光波场的复振幅描述.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,.,*,第1章 现代光学的数学物理基础,Scalar,Angle-Spectrum Theory of Diffraction,光场随时间的变化关系:由频率,n,表征.,单色光场中某点,P,(,x,y,z,)在时刻,t,的光振动可表为:,u,(,P,t,)=,a,(,P,)cos2,pn,t,-,j,(,P,),振幅,频率,初位相,可见光:,n,10,14,Hz,严格单色光:,n,为常数,光场随空间的变化关系体现在:,(1)空间各点的振幅可能不同,(2)空间各点的初位相可能不同,由传播引起.,光场变化的空间周期为,l,.,光场变化的时间周期为1/,n.,由于,u,(,P,t,)必须满足波动方程，,可以导出,a,(,P,)、,n、j,(,P,)必须满足的关系,1-1 光波场的复振幅描述,1、光振动的复振幅和亥姆霍兹方程,1,.,1-1光波场的复振幅描述,光振动的复振幅表示,光场随时间的变化,e,-j2,pn,t,不重要:,u,(,P,t,)=,a,(,P,)cos2,pn,t,-,j,(,P,),=,e,a,(,P,),e,-j2,pn,t,-,j,(,P,),n,10,14,Hz,无法探测,n,为常数,线性运算后亦不变,对于携带信息的光波,感兴趣的是其空间变化部分.,故引入复振幅,U,(,P,):为了导出,a,(,P,)、,n、j,(,P,)必须满足的关系，将光场用复数表示,以利于简化运算,=,e,a,(,P,),e,j,j,(,P,),.,e,-j2,pn,t,复数表示有利于将时空变量分开,U,(,P,)=,a,(,P,),e,j,j,(,P,),则,u,(,P,t,),=,e,U,(,P,),e,-j2,pn,t,2,.,1-1光波场的复振幅描述,亥姆霍兹（Helmholtz)方程,可导出复振幅满足的方程为：,将,U,(,P,)exp(,j,2,pn,t,)代入波动方程,即亥姆霍兹（Helmholtz)方程 -,不含时间的波动方程,称为波数或传播常数，,表示单位长度上产生的相位变化,在自由空间传播的任何单色光扰动的复振幅都必须满足,亥姆霍兹,方程。也就是说，可以用不含时间变量的复振幅分布完善地描述单色光波场。,3,.,1-1光波场的复振幅描述,光振动的复振幅表示:说明,U,(,P,),是空间点的复函数,描写光场的空间分布,与时间无关,;,U,(,P,)=,a,(,P,),e,j,j,(,P,),U,(,P,),同时表征了空间各点的振幅,|,U,(,P,)|=|,a,(,P,),|,和相对位相,arg(,U,)=,j,(,P,),方便运算,满足叠加原理,实际物理量是实量,.,要恢复为真实光振动,:,光强分布,:,I,=,UU,*,光强是波印廷矢量的时间平均值,正比于电场振幅的平方,u,(,P,t,)=,e,U,(,P,)exp(-j2,pn,t,)即可,4,.,1-1光波场的复振幅描述,2、球面波的复振幅表示,点光源或会聚中心,球面波:等相面为球面,且所有等相面有共同中心的波,k,=|,k,|=2,p,/,l,为波数.表示由于波传播,在单位长度上引起的位相变化,也表明了光场变化的“空间频率”,(,P,(,x,y,z,),),0,z,y,x,源点,S,(,r,k,设观察点,P,(,x,y,z,)与发散球面波中心的距离为,r,k,:传播矢量,球面波的等位相面:,kr,=,c,为球面,则,P,点处的复振幅:,j,(,P,),=,k,.,r,k,:传播矢量,球面波:k,/,r,a,0,:单位距离处的光振幅,5,.,1-1光波场的复振幅描述,会聚球面波,会聚球面波,(,P,(,x,y,z,),),会聚点,S,(,r,0,z,y,x,k,6,.,1-1光波场的复振幅描述,球面波:空间分布,距离,r,的表达,若球面波中心在原点:,若球面波中心在,S,(,x,0,y,0,z,0,):,P,点处的复振幅:,取决于,k,与,r,是平行还是反平行,7,.,光波场的复振幅描述,球面波:在给定平面的分布,以系统的光轴为,z,轴,光沿,z,轴正方向传播.所考察的平面垂直于,z,轴,令点光源位于,z,=0的平面上坐标(,x,0,y,0,)处.考察与其距离为,z,的,x,-,y,平面上的光分布,需要作近轴近似,z,8,.,光波场的复振幅描述,球面波:近轴近似,只考虑,x,-,y,平面上对源点,S,张角不大的范围,即,可以作泰勒展开,(1+,D,),1/2,1+,D,/2,一级近似,二级近似,对振幅中,r,的可作一级近似.,但因为,k,很大,对位相中的,r,须作二级近似,9,.,1-1光波场的复振幅描述,二、球面波:近轴近似,已将球面波中心取在,z,=0的平面,且光波沿,z,轴正方向传播.,如果,z,0,上式代表从,S,发散的球面波.,如果,z,0,上式代表向,S,会聚的球面波.,对给定平面是常量,随,x,y,变化的二次位相因子,球面波特征位相,球面波中心在原点:,x-y,平面上等位相线方程为,:,10,.,光波场的复振幅描述,3、,平面波的复振幅表示,等相面为平面,且这些平面垂直于光波传播矢量,k,.,等相平面的法线方向,k,(,k,cos,a,k,cos,b,k,cos,g,),k,的方向余弦 均为常量,11,.,光波场的复振幅描述,3、,平面波的复振幅表示,等相面为平面,且这些平面垂直于光波传播矢量,k,.,等相平面的法线方向,k,(,k,cos,a,k,cos,b,k,cos,g,),k,的方向余弦,均为常量,以,k,表示的等相平面方程为,k,.,r=,const.,故平面波复振幅表达式为:,线性位相因子,常量振幅,12,.,光波场的复振幅描述,3、平面波:在给定平面的分布,在,x-y,平面上的等位相线,x,cos,a,+,y,cos,b,=const,为平行直线族,在与原点相距为,z,的平面上考察平面波的复振幅:,随,x,y,线性变化的位相因子,常数幅相因子,A,13,.,光波场的复振幅描述,4、平面波的空间频率,在与原点相距为,z,的平面上考察平面波的位相分布.等位相线是平行直线族.为简单计,先看,k,在,x-z,平面内:cos,b,=0,等位相面是平行于,y,轴的一系列平面,间隔为,l,z,等位相面与,x-z,平面相交,形成平行直线,等位相面与,x-y,平面相交,形成平行于,y,轴的直线,复振幅分布:,沿,x,方向的等相线间距:14,.,光波场的复振幅描述,四、平面波的空间频率,复振幅分布:,定义 复振幅分布在,x,方向的空间频率:,复振幅分布可改写为:,Y,=,f,y,=0,对于在,x-z,平面内传播的平面波,在,y,方向上有:,15,.,光波场的复振幅描述,平面波的空间频率:一般情形,定义:复振幅变化空间周期的倒数称为平面波的空间频率,平面波在,x,和,y,方向的空间频率分别为:,cos,a,cos,b,为波矢的方向余弦,若波矢在x-z平面或y-z平面中,a,(,b,),又常用它们的余角,q,x,(,q,y,)表示,故:,引入空间频率概念后,单色平面波在,xy,平面的复振幅分布可以表示为,16,.,光波场的复振幅描述,平面波的空间频率-信息光学中最基本的概念,单位振幅的单色平面波,波矢量,k,与,x,轴夹角为30,与,y,轴夹角为60.,(1)画出,z,=,z,1,平面上间隔为2,p的等相线族,并求出,T,x,、T,y,、,T,和,f,x,、f,y,和,f,。,(2),画出,y,=,y,1,平面上间隔为2,p的等相线族,并求出,T,x,、T,z,和,f,x,、f,z,.,练习 1,17,.,光波场的复振幅描述,平面波的空间频率-信息光学中最基本的概念,如果平面波传播方向在,xz,平面(或,yz,平面),与,z,轴夹角为,q,则此平面波复振幅沿,x,方向(或,y,方向)的空间频率为:,18,.,光波场的复振幅描述,平面波的空间频率-信息光学中最基本的概念,对于传播方向与z轴夹角为-30,的情况,再解上题.,练习 3,振幅为1,波长为,l,=500,nm,的单色平面波,传播方向在,xz,平面内,并与,z,轴夹角为30,.写出其复振幅表达式,并求出,z,=,z,1,平面上复振幅在,x,方向和,y,方向的空间周期,T,x,和,T,y,以及相应的空间频率,f,x,和,f,y,.,练习 2,19,.,光波场的复振幅描述,平面波的空间频率-信息光学中最基本的概念,空间频率的单位:cm,-1,mm,-1,周/mm,条数/mm 等,空间频率的正负:表示传播方向与,x,(或,y,)轴的夹角小于或大于90,在给定的座标系,任意单色平面波有一组对应的,f,x,和,f,y,它仅决定于光波的波长和传播方向.,反之,给定一组,f,x,和,f,y,对于给定波长的单色平面波就能确定其传播方向cos,a,=,l,f,x,cos,b,=,l,f,y,要与光的时间频率严格区分开,空间比时间更具体,更直观,是有形的,如果在,xy,平面上的复杂的复振幅分布可以分解为许多简单的周期分布,则复杂的光振动可以分解成许多简单平面波的叠加.,二维F.T.在光学上的意义:,20,.,光波场的复振幅描述,平面波的空间频率-信息光学中最基本的概念,这样平面波的复振幅即平面波方程可以写为,:,三个空间频率不能相互独立：,因此,在任一距离,z,的平面上的复振幅分布，由在,z,=0平面上的复振幅和与传播距离及方向有关的一个复指数函数的乘积给出。这说明了传播过程对复振幅分布的影响，已经在实质上解决了最基础的平面波衍射问题,21,.,作业,P41:3,22,.,