连续系统的s域分析.ppt

单击此处编辑母版标题样式,第,*,页,第五章 连续系统的,s,域分析,频域分析,以,虚指数信号e,jt,为基本信号，任意信号可分解为众多不同频率的虚指数分量之和。使响应的求解得到简化。物理意义清楚。但也有不足：,（1）有些重要信号不存在傅里叶变换，如e,2t,(t);,（2）对于给定初始状态的系统难于利用频域分析。,在这一章将通过把频域中的傅里叶变换推广到复频域来解决这些问题。,本章引入,复频率 s=+j,以复指数函数,e,st,为基本信号，任意信号可分解为不同复频率的复指数分量之和。这里用于系统分析的独立变量是,复频率 s,，故称为,s域分析,。所采用的数学工具为拉普拉斯变换。,5.1 拉普拉斯变换,从傅里叶变换到拉普拉斯变换,收敛域,(,单边,),拉普拉斯变换,常见函数的拉普拉斯变换,单边拉氏变换与傅里叶变换的关系,一、从傅里叶变换到拉普拉斯变换,有些函数不满足绝对可积条件，求解傅里叶变换困难。为此，可用一衰减因子e,-t,(为实常数）乘信号,f,(,t,)，适当选取的值，使乘积信号,f,(,t,)e,-t,当t时信号幅度趋近于0，从而使,f,(,t,)e,-t,的傅里叶变换存在。,相应的傅里叶逆变换 为,f,(,t,)e,-t,=,F,b,(,+j,)=,f(t)e,-t,=,令s=+j,d=ds/j，有,定义,双边拉普拉斯变换对,F,b,(,s,)称为,f,(,t,)的双边拉氏变换（或,象函数,），,f,(,t,)称为,F,b,(,s,)的双边拉氏逆变换（或,原函数,）。,二、收敛域,只有选择适当的值才能使积分收敛，信号,f,(,t,)的双边拉普拉斯变换存在。,使,f,(,t,)拉氏变换存在的取值范围称为F,b,(s)的收敛域,。,下面举例说明F,b,(s)收敛域的问题。,例1 因果信号,f,1,(t)=e,t,(,t,)，求拉氏变换。,解,可见，对于因果信号，仅当Res=,时，其拉氏变换存在。收敛域如图所示。,收敛域,收敛边界,例2,反因果信号,f,2,(,t,)=e,t,(-,t,)，求拉,氏,变换。,解,可见，对于反因果信号，仅当Res=,时，其收敛域为,Res,2,Res=,3,3 ,2,可见，象函数相同，但收敛域不同。,双边拉氏变换必须标出收敛域。,通常遇到的信号都有初始时刻，不妨设其初始时刻为坐标原点。这样，t,，可以省略。本课程主要讨论单边拉氏变换。,三、单边拉氏变换,简记为,F,(,s,)=,f,(,t,),f,(,t,)=,-1,F,(,s,),或,f,(,t,),F,(,s,),四、常见函数的拉普拉斯变换,1、,(t)1，,-,2、,(t)或1 1/s，,0,3、指数函数e,-s,0,t,-Res,0,cos,0,t=(e,j,0,t,+,e,-j,0,t,)/2,sin,0,t=(e,j,0,t,e,-j,0,t,)/2j,5.2,拉普拉斯变换性质,线性性质,尺度变换,时移特性,复频移特性,时域微分,时域积分,卷积定理,s,域微分,s,域积分,初值定理,终值定理,一、线性性质,若,f,1,(t),F,1,(s)Res,1,f,2,(t),F,2,(s)Res,2,则 a,1,f,1,(t)+a,2,f,2,(t)a,1,F,1,(s)+a,2,F,2,(s)Resmax(,1,2,),例1,f,(t)=,(t)+,(t)1+1/s，,0,二、尺度变换,若,f,(t),F,(s),Res,0,，且有实数a0，,则,f,(at),证明：,三、时移特性,若,f,(,t,),F,(s),Res,0,且有实常数,t,0,0,则f,(,t,-,t,0,),(,t,-,t,0,)e,-st,0,F,(s),Res,0,与尺度变换相结合,f,(,at,-,t,0,),(,at,-,t,0,),例1:,求如图信号的单边拉氏变换。,解：,f,1,(t)=,(t),(t-1)，,f,2,(t)=,(t+1),(t-1),F,1,(s)=,例2:,已知,f,1,(t),F,1,(s),求,f,2,(t),F,2,(s),解：,f,2,(t)=,f,1,(0.5t),f,1,0.5(t-2),f,1,(0.5t)2F,1,(2s),f,1,0.5(t-2)2F,1,(2s)e,-2s,f,2,(t)2F,1,(2s)(1 e,-2s,),四、复频移（s域平移）特性,若,f,(t),F,(s),Res,0,且有复常数s,a,=,a,+j,a,则,f,(t)e,s,a,t,F,(s-s,a,),Res,0,+,a,例1:,已知因果信号f(t)的象函数F(s)=,求e,-t,f,(3t-2)的象函数。,解：,e,-t,f,(3t-2),五、时域的微分特性（微分定理）,若,f,(t),F,(s),Res,0,则,f,(t)s,F,(s),f,(0,-,),推广：,证明：,六、时域积分特性（积分定理）,证明：,例1:,t,2,(,t,)?,七、卷积定理,时域卷积定理,若因果函数,f,1,(t),F,1,(s),Res,1,f,2,(t),F,2,(s),Res,2,则,f,1,(t)*,f,2,(t),F,1,(s),F,2,(s),复频域（s域）卷积定理,八、s域微分和积分,若,f,(t),F,(s),Res,0,则,例1：,t,2,e,-2t,(t),?,e,-2t,(t),1/(s+2),t,2,e,-2t,(t),例2：,九、初值定理和终值定理,初值定理和终值定理常用于由,F,(s)直接求,f,(0,+,)和,f,(），而不必求出原函数,f,(t),初值定理,设函数,f,(,t,)不含,(,t,)及其各阶导数,则,终值定理,若,f,(,t,)当,t,时存在，并且,f,(,t,),F,(s),Res,0,0,0，则,举例,例1：,5.3,拉普拉斯逆变换,直接利用定义式求反变换-复变函数积分，比较困难。,通常的方法:,（1）查表 （2）利用性质 （3）部分分式展开-结合,若象函数F(s)是s的有理分式，可写为,若,m,n,（假分式）,可用多项式除法将象函数F(s)分解为有理多项式P(s)与有理真分式之和。,由于,L,-1,1=,(t)，,L,-1,s,n,=,(n),(t)，故多项式P(s)的拉普拉斯逆变换由冲激函数构成。,下面主要讨论有理真分式的情形。,一、零、极点的概念,若F(s)是s的实系数有理真分式（,m,0,要讨论其关系，,f,(t)必须为因果信号。,根据收敛坐标,0,的值可分为以下三种情况：,（1）,0,-2；,则 F(j)=1/(j+2),（2）,0,=0，,即F(s)的收敛边界为j轴，,如,f,(t)=(t),F,(s)=1/s,=()+1/j,（3）,0,0，F(j,)不存在。,例,f,(t)=e,2t,(t),F,(s)=1/(s 2),2；其傅里叶变换不存在。,