满足什么样的方程?具有什么特点问题,应用洛仑兹条件的特点：位函数满足的方程在形式上是对称,的，且比较简单，易求解；解的物理意义非常清楚，明确地,反映出电磁场具有有限的传递速度；矢量位只决定于,J,，标,量位只决定于,，,这对求解方程特别有利。只需解出,A,，无需,解出 就可得到待求的电场和磁场。,电磁位函数只是简化时变电磁场分析求解的一种辅助函数，应,用不同的规范条件，矢量位,A,和标量位 的解也不相同，但最终,得到的电磁场矢量是相同的。,7,电场能量密度,：,磁场能量密度,：,电磁能量密度,：,空间区域,V,中的电磁能量,：,电磁能量及守恒关系,4.3 电磁能量守恒定律,8,将以上两式相减，得到,由,推证坡,印廷定理进入体积,V,的能量体积,V,内增加的能量体积,V,内损耗的能量,特点,：当场随时间变化时，空间各点的电磁场能量密度也要随,时间改变，从而引起电磁能量流动。,电磁能量守恒关系：,9,即可得到坡印廷定理的微分形式,再利用矢量恒等式,：,在线性和各向同性的媒质中，当参数都不随时间变化时，则有,10,其中,：,单位时间内体积,V,中所增加,的电磁能量。,单位时间内电场对体积,V,中的电流所做的功；,在导电媒质中，即为体积,V,内总的损耗功率。,通过曲面,S,进入体积,V,的电磁功率。,在任意闭曲面,S,所包围的体积,V,上，对上式两端积分，并应用散度定理，即可得到坡印廷定理的积分形式,物理意义：,单位时间内，通过曲面,S,进入体积,V,的电磁能量等于,体积,V,中所增加的电磁场能量与损耗的能量之和。,11,定义：,(,W/m,2,),物理意义,：,的方向,电磁能量传输的方向,的大小,通过垂直于能量传输方,向的单位面积的电磁功率,描述时变电磁场中电磁能量传输的一个重要物理量,坡印廷矢量（电磁能流密度矢量）,12,例4.3.1,同轴线的内导体半径为,a,、外导体的内半径为,b,，其间填充均匀的理想介质。设内外导体间的电压为,U,，导体中流过的电流为,I,。（1）在导体为理想导体的情况下，计算同轴线中传输的功率；（2）当导体的电导率,为有限值时，计算通过内导体表面进入每单位长度内导体的功率。同轴线,13,解：,（1）利用高斯定理和安培环路定理，求得内外导体之间的电场和磁场分别为,内外导体之间任意横截面上的坡印廷矢量,14,电磁能量在内外导体之间的介质中沿轴方向流动，即由电源流向负载，如图所示。,穿过任意横截面的功率为,同轴线中的电场、磁场和坡印廷矢量,（理想导体情况）,15,（2）当导体的电导率,为有限值时，导体内部存在沿电流方向的电场,内,根据边界条件，在内导体表面上电场的切向分量连续，即,因此，在内导体表面外侧的电场为,内,磁场则仍为,内导体表面外侧的坡印廷矢量为,同轴线中的电场、磁场和坡印廷矢量,（非理想导体情况）,16,式中 是单位长度内导体的电阻。,进入每单位长度内导体的功率为,同轴线中的电场、磁场和坡印廷矢量,（非理想导体情况）,17,4.4 惟一性定理,在以闭曲面,S,为边界的有界区域,V,内，,如果给定,t,0 时刻的电场强度和磁场强度,的初始值，并且在,t,0,时，给定边界面,S,上的电场强度的切向分量或磁场强度的切向分量，那么，在,t,0,时，区域,V,内的电磁场由麦克斯韦方程惟一地确定。,惟一性定理的表述,在分析有界区域的时变电磁场问题时，常常需要在给定的初始条件和边界条件下，求解麦克斯韦方程。那么，在什么定解条件下，有界区域中的麦克斯韦方程的解才是惟一的呢？这就是麦克斯韦方程的解的惟一问题。,惟一性问题,18,4.5 时谐电磁场,复矢量的麦克斯韦方程,时谐电磁场的复数表示,复电容率和复磁导率,时谐场的位函数,亥姆霍兹方程,平均能流密度矢量,19,时谐电磁场的概念,如果场源以一定的角频率随时间呈时谐（正弦或余弦）变化，则所产生电磁场也以同样的角频率随时间呈时谐变化。这种以一定角频率作时谐变化的电磁场，称为时谐电磁场或正弦电磁场。,研究时谐电磁场具有重要意义,在工程上，应用最多的就是时谐电磁场。,广播、电视和通信,的载波等都是时谐电磁场。,任意的时变场在一定的条件下可通过傅里叶分析方法展开为不,同频率的时谐场的叠加。,4.5.1,时谐电磁场的复数表示,20,设 是一个以角频率,随时间,t,作正弦变化的场量，它与时间的关系可以表示成,其中,时间因子,空间相位因子,利用三角公式,式中的,为振幅、为与坐标有关的相位因子。,实数表示法或,瞬时表示法,复数表示法,复振幅,时谐电磁场的,复数表示,21,复数式只是数学表示方式，不代表真实的场。,照此法，矢量场的各分量,E,i,（,i,表示,x、,y,或,z,）可表示成,各分量合成以后，电场强度为,有关复数表示的进一步说明,复矢量,真实场是复数式的实部，即瞬时表达式。,由于时间因子是默认的，有时它不用写出来，只用与坐标有,关的部分就可表示复矢量。,22,例4.5.1,将下列场矢量的瞬时值形式写为复数形式,（2）,解：,（1）由于,（,1）,所以,23,（2）因为,故,所以,24,例4.52,已知电场强度复矢量,解,其中,k,z,和,E,x,m,为实常数。写出电场强度的瞬时矢量,25,例题,：已知正弦电磁场的电场瞬时值为,式中,解,：,（1）因为,故电场的复矢量为,试求：（1）电场的复矢量;（2）磁场的复矢量和瞬时值。,26,（2）由复数形式的麦克斯韦方程，得到磁场的复矢量,磁场强度瞬时值,27,以电场旋度方程 为例，代入相应场量的矢量，可得,将 、与 交换次序，得,上式对任意,t,均成立。令,t,0，得,4.5.2,复矢量的麦克斯韦方程,令,t,/2，得,即,28,从形式上讲，只要把微分算子 用 代替，就可以把时谐电磁场的场量之间的关系，转换为复矢量之间关系。因此得到复矢量的麦克斯韦方程,略去“.”和下标,m,29,实际的介质都存在损耗：,导电媒质,当电导率有限时，存在欧姆损耗。,电介质,受到极化时，存在电极化损耗。,磁介质,受到磁化时，存在磁化损耗。,损耗的大小与媒质性质、随时间变化的频率有关。一些媒质,的损耗在低频时可以忽略，但在高频时就不能忽略。,4.5.3,复电容率和复磁导率,导电媒质的等效介电常数,其中,c,=,j,/,、称为导电媒质的等效介电常数。,对于介电常数为,、电导率为,的导电媒质，有,30,电介质的复介电常数,同时存在极化损耗和欧姆损耗的介质,磁介质的复磁导率,对于存在电极化损耗的电介质，有 ，称为复介电常数或复电容率。其虚部为大于零的数，表示电介质的电极化损耗。在高频情况下，实部和虚部都是频率的函数。,对于同时存在电极化损耗和欧姆损耗的电介质，复介电常数为,对于磁性介质，复磁导率数为 ，其虚部为大于零的数，表示磁介质的磁化损耗。,31,损耗角正切,导电媒质导电性能的相对性,电介质,导电媒质,磁介质,弱导电媒质和良绝缘体,一般导电媒质,良导体,工程上通常用损耗角正切来表示介质的损耗特性，其定义为复介电常数或复磁导率的虚部与实部之比，即有,导电媒质的导电性能具有相对性，在不同频率情况下，导电媒质具有不同的导电性能。,32,导电媒质,理想介质,4.5.4,亥姆霍兹方程,在时谐时情况下，将 、，,即可得到复矢量的波动方程，称为亥姆霍兹方程。,瞬时矢量,复矢量,33,4.5.5,时谐场的位函数,在时谐情况下，矢量位和标量位以及它们满足的方程都可以表示成复数形式。,洛仑兹条件,达朗贝尔方程,瞬时矢量,复矢量,34,4.5.6,平均能量密度和平均能流密度矢量,二次式本身不能用复数形式表示，其中的场量必须是实数形式，不能将复数形式的场量直接代入。,设某正弦电磁场的电场强度和磁场强度分别为,电磁场能量密度和能流密度的表达式中都包含了场量的平方,关系，这种关系式称为二次式。,时谐场中,二次式的表示方法,35,则能流密度为,如把电场强度和磁场强度用复数表示，即有,先取实部，再代入,36,使用二次式时需要注意的问题,二次式只有实数的形式，没有复数形式。,场量是实数式时，直接代入二次式即可。,场量是复数式时，应先取实部再代入，即“先取实后相乘”。,如复数形式的场量中没有时间因子，取实前先补充时间因,子。,37,二次式的时间平均值,在时谐电磁场中，常常要,关心,二次式,在一个时间周期,T,中的,平均值，即,平均能流密度矢量,平均电场能量密度,平均磁场能量密度,在时谐电磁场中，二次式,的时间平均值可以直接由复矢量计,算，有,38,则平均能流密度矢量为,如果电场和磁场都用复数形式给出，即有,时间平均值与时间无关,例如某正弦电磁场的电场强度和磁场强度,都用实数形式给出,39,具有普遍意义，不仅适用于正弦电磁场，也适用于其他,时变电磁场；而 只适用于时谐电磁场。,在 中，和 都是实数形式且是,时间的函数，所以 也是时间的函数，,反映的是能流密度,在某一个瞬时的取值,；而 中的,和 都是复矢量，与时间无关，所以 也与时间无,关，,反映的是能流密度在一个时间周期内的平均取值,。,利用 ，可由 计算 ，但不能直,接由 计算 ，也就是说,关于 和 的几点说明,40,解,：,（1）由得,（2）电场和磁场的瞬时值为,例4.5.4,已知无源的自由空间中，电磁场的电场强度复矢量为 ，其中,k,和,E,0,为常数。求：,（1）磁场强度复矢量,；（2）瞬时坡印廷矢量,；（3）平均坡印廷矢量,。,41,（3）平均坡印廷矢量为,或直接积分，得,瞬时坡印廷矢量为,42,例,4.5.5,已知真空中电磁场的电场强度和磁场强度矢量分别为,解,:,(1),由于,(2),所以,其中,E,0,、,H,0,和,k,为常数。求：,(1),w,和,w,av,；(2),S,和,S,av,。,43,例,4.5.6,已知截面为 的矩形金属波导中电磁场的复矢量为,式中,H,0,、,、,、,都是常数。试求：（1）瞬时坡印廷矢量；,（2）平均坡印廷矢量。,解,：,（1）和 的瞬时值为,44,（2）平均坡印廷矢量,所以瞬时坡印廷矢量,45,此课件下载可自行编辑修改，仅供参考！感谢您的支持，我们努力做得更好！谢谢,