数学《双曲线》新人教A版选修.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,双曲线的几何性质,云霄一中 黎中安,2010,年,12,月,2,日,一、知识再现,前面我们学习了椭圆 的简单的几何性质：范围、对称性、顶点、离心率,.,我们来共同回顾一下椭圆,x,2,/a,2,+y,2,/b,2,=1(ab0),几何性质的具体内容及其研究方法,.,椭 圆,标准方程,x,2,/a,2,+y,2,/b,2,=1(ab0),几何,图形,范围,对称性,顶点,a,、,b,、,c,的含义,离心率,e,定义,B2,B,1,y,x,A,2,A,1,0,F,1,F,2,|x|a,、,|y|b,x,2,/a,2,1,、,y,2,/b,2,1,中心对称，轴对称,-x,代,x,、,-y,代,y,A,1,(-a,0),A,2,(a,0),B,1,(0-b),B,2,(0,b),分别令,x=0,，,y=0,a(,长半轴长),c（,半焦距长）,b（,短半轴长,)a,2,=b,2,+c,2,焦距与长轴长的比,e=c/a,0eb0),x,2,/a,2,-y,2,/b,2,=1(a0、b0),几何,图形,范围,对称性,顶点,a,b,c,的含义,离心率,e,的定义,x,2,/a,2,1,、,y,2,/b,2,1,-x,代x,、,-y,代,y,分别令,x=0,，,y=0,x a,或,x -a,中心对称，轴对称,A,1,(-a,0),、,A,2,(a,0),a（,实半轴长,）c（,半焦距长）,b （,虚半轴长,）a,2,=c,2,-b,2,焦距与实轴长的比,e=c/a,e1,a(,长半轴长),c（,半焦距长）,b（,短半轴长,)a,2,=b,2,+c,2,焦距与长轴长的比,e=c/a,0e0,b0),y,2,/a,2,-x,2,/b,2,=1(a0、b0),几何,图形,范围,x a,或,x -a,对称性,中心对称，,轴对称,顶 点,a,、,b,、,c,的含义,离心率,e,焦距与实轴长的比,e=c/a,e1,y a,或,y -a,中心对称，轴对称,A,1,(0,-a),A,2,(0,a),A,1,(-a,0),A,2,(a,0),a（,实半轴长,）c（,半焦距长）,b（,虚半轴长,）a,2,=c,2,-b,2,a（,实,半,轴长,）c（,半焦距长）,b（,虚,半,轴长,）a,2,=c,2,-b,2,焦距与实轴长的比,e=c/a,e1,y,x,o,A,2,A,1,B,1,B,2,F,1,F,2,y,F,2,A,2,A,1,B,2,0,x,F,1,x=a,x=-a,y=a,y=-a,B,1,四、,让我们来讨论,双曲线的顶点就是双曲线与坐标轴的交点，你认为对吗？讨论并给出答案.,y,F,2,B,1,A,2,A,1,B,2,0,x,F,1,五、让我们共同分析,例1、求双曲线 9,y,2,-16x,2,=144,的半实轴长和半虚轴长、焦点坐标、离心率.,分析：,化为标准方程：,y,2,/16-x,2,/9=1,确定焦点位置：在,y,轴上,找出,a、b,的值：,a=4,b=3,代入关系式,c,2,=a,2,+b,2,=25,、,e=c/a=5/4,写出结果：,a=4,b=3,F1(0,5),F2(0,-5),e=5/4,.,六、练,一练,求下列双曲线的实半轴长和虚半轴长及顶点坐标,.,(1),x,2,-4y,2,=16,(2)x,2,/49-y,2,/25=-1,解答：（,1,）,a=4,b=2,A,1,(-4,0),A,2,(4,0),（,2,）,a=5,b=7,A,1,(0,-5),A,2,(0,5),请思考：,如若求半焦距长和离心率呢？,小结：关键在于求,实半轴,a,的长和虚半轴,b,的长，然后代入关系式,c,2,=a,2,+b,2,、,e=c/a,求半焦距,c,的长及离心率,.,七、让我们继续研究,请观察双曲线的图象和矩形对角线,有何特征？,双曲线,x,2,/a,2,-y,2,/b,2,=1(a0、b0),的各支向外延伸时，与矩形的两条对角线所在的直线逐渐接近,.,请思考：结论正确吗,?,F,2,y,B,1,A,2,A,1,B,2,0,x,F,1,（一）、我们共同来设计一个方案：,八、我们一起来证明,1,、由双曲线的对称性我们只需研究第一象限的情形；,2,、,如何说明双曲线,x,2,/a,2,-y,2,/b,2,=1,在第一象限内与矩形的对角线所在的直线逐渐接近且不相交呢？,M,(x,y),Q,（,2,）如何,说明,|MQ|,逐渐减小且不等于,0,呢？,0,x,y,b,a,L,N(x,Y),（,3,）如何证明,|MN|,逐渐减小且不等于,0,呢？我们可用方程的思想解决：,|MN|=Y-y,，求出,M,、,N,点坐标即可,.,为此我们过点,M,作一条直线,L,与,y,轴平行，交矩形对角线与,N,点，坐标记为,N,（,x,，,Y,）,.,我们需证明,N,点在,M,点上方，即证,y,Y.,又,|MQ|,|MN|,，所只需证明,|MN|,逐渐减小且不等于,0,即可,.,（,1,）我们在第一象限内双曲线图象上任取一点,M,（,x,y,），过,M,点向矩形的对角线,y=bx/a,引垂线，垂足为,Q,点。我们只需说明,|MQ|,逐渐减小且不等于,0,即可,.,THANK YOU,SUCCESS,2025/5/12 周一,13,可编辑,（,二）、我们来证明,先取双曲线在第一象限内的部分进行证明这一部分的方程可写为,0,x,y,N(x,Y),Q,M,(x,y),在该式子中,x(x,a),逐渐增大时，,|MN|,逐渐减小且不等于,0.,又,|MQ|,|MN|,，所以,|MQ|,逐渐减小且不等于,0.,即双曲线,x,2,/a,2,-y,2,/b,2,=1,在第一象限内与矩形的对角线所在的直线逐渐接近且不相交,.,在其它象限内，我们可类似证明,.,y,N(x,Y),M,(x,y),0,x,Q,（三）、请注意：,1,、当焦点在,y,轴上时也可类似证明具有同样性质；,2,、我们把两条直线,y=,b,x,/a,叫做双曲线的,渐近线,.,3,、当焦点在,x,轴上时，方程为,x,2,/a,2,-y,2,/b,2,=1(a0,b0),，渐,近线方程为,y=,b,x,/a,；,当焦点在,y,轴上时，方程为,y,2,/a,2,-,x,2,/b,2,=1(a0,b0),，渐近,线方程为,y=,ax,/b.,九、动脑筋,1,、如何求双曲线的渐近线？,例：求下列双曲线 的渐近线,（,1,）9,y,2,-16x,2,=144,；,（,2,）,9y,2,-16x,2,=-144,.,规律总结：,方法一：求矩形对角线所在的直线方程；,解答：,（,1,）,y=,4x/3,，（,2,）,y=,4x/3,0,y,b,a,方法二：化成标准式后再将1换成0或直接将常数项换为,0.,2,、双曲线与其渐近线之间是否是一对一关系？,例：当渐近线方程为,y=,bx/a,时，双曲线的标准方,程一定是,x,2,/a,2,-y,2,/b,2,=1,吗？为什么？,x,y=bx/a,y=-bx/a,3,、类比作椭圆的简图,如何较规范地作出双曲线的图形？,例：画出下列双曲线的图形,（,1,）9,y,2,-16x,2,=144,；,（,2,）,x,2,-y,2,=4.,注,:,实轴和虚轴等长的双曲线,叫做等轴双曲线,.,0,y,x,M,-3,3,4,-4,十、让我们来共同回顾,本节课我们共同学习了那些内容：,椭圆,双曲线,标准方程,x,2,/a,2,+y,2,/b,2,=1(ab0),x,2,/a,2,-y,2,/b,2,=1(a0、b0),几何,图形,范围,|x|a,、,|y|b,x a,或,x -a,对称性,中心对称，,轴对称,中心对称，,轴对称,顶点,A,1,(-a,0),A,2,(a,0),B,10-b),B,2,(0,b),A,1,(-a,0),、,A,2,(a,0),a,b,c,的含义,a(,长半轴长),c（,半焦距长）,b（,短半轴长）,a,2,=b,2,+c,2,a（,实半轴长,）c（,半焦距长）,b （,虚半轴长,）a,2,=c,2,-b,2,离心率,e,定义,焦距与长轴长的比,e=c/a,0e1,B,2,B,1,y,x,A,2,A,1,0,F,1,F,2,y,F,2,B,1,A,2,A,1,B,2,0,x,F,1,X=a,X=-a,标准方程,x,2,/a,2,-,2,/b,2,=1(a0,b0),y,2,/a,2,-x,2,/b,2,=1(a0、b0),几何,图形,范围x a,或,x -a,y a,或,y -a,对称性,中心对称，,轴对称,中心对称，,轴对称,顶 点,A,1,(-a,0),A,2,(a,0),A,1,(0,-a),A,2,(0,a),a,、,b,、,c,的含义,a（,实半轴长,）c（,半焦距）,b（,虚半轴长,）a,2,=c,2,-b,2,a（,实半轴长,）c（,半焦距长）,b（,虚半轴长,）a,2,=c,2,-b,2,离心率,e,焦距与实轴长的比,e=c/a,e1,焦距与实轴长的比,e=c/a,e1,y,F,2,B,1,A,2,A,1,B,2,0,x,F,1,X=a,X=-a,y,x,o,A,2,A,1,B,1,B,2,F,1,F,2,双曲线的渐近线,y,F,2,y,x,o,A,2,A,1,B,1,B,2,F,1,F,2,当焦点在,x,轴上时，方程为,x,2,/a,2,-y,2,/b,2,=1(a0,b0),，渐,近线方程为,y=,b,x,/a,；,当焦点在,y,轴上时，方程为,y,2,/a,2,-x,2,/b,2,=1(a0,b0),，渐近,线方程为,y=,ax,/b.,B,1,A,2,A,1,B,2,0,x,F,1,X=a,X=-a,1,、离心率,e,的变化对双曲线图形有何影响？如何解释？,十一、课后请你思考题,0,y,b,a,F,1,C,F,2,x,0,y,e,1,e,2,e,3,e,4,2,、如图，双曲线和椭圆的离心率分别为,e,1,、,e,2,、,e,3,、,e,4,试比较,e,1,、,e,2,、,e,3,、,e,4,的大小.,再见,!,THANK YOU,SUCCESS,2025/5/12 周一,26,可编辑,