行列式的定义.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第三章 行列式,1,n,阶行列式的定义,2,行列式的性质与计算,3,行列式与矩阵的逆,4,行列式的应用（求矩阵的秩,）,1,二阶与三阶行列式,提示,:,a,11,a,22,x,1,+,a,12,a,22,x,2,=,b,1,a,22,a,22,a,11,x,1,+,a,12,x,2,=,b,1,a,12,a,12,a,21,x,1,+,a,12,a,22,x,2,=,a,12,b,2,a,21,x,1,+,a,22,x,2,=,b,2,(,a,11,a,22,-,a,12,a,21,),x,1,=,b,1,a,22,-,a,12,b,2,二元线性方程组与二阶行列式,用消元法解二元线性方程组,a,11,x,1,a,12,x,2,b,1,a,21,x,1,a,22,x,2,b,2,得,b,1,b,2,a,12,a,22,a,11,a,21,a,12,a,22,x,1,a,11,a,21,b,1,b,2,a,11,a,21,a,12,a,22,x,2,a,11,a,21,a,12,a,22,我们用符号 表示代数和,a,11,a,22,a,12,a,21,这样就有,用消元法解二元线性方程组,a,11,x,1,a,12,x,2,b,1,a,21,x,1,a,22,x,2,b,2,得,二元线性方程组与二阶行列式,a,11,a,21,a,12,a,22,行列式中的相关术语,我们用 表示代数和,a,11,a,22,a,12,a,21,并称它为,二阶行,a,11,a,21,a,12,a,22,列式,行列式的元素、行、列、行标、列标、主对角线、副对角线,对角线法则,a,12,a,21,=,a,11,a,22,二阶行列式是主对角线上两元素之积减去副对角线上二元素之积所得的差,例,1,求解二元线性方程组,解,由于,a,11,a,21,a,12,a,22,a,12,a,21,=,a,11,a,22,为了便于记忆和计算,我们用符号 表示代数和,a,11,a,21,a,31,a,12,a,22,a,32,a,13a,23,a,33,D,=,a,11,a,22,a,33,a,12,a,23,a,31,a,13,a,21,a,32,a,11,a,23,a,32,a,12,a,21,a,33,a,13,a,22,a,31,其中,方程组,a,11,x,1,a,12,x,2,a,13,x,3,b,1,a,21,x,1,a,22,x,2,a,23,x,3,b,2,a,31,x,1,a,32,x,2,a,33,x,3,b,3,的解为,D=,a,11,a,22,a,33,a,12,a,23,a,31,a,13,a,21,a,32,a,11,a,23,a,32,a,12,a,21,a,33,a,13,a,22,a,31,三阶行列式,D,1,=,b,1,a,22,a,33,a,12,a,23,b,3,a,13,b,2,a,32,b,1,a,23,a,32,a,12,b,2,a,33,a,13,a,22,b,3,D,2,=,a,11,b,2,a,33,b,1,a,23,a,31,a,13,a,21,b,3,a,11,a,23,b,3,b,1,a,21,a,33,a,13,b,2,a,31,D,3,=,a,11,a,22,b,3,a,12,b,2,a,31,b,1,a,21,a,32,a,11,b,2,a,32,a,12,a,21,b,3,b,1,a,22,a,31,我们用符号 表示代数和,a,11,a,21,a,31,a,12,a,22,a,32,a,13,a,23,a,33,a,11,a,22,a,33,a,12,a,23,a,31,a,13,a,21,a,32,a,11,a,23,a,32,a,12,a,21,a,33,a,13,a,22,a,31,并称它为三,阶行列式,行列式中的相关术语,对角线法则,行列式的元素、行、列、行标、列标、主对角线、副对角线,a,11,a,22,a,33,a,12,a,23,a,31,a,13,a,21,a,32,a,11,a,23,a,32,a,12,a,21,a,33,a,13,a,22,a,31,三阶行列式,a,11,a,22,a,33,a,12,a,23,a,31,a,13,a,21,a,32,a,11,a,23,a,32,a,12,a,21,a,33,a,13,a,22,a,31,例,2,计算三阶行列式,1,-,2,-,3,2,2,4,-,4,1,-,2,D,=,按对角线法则,有,解,4,6,32,4,8,24,(,4),2,(,3),(,4),(,2),4,D,1,2,(,2),2,1,(,3),1,1,4,2,(,2),(,2),14,采用先选定百位数,再选定十位数,最后选定个位数的步骤,全排列及其逆序数,引例,用,1,、,2,、,3,三个数字,可以组成多少个没有重复数字的三位数？,解,百位数有,3,种选法,十位,数有,2,种选法,个位数有,1,种选法,因为,3,2,1,6,所以可以组成,6,个没有重复数字的三位数,321,这,6,个三位数是,123,132,231,213,312,我们把,n,个不同的对象,(,称为元素,),排成一列,叫做这,n,个元素的全排列,(,也简称排列,),全排列,n,个不同元素的所有排列的总数,通常用,P,n,表示,P,n,的计算公式,P,n,n,(,n,1),(,n,2),3,2,1,n,!,在一个排列中,如果某两个元素的先后次序与标准排列的次序不同,就说有,1,个逆序,一个排列中所有逆序的总数叫做这个排列的逆序数,标准排列,在,n,个自然数的全排列中排列,123,n,称为标准排列,逆序与逆序数,逆序数的计算,在排列,p,1,p,2,p,n,中,如果,p,i,的前面有,t,i,个大于,p,i,的数,就说元素,p,i,的逆序数是,t,i,排列的逆序数为,t,t,1,t,2,t,n,奇排列与偶排列,逆序数为奇数的排列叫做奇排列,逆序数为偶数的排列叫做偶排列,n,阶行列式的定义,一、二阶行列式和三阶行列式的结构,二、,n,阶行列式的定义,三、几种特殊的行列式,a,11,a,22,a,33,a,12,a,23,a,31,a,13,a,21,a,32,a,11,a,23,a,32,a,12,a,21,a,33,a,13,a,22,a,31,a,11,a,21,a,12,a,22,=,a,11,a22,a,12,a,21,一、二阶行列式和三阶行列式的共同结构,(1),行列式右边任一项除正负号外可以写成,例如三阶行列式的结构可归纳如下：,其中,p,1,p,2,p,3,是,1,、,2,、,3,的某个排列,(2),各项所带的正负号可以表示为,(,1),t,其中,t,为列标排列的逆序数,（,3,）总共有,P,3,=3!,项，即项数等于,1,、,2,、,3,三个数构成的排列总数。,三阶行列式可以写成,其中,t,为排列,p,1,p,2,p,3,的逆序数,表示对,1,、,2,、,3,三个数的所有排列,p,1,p,2,p,3,取和,二、,n,阶行列式的定义,特别规定一阶行列式,|,a,|,的值就是,a,由矩阵,A=(,a,ij,),中的,n,2,个数,a,ij,(,i,j,1,2,n,),构成的代数和,称为,n,阶行列式,记为,简记为,det(,a,ij,),其中,p,1,p,2,p,n,为自然数,1,2,n,的一个排列,t,为这个排列的逆序数,表示对所有排列,p,1,p,2,p,n,取和,在,n,阶行列式,D,中,数,a,ij,为行列式,D,的,(,i,j,),元,注：,（,1,）,n,阶行列式是所有取自不同行、不同列的,n,个数的乘积 的代数和。其中,构成一个,n,级排列，当 为偶排列时，,取正号，当,为奇排列,时，,取负号,。,共有,n!,项。,(2)4,阶及,4,阶以上的行列式无对角线法则可言。,三、几种特殊的行列式,1.,对角行列式,(1),主对角行列式,证明：,若记,i,a,i,n,i,1,则依行列式定义,(,1),t,a,1,n,a,2,n,1,a,n,1,其中,t,为排列,n,(,n,1),21,的逆序数,故,t,0,1,2,(,n,1),因此,(,1),t,1,2,n,(2),次对角行列式,（,1,）下三角行列式,证明：,因为它的列标排列为标准排列,其逆序数为,0,所以在它前面带有正号,要使取自不同行不同列的,n,个元素的乘积不为零,第一行只能取,a,11,第二行只能取,a,22,第三行只能取,a,33,第,n,行只能取,a,nn,这样的乘积项只有一个,即,a,11,a,22,a,33,a,nn,因此,D,a,11,a,22,a,33,a,nn,2.,三角行列式,（,2,）上三角行列式,（,3,）次下三角行列式,（,4,）次上三角行列式,若,若,则称,D,为对称行列式,则称,D,为反对称行列式,.,定义：设,3.,对称行列式与反对称行列式,例,1,在,6,阶行列式,det(,a,ij,),中,元素乘积,a,15,a,23,a,32,a,44,a,51,a,66,前应取什么符号,?,解,列标排列,532416,它,的逆序数为,t,0,1,2,1,4,0,8,它是偶排列,所以在该乘积项的前面应取正号,补充例题,例,2,用行列式定义计算行列式,为使取自不同行不同列的元素的乘积不为,0,第,1,列只能取,a,21,第,3,列只能取,a,43,第,4,列只能取,a,14,第,2,列只能取,a,32,四个元素的乘积为,a,21,a,43,a,14,a,32,即,a,14,a,21,a,32,a,43,其列标排列为,4123,它的逆序数为,3,是奇排列,所以,D,(,1),3,a,14,a,21,a,32,a,43,a,14,a,21,a,32,a,43,1,解,排列的对换,在排列中,将任意两个元素对调,其余的元素不动,就得到另一个排列,这种对排列的变换方法称为对换,将相邻两个元素对换,叫做相邻对换,对换,举例,在排列,21354,中,对换,1,与4,排列,21354,的逆序数是,2,经过对换,排列的奇偶性发生了变化,得到的排列是,24351,排列,24351,的逆序数是,5,性质,1,一个排列中的任意两个元素对换,排列改变奇偶性,其中,t,为行标排列,p,1,p,2,p,n,的逆序数,n,阶行列式也可定义为,定义,1,的等价定义,性质,2,在行列式的每项乘积中交换两元素的位置，行标和列标同时变换，行标和列标的逆序数之和保持奇偶性。,定义,1,的另一个等价定义,n,阶行列式也可定义为,二、行列式按行,(,列,),展开,一、余子式与代数余子式,二、行列式按行,(,列,),展开法则,（,1,）、余子式与代数余子式,在,n,阶行列式,D,det(,a,ij,),中,把元素,a,ij,所在的第,i,行和第,j,列划去后,剩下来的,n,1,阶行列式叫做元素,a,ij,的余子式,记作,M,ij,记,A,ij,(,1),i,j,M,ij,A,ij,叫做元素,a,ij,的代数余子式,A,23,(,1),2,3,M,23,M,23,例如,已知,则,a,23,的余子式和代数余子式为,引理,在,n,阶行列式,D,中,如果第,i,行元素除,a,ij,外都为零,那么这行列式等于,a,ij,与它的代数余子式,A,ij,的乘积,即,D,a,ij,A,ij,（,2,）、,行列式按行,(,列,),展开法则,定理,1(,行列式按行,(,列,),展开法则,),行列式等于它的任一行,(,列,),各元素与其对应的代数余子式乘积的和,即,D,a,i,1,A,i,1,a,i,2,A,i,2,a,in,A,in,(,i,=1,2,n,),或,D,a,1,j,A,1,j,a,2,j,A,2,j,a,nj,A,nj,(,j,=1,2,n,),推论,2,行列式某一行,(,列,),的元素与另一行,(,列,),的对应元素的代数余子式乘积之和等于零,即,a,i,1,A,j,1,a,i,2,A,j,2,a,in,A,jn,0(,i,j,),或,a,1,i,A,1,j,a,2,i,A,2,j,a,ni,A,nj,0(,i,j,),P53,书例,4,