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第,页,目录 上一页 下一页 末页 退出,第5章-图解法,第五章 图解法,5-3 表面展开,5-2 投影变换,本章小结,5-1图解法基本作图,2,正投影法所解决的问题，可分为图示和图解两大类型。,前面各章节研究的问题，属于怎样用多面正投影图表现空间形体的结构和形状。这些问题属于图示问题，解决这类问题的方法称为图示法。,在产品设计时，有时需要在正投影图上求解空间几何要素的距离，夹角，实形等，这类问题属于图解问题，解决这类问题的方法称为图解法。本章将研究一些常用的,图解法,。,3,5-1图解法基本作图,一、直角三角形法求线段实长及其对投影面的倾角,直角三角形法求线段实长是图解法中常用的基本作图如图5-1所示的机体上有A、B两个油孔，需要求出连接油管的下料长度。,图5-1 求两油孔接管的下料长度,4,在图5-2a中单独画出了连接油管,AB,。油管,AB,是一般位置直线，其投影不反映实长。若过点,B,作,BA0,ab,可得一直角三角形,BA0A,，其直角边,BA0,=,ab,，,AA0,=,ZA-ZB,（,A、B,的,Z,坐标差），斜边,AB,就是所求的实长，,AB,和,BA0,的夹角就是,AB,对,H,面的倾角,。同理，过点,A,作,AB0,ab,得一直角三角形,AB0B,，,AB,与,AB0,的夹角就是,AB,对,V,面的倾角,。,由投影图中的两直角边长即可画出空间的直角三角形。为作图简便，一般将直角三角形画在如图5-2b所示的正面投影或水平投影的位置。,(a)立体图 (b)投影图,图5-2 一般位置直线的线段实长及其对投影面的倾角,5,直角三角形法的作图要领可归结为：,1.以线段一个投影的长度为一条直角边；,2.以线段的两端点垂直于该投影面的坐标差作为另一直角边（坐标差在另一投影面上量取）；,3.所作直角三角形的斜边即为线段的实长；,4.斜边与该投影的夹角即为线段与该投影面的倾角。,6,例5-1,已知直线,AB,的实长等于,30mm,，并知投影,ab,及,a,（图5-3a），试作出线段,AB,的水平投影。,解：,分析：解题有正推和反推两种思路，正推是从已知条件推导出所求结果。如本题从已知条件,ab,可得到点,A,和,B,的Z坐标差（图5-3b中的Z差），由Z差作直角边，实长作斜边，画一直角三角形，则另一直角边即为,AB,的水平投影长,ab,。而反推的思路是从要求的结果反回去找需要的已知条件。如本题要求点B的水平投影,b，,需要知道,AB,的水平投影长,ab,，要求,ab,的长度又需要知道,AB,的Z坐标差和实长，而这两项正好在已知条件中。,(a)已知条件 (b)作图过程,图5-3 求直线的水平投影,7,作图：,以,b,为圆心，30mm为半径画弧，与过,a,的水平线交于,l,，则,kl,为水平投影长,ab,（图5-3b）。再以,a,为圆心、,kl,为半径画弧，交,bk,的延长线于点,b,和,b1,，连接,ab,或,ab1,即为,AB,的水平投影。本题有两解。,(a)已知条件 (b)作图过程,图5-3 求直线的水平投影,8,二、直角的投影,直角投影法则:当直角的一条边平行于某个投影面时，直角在该投影面上的投影仍然是直角。,图5-4a中,AB,与,BC,垂直，其中直线,AB,为水平线，另一条直线,CB,为一般位置直线，可证明其,H,面投影,abbc,。,因为,ABBC、ABBb,，所以,AB,平面,Bbc,；由于,ABab,，所以,ab,平面,Bbc,，由此得,ab,bc,。,反之，若两直线的某投影互相垂直，且有一条线平行于该投影面，则两直线在空间必定互相垂直。,(a)(b),图5-4 垂直两直线投影,9,例5-2,已知正平线,BC,(图5-5a)，试过定点,A,作线与,BC,垂直相交。,解：,分析：由于,BC,是正平线，其垂线的正面投影应反映直角。,作图：,根据正面投影应反映直角，过,a,作,ad,cb,，过,d,向下作垂线，求出,d,，则,AD,与,BC,垂直相交。,(a)已知条件 (b)作图过程,图5-5 作两直线垂线,10,例5-3,已知矩形,ABCD,的不完全投影（图5-6a），,AB,为正平线。补全矩形的两面投影。,解：,由于矩形的邻边互相垂直相交，又已知,AB,为正平线，故可根据直角投影法则作,da,ab,，得出,d,。又由于矩形的对边平行且相等，由平行线性质作出,dc ab,，,ad,bc,得出,c,，同理，,abcd，adbc,得出,c。,（图5-6b）。,已知条件 (b)作图过程,图5-6 补全矩形的投影,11,三、直线与平面、平面与平面垂直,一、直线与平面垂直,直线与平面垂直的几何条件：若一直线垂直于平面内的任意两相交直线（相交垂直或交叉垂直），则直线与平面垂直。如图5-7所示，直线,MN,与平面内两相交直线,AD、CE,交叉垂直，则,MN,与平面垂直。,图5-7 线面垂直的几何条件,12,例 5-4,过点,M,作直线,MN,垂直于,ABC,平面（图5-8a）。,解：,用平面内取线的基本作图，在平面,ABC,内作正平线,AD,。过,a,作水平线,ad,与,cb,交于,d,，过,d,向上作垂线与,cb,交于,d,，则,AD,为平面,ABC,内的正平线。过,m,作,mnad,（图5-8b）,。,同理作水平线,CE(ce,ce),并过,m,作,mnce,N,点任意取。则直线,MN（mn，mn）,为所求垂线（图5-8c）。,(a)已知条件 (b)平面内作正平线 (c)平面内作水平线,图5-8 过点M作平面垂线,13,2.平面与一般位置平面垂直,两平面垂直的几何条件：平面内任一直线与另一平面垂直，则该平面必与另一平面垂直。,例 5-5,包含直线,MN,作一平面与,ABC,平面垂直（图5-9a）。,解：过直线,MN,上任意一点，作一直线与,ABC,平面垂直，则这两相交直线所决定的平面必与,ABC,平面垂直。,(a)已知条件 (b)作垂线,图5-9 作一平面与已知平面垂直,14,(1)在平面,ABC,内，分别作一水平线,CE(ce,ce),和正平线,AD(ad,ad),；,(2)过点,M(m，m),，分别作,mkce，mkad；,则,MN（mn，mn）,和,MK（mk，mk）,两相交直线所决定的平面与,ABC,平面垂直，如图5-9b所示。,(a)已知条件 (b)作垂线,图5-9 作一平面与已知平面垂直,15,3.直线与特殊位置平面垂直,若直线与特殊位置平面垂直，则平面的积聚投影与直线的同面投影垂直，且直线为该投影面的平行线。,在图5-10a中，铅垂面,ABC,平面的积聚投影与直线的同面投影垂直，但直线,EF,不是水平线，因此，,EF,与,ABC,不垂直。,在图5-10b中，平面的积聚投影与直线的同面投影垂直，且直线,KM,为该投影面的平行线。因此，,KM,与,ABC,垂直。,(a)判断直线是否与铅垂面垂直 (b)过点,M,作直线与铅垂面垂直,图5-10 直线与特殊位置平面垂直,16,4.投影面垂直面与平面垂直,若直线的投影垂直于投影面垂直面的积聚投影，且直线平行于该投影面，则直线与投影面垂直面垂直。如图5-11a所示，若铅垂面,P,的积聚投影,p,垂直于一般位置平面,ABC,内水平线的水平投影,a e，,则平面,P,与平面,ABC,垂直。,若垂直于同一投影面两平面互相垂直，则其积聚的投影必定互相垂直（图5-11b）。,(a)一般位置平面与特殊位置平面垂直 (b)两投影面垂直面互相垂直,图5-11平面与特殊位置平面垂直,17,5-2 投影变换,由前述可知，当直线或平面与投影面处于特殊位置时，则其投影反映某种特性（如实长、实形、倾角等）；并且可方便解决某些度量和定位问题（如求距离、交点、交线等）。投影变换就是通过改变空间几何元素对投影面的相对位置来简化解题的方法。,一、换面法基本概念,改变空间几何元素对投影面的相对位置，有有旋转和换面两种方法。旋转法是投影面不动，转动空间几何要素。换面法是空间几何元素不动，改变投影面位置，使空间几何元素对新投影面中处于有利于解题的位置。,18,如图5-12表示一般位置直线,AB,，若求其实长及对,H,面的倾角，可以取平行于,AB,且,H,面的新投影面,V,1代替旧投影面,V,，则,V,1和,H,面构成一个新的投影体系,V,1/,H,，直线,AB,在,V,1面上的投影,a1,b1,就反映,AB,的实长和对投影面,H,的倾角。投影面H称是被保留的投影面，该面上的投影称为保留投影。V面称为旧投影面，其上的投影称为旧投影，OX称为旧投影轴。,V,1面称为新投影面，其上的投影称为新投影，,O,1X1称为新投影轴。,图5-12 换面法求直线的实长与倾角,选择新投影面应遵循下列原则：,（1）新投影面应使空间元素处于解题的位置；（2）新投影面必须垂直被保留的投影面。,19,二、,点的换面,点是一切几何体中最基本的元素，因此，首先研究点在换面时的投影规律。,1.点的一次换面,从图5-13a可看出：,a,1,ax,1=,Aa,=,a,ax,，将,V,1面绕,O1X1,旋转90,与,H,面重合后，此时,aa,1,O1X1,轴。，由此可得更换投影面时,点的投影变换规律为,：,(1)点的新投影和其保留投影的连线垂直于新投影轴（,aa,1,OX,）。,(2)点的新投影到新投影轴的距离，等于旧投影到旧投影轴的距离（,a1,ax1=aa,x,）。图5-13 点的一次换面（更换,V,面）,20,根据以上规律，点在换,V,面时的作图步骤如下（见图5-13b）：,（1）作新投影轴,O,1,X,1；,（2）过,a,作新投影轴,O1X 1,的垂线，设交点,ax1,；,（3）在垂线上截取,a,1,ax,1=,a,a,x，即得点,A,在,V,1面上的新投影,a,1,。,同理也可保留投影面,V,而更换,H,面，如图5-14所示，设立一个垂直于,V,面的投影面,H,1面来代替原,H,面，组成新的投影体系,V,/,H,1，由于,V,面不动，所以点到,V,面的距离不变，即,a1ax 1=aax=A a,，且,a1a,O1X1,。,(a)(b)(a)(b)图5-13 点的一次换面（更换,V,面）图5-14 点的一次换面（更换,H,面）,21,2.点的二次换面,换面法在解决实际问题时，有时经一次换面还不能完全解决问题，还必须经过两次或多次换面。图5-15表示两次换面时，求点的新投影方法。其原理与点的一次换面相同，只是将作图过程依次重复一次。,必须注意,，在多次换面时，新投影面的选择除符合前述的两个条件外，还必须是在一个投影更换完后，在新的两面体系中交替更换另一个。如图5-15 中先由,V,1面代替,V,面，构成新体系,V,1/,H,，再以这个体系为基础，取,H,2代替,H,面，又构成新投影体系,V,1,H,2。,图5-15 点的二次换面,22,三、换面法的基本作图,1.一般位置直线变换成新投影面平行线,仍如图5-12a所示，为了求出,AB,的实长和对,H,面的倾角，可以用一个既垂直于,H,面，又平行于,AB,的,V,1更换,V,面，通过一次换面即可达到目的。具体作图过程如下（见图5-12b）：,（1）作新投影,O1X1ab,；,（2）作出,A,、,B,两点在,V,1面的新投影,a,1,和,b,1,，连线,a,1,b,1,即为,AB,的实长，,a,1,b,1,与,O1X1,轴的夹角即为,AB,对H面的倾角,。,如需求直线,AB,对,V,面的倾角,，可设,H,1面,AB,，构成,V,/,H,1投影面体系，求出,AB,在,H,1面的新投影即可求出,的大小。,图5-12 换面法求直线的实长与倾角,23,2.投影面平行线变换成新投影面垂直线,在空间与正平线垂直的平面必定是正垂面，因此应变换H面。与水平线垂直的平面必定是铅垂面，因此应变换V面。图5-16a表示对正平线,AB,变换成投影面垂直线的空间情况，这里我们只有变换,H,面为,H,1面，才能做到新投影面,H,1既垂直于,AB,，又垂直于,V,面。,(a)(b),图5-16 投影面平行线变换成投影面垂直线,24,具体作图过程如下（见图5-16b）：,（1）作新投影轴,O1X 1,a,b,；,（2）作出点,A,、,B,在,H,1面上下班的投影，它必然积聚成一点,a,1（,b,1）。请注意,，投影面平行线变换成投影面垂直线只需一次变换。把一般位置直线变换成投影面垂直线则至少需要两次变换：先变换成投影面平行线，再变换成投影面垂直线。,(a)(b),图5-16 投影面平行线变换成投影面垂直线,25,3.一般位置平面变换成新投影面垂直面,如图5-17a所示，,ABC,为一般位置平面，若在平面内任取一条水平线（如,AD,），再取新投影面V1垂直于,AD，,则可将,ABC,平面变换成投影面垂直面。,（a）(b),图5-17 一般位置平面变换成投影面垂直面,26,作图过程如下（见图5-17b）：,（1）在,ABC,上取水平线,CD,，其投影为,c,d,和,cd,；,（2）作新轴,O1X1,cd,；,（3）求作,ABC,在,V,1面的投影,a,1,b,1,c,1,，则,a,1,b,1,c,1,必定积聚成一直线。它与,O1X1,轴的夹角反映,ABC,平面对,H,面的倾角,。,（a）(b),图5-17 一般位置平面变换成投影面垂直面,27,4.投影面垂直面变换成新投影面平行面,如图5-18a所示，根据两平行投影面垂直面其积聚投影必定平行的投影特性，取新投影面V1的新投影轴O1X1平行于已知平面,ABC,的积聚投影,abc,，则可将,ABC,平面变换成投影面垂直面。,具体作图过程如下（见图5-18b）：,（1）作新投影,O1X1,abc,；,（2）求作点,A,、,B,、,C,的新投影,a,1,、,b,1,、,c,1,，连成,a,1,b,1,c,1,即为,ABC,的实形。,(a)(b),图5-18 投影面垂直面变换成投影面平行面,请注意,，投影面垂直面变换成投影面平行面只需一次变换。一般位置平面变换成投影面平行面则至少需要两次变换：先变换成投影面垂直面，再变换成投影面平行面。,28,（三）应用举例,例5-6,如图5-19a所示，求点,C,到直线,AB,的距离及其投影。,解：,（1）分析 如图5-19b所示，若所给直线AB是一条垂直于某一投影面的直线，则从,C,向,AB,所作垂线,CD,一定平行该投影面，且,CD,在该投影面的投影反映实际距离。,由于直线,AB,是一般位置直线，故须两次换面才能将直线,AB,变换成投影面垂直线。,(a)(b)(c),图5-19 换面法求点到直线距离,29,（2）具体作图过程如下,（见图5-19c）：,先作,O1X1,ab,，求出直线,AB,及,C,在V1面的新投影,a1,b1,和,c1,；,再作,O2X2,a1,b1,，求出直线,AB,及点,C,在H2面的新投影,a2b2,和,c2,，,a2,（,b2,）积聚成一点。,c2,和,a2,（,b2,）的连线,c2d2,即为距离的实长。,最后求距离的投影：在,V,1,H,2体系中，从,C,点作直线,AB,的垂线,CD,，即有,c1,d1,O2X2,。,d1,返回原投影，得,d,和,d连,cd,、,c,d,即得,C,点到,AB,距离的投影。,讨论：如先变换水平投影面,H,，结果是否相同。,(a)(b)(c),图5-19 换面法求点到直线距离,30,5-3 表面展开,在生产和生活中经常遇到由金属板材制成的产品（见图5-20），如抽油烟机的外壳、生产中的变形料斗、超市中的通风管道等，制造这类产品时，先要画出相应的展开图（即常说的放样），然后根据图样下料、经过弯、卷成形，最后将其焊（铆）接而成。,将物体表面按其实际形状依次摊平在同一个平面上，称为物体的表面展开。展开后所得到的图形，称为物体的表面展开图。,图5-20 薄板制件,31,一、平面立体的表面展开,平面立体的表面都是平面多边形，所以表面展开实质是求出属于立体表面的所有多边形的实形，并按一定顺序排列摊平。,例5-7,图5-21a所示为接料斗（四棱锥台）的主、俯视图，求作其侧面的展开图。,从图可看到，四棱锥台表面是四个梯形，每个梯形的两平行边的俯视图均反映实长。若求出梯形两平行边的距离实长，则可画出梯形的实形。,图5-21 接料斗的表面展开,32,其作图如下：用直角三角形法作出的实长，由此实长画出,ABFE,和,CDHG,（图5-21,b,），的实长为3,4,，由此实长画出,ADHE,和,VCGF,即得到展开图（图5-21,b,）。,为了节省展开下料的材料，可分别将展开图画成图5-21,c,。,图5-21 接料斗的表面展开,33,二、曲面立体的表面展开,1 圆柱面的展开图,在圆柱面上取若干素线，将圆柱假想成棱柱，并将棱柱底面的各边长换成弧长，则可用平面立体的展形图画法画圆柱面的展开图。,例5-8,求作如图5-22a所示异径三通管的展开图。,图5-22 异径正三通管的展开,34,解：,(1)作小圆管展开图：将小圆管底圆12等分（图中只画出了半个底圆），过分点向下作垂线，在正面投影上求得各素线的实长，将各素线的实长平移到底圆圆周展开线的相应位置上（图5-22b），光滑连接各素线的另一端点便得到相贯线的展开曲线。,（2）作大圆管展开图。如图5-22c所示，先作出整个大圆管的展开图。然后在铅垂的对称线上，由点,A,分别按弧长12、23、34量得A、,、,40各点，由这些点作出水平素线，相应地从正面投影1、2、3、4各点引铅垂线，与这些素线相交，得10、20、30、40点。同样再作后面各对称点，光滑连接这些点，就得出大圆管含相贯线的展开图。,图5-22 异径正三通管的展开,35,例5-9,作如图5-23a所示的等径直角弯管的展开图。,解：,分析：本题的直角弯管是由四节斜截圆柱管组成，中间两节为全节，两端为两个半节，这样共用三个全节组成该弯管。,由于弯管各节圆柱管的斜口与轴线的倾斜角相同，如果把各节圆柱管一正一反依次叠合，恰好构成一个完整的圆筒，如图5-23b所示。按圆柱面的展开方法，可画作各节的展开图，如图5-23c所示。,(a)(b)(c),图5-23 等径直角弯管的展开,36,2 圆锥面的展开图,在圆锥面上取若干素线，将圆锥假想成棱锥，并将棱锥底面的各边长换成弧长，则可用平面立体的展形图画法画圆锥面的展开图。,(a)(b),图5-24 斜截口正圆锥管的展开图,例5-10,求作圆锥体被斜平面截切后圆锥面的展开图（见图5-24a）。,解：,将圆锥底圆n等分（图中取n12），过分点作n条素线，将圆锥面分为n个等腰三角形。画出n个等腰三角形实形组成扇形展开图。,求出每条素线被截去素线的实长，即在主视图中，过b、c各点作水平线与最左的素线相交于b1、c1，sb1、sc1即为各截去素线的实长。在展开图的相应素线上截取Asa、Bsb1、Csc1。以光滑曲线连接A、B、C，即得截交线的表面展开图。,37,例5-11,作出如图5-25a所示的是上圆下方的变形接头的展开图。,解：,分析：变形接头是连接两个不同形状管道的接头管件。这类制件通常由平面和锥面共同组成。本题的平面部分是四个等腰三角形，三角形的两腰为一般位置直线，需求出实长后再画出三角形的实形。画锥面的展开图时，可等分顶圆，并作出过分点的素线。求出诸素线的实长，以顶圆各段弦长代替弧长，用几个三角形近似地替代斜圆锥面作展开。,(a)(b)(c),图5-25 变形接头展开图,38,具体作图步骤如下,（见图5-25）：,画出接头的投影图并按上述分析画出平面与锥面之间的分界线,如图5-25a所示。,将每个锥面分成若干个小三角形，图中分为3个。为了作图方便，将圆口分为相应的等分，图中为12等分。,(a)(b)(c),图5-25 变形接头展开图,39,用直角三角形法，求出平面与锥面大小三角形的各边实长。由于它们具有相同的Z坐标，只需依次量取各条边的水平投影a0、a1，便可方便地求出它们的实长。大三角形底边的实长可以从水平投影中直接量取，小三角形短边的实长可从水平投影的圆周上量取相邻两分点之间的距离来近似表示。,依次作出各三角形的实形，并将顶圆口展开的各点连成光滑曲线，即得到变形接头的展开图，如图5-25c所示。,(a)(b)(c),图5-25 变形接头展开图,40,本 章 小 结,本章介绍了图解法的基本作图、投影变换和立体的表面展开。,一、基本作图,1.直角三角形法求一般位置直线段的实长及对投影面的倾角,直角三角形法中有四个参数，即线段的实长、投影长度、坐标差及直线对投影面的倾角。只要知道其中任两个参数即可作出直角三角形而求出其余两个参数。,注意比较直角三角形法、换面法、旋转法求实长及倾角的异同。,41,2 直角的投影,当直角的一条边平行于某个投影面时，直角在该投影面上的投影仍然是直角。,反之，若两直线的某投影互相垂直，且有一条线平行于该投影面，则两直线在空间必定互相垂直。,3 直线与平面、平面与平面垂直,直线与平面垂直的几何条件：若一直线垂直于平面内的任意两相交直线（相交垂直或交叉垂直），则直线与平面垂直。,两平面垂直的几何条件：平面内任一直线与另一平面垂直，则该平面必与另一平面垂直。,利用直线与平面垂直的作图可在换面法中解决点到平面、点到直线、平面到平面及直线到直线间的距离问题。,42,二、换面法,换面法是使空间几何元素的位置保持不动，而用新投影面来代替原来的投影面，使空间几何元素在新投影面中处于有利于解题的位置。,选择新投影面应遵循下列原则：（1）新投影面应使空间元素处于解题的位置；（2）新投影面必须垂直被保留的投影面。,换面法的基本作图：（1）一般位置直线变换成新投影面平行线，（2）投影面平行线变换成新投影面垂直线，（3）一般位置面变换成新投影面垂直面，（4）投影面垂直面变换成新投影面平行面,43,第五章结束,三、表面展开,作任何表面的展开图都是要画出表面的实形，归根到底是要求出直线段的实长，以及画出空间各种平面的实形，如三角形、矩形、梯形等，用来拼画成整张表面的展开图。注意理论联系实际，在完成理论作图后，还需考虑实际产品生产中金属板的厚度。1mm以下的薄板制件，一般用咬缝的方式连接，画展开图时，要增加折边裕量。而较厚的板件采取焊接，在展开图中接口处必须留有修整裕量。应参考有关的设计与生产手册。,44,此课件下载可自行编辑修改，仅供参考！感谢您的支持，我们努力做得更好！谢谢,