三重积分习题课复习课程.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,三重积分的轮换对称性,:,1,.(,两字母轮换,),如果将,x,y,换为,y,x,积分域不变,则,2,.(,三字母轮换,),如果将,x,y,z,换为,y,z,x,积分域不变,则,3,.(,三字母轮换,),如果将,x,y,z,换为,y,z,x,积分域不变,;,当被积函数,f,(,x,y,z,),中,x,y,z,依次轮换，函数的形式不变,;,而,f=,f,1,+f,2,+f,3,且,x,y,z,依次轮换时，,f,1,，,f,2,，,f,3,依次轮换，则,其中,为球面,x,2,+y,2,+z,2,=1,所围成的区域,.,例,例,计算三重积分,其中,：,0,x,1,，,0,y,1,，,0,z,1,解,错解,解,正确做法,分析,积分区域和被积函数都具有轮换对称性,?,x,z,y,o,x,y,o,1,.,.,.,.,三重积分习题课,重点：,1.,计算；,2.,应用,上边界曲面（,上顶,）,下边界曲面（,下底,）,xOy,坐标面上的,投影区域,一、利用直角坐标系计算三重积分,“,先一后二”,（一）先投影，再确定上、下面,x,0,z,y,c,1,c,2,.,“,先二后一”,z,D,z,（二）,截面法,c,1,c,2,:,向,z,轴的投影区间,D,z,:,过,z,c,1,c,2,且垂于,z,轴,的平面截,得到的截面,0,x,z,y,M,(,x,y,z,),M,(,r,z,),z,r,P,(,x,y,0),x,y,z,柱面坐标,M,(,x,y,z,),M,(,r,z,),z,=,z,.,.,二、利用柱面坐标计算三重积分,x,z,y,0,d,r,r,r,d,d,z,底面积,：,r,d,r,d,元素区域由六个坐标面围成：,半平面,及,+,d,;,半径为,r,及,r+,d,r,的圆柱面,；,平面,z,及,z+,d,z,；,d,z,d,V=,.,柱面坐标下的体积元素,.,d,V,0,x,z,y,M,(,x,y,z,),M,(,r,),r,P,y,x,z,.,.,.,球面坐标,三、利用球面坐标计算三重积分,r,dr,d,x,z,y,0,d,r,d,元素区域由六个坐标面围成：,rsin,d,球面坐标下的体积元素,.,半平面,及,+,d,；,半径为,r,及,r+,d,r,的球面；,圆锥面,及,+,d,r,2,sin,d,r,d,d,d,V,d,V=,(,一,),平面区域的面积,设有平面区域,D,(,二,),体积,设曲面方程为,则,D,上的曲顶柱体体积为,:,则其面积为,:,占有,空间有界域,的立体的体积为,:,重积分在几何上的应用,曲面,S,的面积,元素,曲面,S,的面积,公式,(,三,),曲面的面积,(1),平面薄片的质心,三、重积分在物理上的应用,(,一,),质,(,重,),心,(2),空间物体的重心,设物体占有空间域,有连续密度函数,重心,(1),平面薄片的转动惯量,(,二,),转动惯量,(2),空间物体的转动惯量,则,转动惯量,为,设物体占有空间域,有连续密度函数,设物体占有空间区域,V,体密度为,区域,V,之外有一质量为,m,的质点,A,(,a,b,c,),求物体,V,对质点,A,的引力.,(,三,),引力,于是引力,F,在三个坐标方向上的分量为,其中,G,为万有引力系数，,例,1,解,利用球面坐标,例题,（,画图,）,z,0,x,y,1,化为球系下的方程,r,=2,cos,.,M,.,r,z,=0,y,=0,x,=0,0,y,x,画图,x,0,z,y,1,1,D,xy,D,xy,x,=0,y,=0,x+,2,y,=1,围成,1,.,.,.,例,2,：,x,+2,y,+,z,=1,D,xy,I,=,x,0,z,y,1,1,D,yz,.,.,.,例,3,：,x,+,y,+,z,=1,I,=,解,直接积分困难，考虑改变积分次序,例,4,解,例,5,解,例,6,解,0,y,x,D,xy,解,例,7,法,1,先二后一,法,2,解,例,8,计算,其中,是由抛物面,和球面,所围成的空间闭区域,.,a,y,x,z,o,例,9,x,y,z,o,D,S,=,D,:,.,.,.,例,10,.,.,.,例,10,解,S,=,z,=0,y,x,z,o,球面坐标,a,.,.,.,用哪种坐标？,r=a,.,例,11,例,12,计算极限,其中,具有连续导数,且,解,:,测 验 题,