九简谐振动.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,.,*,第九章,振 动 和 波,1,.,第九章 振动和波,广义的,振动,物理量随时间作周期性变化称为振动。,（,2,）周期性,在,T,时间内状态能完全重复。,振动是自然界中最普遍的运动形式之一。振动和波在力学、声学、电学、生物工程、自控等各领域都占有重要的地位。,特点：,（,1,）,有平衡点，且具有重复性。,Vibration and wave,机械振动,物体在某一位置附近作往复运动。,机械振动分类,按振动规律分：,简谐、非简谐、随机振动,。,其中简谐振动是最基本最简单的振动，,复杂的振动都可以分解为一些简谐振动的叠加。,2,.,3,.,称作谐振动的微分方程。,弹簧振子是理想模型,Spring/harmonic Oscillator,在水平方向上：,由牛顿第二定律，有：,令：,则有：,9-1,简谐振动,一、简谐振动的微分方程和运动方程,（负号表示力与位移方向相反）,幻灯片,5,1,、简谐振动的微分方程,4,.,5,.,2,、运动学方程：,由：,可解得：,或：,一般写成：,本课程采用余弦形式,因而简谐振动是围绕平衡位置的周期运动,振动曲线,简谐振动的定义：若质点的位移与时间的关系可以用,表示，质点的运动称为谐振动。,描述简谐振动的物理量,A,、,、,，,称特征量。,6,.,o,t,x,7,.,3,、简谐振动的加速度与速度,由,质点振动的速度,质点振动的加速度,质点振动的速度和加速度也是谐振动,若位移,x,，满足,简谐振动的判椐：,或,或,则称,x,作简谐振动（较为广泛，不仅适用于机械振动）,8,.,(2),角频率,：,angular frequency,振动的快慢,周期,T,:Period,频率,：,(3),初相位,：,Phase,描述运动状态的量,为初相位，,Initial Phase,(1),振幅,A,:amplitude,离开平衡位置的最大距离（幅度、范围）,4,、谐振动的三个特征量,9,.,5,、位移、速度和加速度的相位关系,以上结果表明：,(1),v,a,与,x,的,相同,(2)3),a,与,x,方向相反，且成正比,振幅,x,、,v,、,a,相位依次差,/2,。,写成,10,.,二、初始条件确定振幅和初相位,初始条件：,写为：,得：,即：,有两个值，需（,1,）,或（,2,）进行筛选。,也可直接由（,1,）或由（,2,）求出,。,11,.,三、坐标原点的选取对于振动方程的影响,(,以竖直弹簧振子为例,),自由端,平衡位置,以,为坐标原点,:,以,为坐标原点,:,在建立谐振子的振动方程时,选平衡位置为坐标原点最合适。,12,.,例题,1,单摆,Simple Pendulum,解：单摆受力如图所示,对悬挂点的力矩：,由：,若,很小，则有：,即：,其中：,动画,13,.14,.,例题,2,半径为,R,的圆环静止于刀口,O,点上,令其,在自身平面内作微小摆动,证明其摆动为,谐振,并计算其振动周期,.,证明,:,设圆环偏离角度为,因此所作振动为谐振,15,.,四、谐振动的其它表示法,1,、振动曲线法,（,1,）振动曲线的峰（或谷）对应的位移的大小即是振幅,.,（,2,）振动曲线上表示振动状态相同的相邻两点对应的时间间隔就是周期,T,。,（,3,）由初状态,v,0,、,x,0,可得出初相位,。,（,4,）尤其判断振动的超前与落后非常直观。,16,.,Rotating vector method,1.,参考圆法,沿逆时针方向作匀速圆周运动的质点在某一直径上（取在,x,轴）的投影的运动为简谐振动。,半径,R,振幅,A,角速度,角频率,t,时刻,A,矢量在,x,轴上的投影,初始矢径与,x,轴的交角,初相位,动画,2.,旋转矢量,用旋转矢量法处理问题,更直观、,更方便，必须掌握。,表示出三个特征量,2,、旋转矢量表示法,17,.,18,.,19,.,例题,3,一质点沿,x,轴作简谐振动，振幅,A=0.12m,，周期,T=2s,，当,t=0,时，质点对平衡位置的位移,x,0,=0.06m,，此时向,x,轴正向运动。,求：,(,1),此振动的表达式,(2)t=T/4,时，质点的位置、速度、加速度,(3),从初始时刻开始第一次通过平衡位置的时间,解,:(,1),取平衡位置为坐标原点,设,其中,A,亦为已知，只需求,由,t=0s,时，,x,0,=0.06m,，可得：,在,-,到,之间取值：,20,.,取哪一个值要看初始条件，由于：,所以：,由于,t,=0,时，质点向正,x,方向运动，所以,v,0,0,因此，应取：,于是，此简谐振动的表达式：,利用旋转矢量法求解很直观，根据初始条件就可画出如图所示的振幅矢量的初始位置，从而得到：,21,.,(2),将,t,=,T,/4=0.5s,代入上两式，以及位移表达式，可求得：,此时旋转矢量位置如图：,22,.,(3),通过平衡位置时，,x,=0,，由位置表达式，可得：,由此可得：,第一次通过，取,k,=1,，又由于,/s,，所以：,从起始时刻到第一次质点通过原点，振幅矢量转过的角度为：,故：,有旋转矢量图可知：,23,.,例题,4,以余弦函数表示的简谐振动的位移时间曲线如图所示，试写出其运动方程。,解：设该简谐振动的运动方程为,根据已知条件求出各量代入上式即可,由图可知，,A=2cm,，当,t=0,时,因为：,v,0,0,24,.,画出矢量图：,又知,t,=1s,时，位移达到正的最大值，,即：,故：,因而有：,25,.,简谐振动的势能：,五、简谐振动的能量,以水平的弹簧振子为例,简谐振动的动能：,26,.,简谐振动的总能量：,弹性力是保守力，总机械能守恒，即总能量不随时间变化。,27,.,势能的时间平均值,:,动能的时间平均值,:,28,.,这些结论同样适用于任何简谐振动。,总能的时间平均值,:,*,振幅不仅给出简谐振动运动的范围，而且还,反映了振动系统总能量的大小及振动的强度。,*,任一简谐振动总能量与振幅的平方成正比,*,弹簧振子的动能和势能的平均值相等，且,等于总机械能的一半。,结论：,29,.,0,2,3.,用余弦函数描述一些振子的振动，若速度,-,时间函数关系如图，则振动的初相位为,/6,；,/3,；,/2,；,5/6,0,4.,无阻尼自由简谐振动的周期和频率由,所决定。对于给定的简谐振动系统其振幅、初相位由,决定。,振动系统本身的性质,初始条件,30,.,1.,一弹簧振子作谐振动，总能量为,E,，如果谐振动振幅增加为原来的两倍，重物的质量增为原来的,4,倍，则它的总能量,E,变为,A:,E,/4;B:,E,/2;C:2,E,;D:4,E,本章作业：,9-3,，,9-5,，,9-10,，,9-11,31,.,代数方法：设两个振动具有相同频率，,同一直线上运动，有不同的振幅和初相位,9-2,简谐振动的合成,一、,同方向、同频率的简谐振动的合成,合振幅,Composition of two SHM,仍然是同频率,的简谐振动,32,.,由,分别两边平方求和后整理得：,33,.,Y,X,几何方法：,34,.,上面得到：,讨论一：,合振幅最大。,当,两分振动同步时,合振动的振幅等于两分振动振幅之和,35,.,讨论二：,当 时，,讨论三：,一般情况：,两分振动反相位时,合振动的振幅等于两分振动振幅之差,36,.,例,1,。两个同方向同频率的简谐振动，其合振动的振幅为,20cm,与第一简谐振动的相位差为,-,1,=/6,若第一个简谐振动的振幅为,则第二个谐振动的振幅为,cm,第一、二两个谐振动的相位差,2,-,1,=,。,解：由矢量合成法则：,20,37,.,二、,同方向、不同频率的简谐振动的合成,为了简单起见，先讨论两个,振幅相同,，,初相位也相同,，在同方向上以不同频率振动的合成。其振动表达式分别为：,Same direction,Different Frequency,合成振动,表达式：,利用三角函数关系式：,38,.,当 都很大，且相差甚微时，可将,视为振幅变化部分，,合成振动是以 为角频率的谐振动。,其振幅变化的周期是由振幅绝对值变化来决定，即振动忽强忽弱，所以它是近似的谐振动，这种合振动忽强忽弱的现象称为,拍,。,一般情况下，合振动无明显的周期性,39,.,单位时间内振动加强或减弱的次数,叫拍频,显然，拍频是振动 的频率的两倍。,即拍频为：,应用：可用于校准钢琴,40,.,41,.,X,Y,1,2,用旋转矢量说明拍频,的频率为,，,的频率为,每单位时间振动,1,追赶振动,2,次,每追赶一次重合一次，振幅达到最大一次。拍频为：,音叉演示,42,.,三、方向垂直、同频率简谐振动的合成,设一个质点同时参与了两个振动方向相互垂直的同频率简谐振动，即,43,.,上式是个椭圆方程，说明质点的运动轨迹是椭圆，具体形状由相位差 决定。,讨论,1,所以是在,直线上的运动。,44,.,讨论,2,所以是在 直线上的振动。,讨论,3,所以是在,X,轴半轴长为 ，,Y,轴半轴长为,的,椭圆方程，且,顺,时针旋转,。,x,y,45,.,质点的轨道是圆。,X,和,Y,方向的相位差决定旋转方向。,讨论,5,讨论,4,所以是在,X,轴半轴长为 ，,Y,轴半轴长为,的,椭圆方程，且,逆,时针旋转,。,x,y,讨论,6,则为任一椭圆方程。,综上所述,：两个频率相同的互相垂直的简谐振动合成后，,合振动在椭圆上进行,（圆和直线是退化了的椭圆）。,46,.,47,.,48,.,四、,垂直方向、不同频率简谐振动的合成,一般是复杂的运动轨道不是封闭曲线，即合成运动不是周期性的运动。下面就两种情况讨论,1,。,视为同频率的合成，不过两个振动的相位差在缓慢地变化，所以质点运动的轨道将不断地从下图所示图形依次的循环变化。,当 时是顺时针转；,时是逆时针转。,2,、如果两个互相垂直的振动频率成整数比，合成运动的轨道是封闭曲线，运动也具有周期。这种运动轨迹的图形,称为,李萨如图形,。,在示波器上，垂直方向与水平方向同时输入两个振动，已知其中一个频率，则可根据所成图形与已知标准的李萨如图形去比较，就可得知另一个未知的频率。,49,.,50,.,9-3,阻尼振动和受迫振动 共振,一、阻尼振动,振幅随时间减少的振动。,1,。阻尼的分类,a.,摩擦阻尼：机械能转化为热能,b.,辐射阻尼：能量辐射出去，形成波（音叉、乐器等）,2,。阻尼振动的方程,振动系统受介质的粘滞阻力：,Damped oscillations,Forced,oscillations Resonance,阻尼振动的动力学方程：,令：,称 为振动系统的固有角频率，称 为阻尼系数。,51,.,（,1,）阻尼较小时,:,欠阻尼,此方程的解：,这种情况称为,欠阻尼，,阻力使周期增大。,由初始条件决定,A,和初相位,设即有：,52,.,欠阻尼,a.,周期,T,：一个位移极大到另一个极大出现的时间间隔。称准周期运动。,b.,T,比无阻尼时稍长。,（,2,）,阻尼较大时，方程的解,：,其中 是积分常数，由初始条件来决定，这种情况称为过阻尼。,无振动发生。,过阻尼,53,.,临界阻尼,称之为,临界阻尼,情况。它是振动系统,刚刚不能作准周期振动，而很快回到,平衡位置的情况，应用在天平调衡中。,是由初始条件,决定的积分常数,。,（,3,）,如果 方程的解：,是从有周期性因子 到无周期性的,临界点,。,54,.,55,.,1,。,谐振子的受迫振动：用周期性力驱动的振动。,二、谐振子的受迫振动,设强迫力,阻尼力：,是典型的常系数、二阶、线性、非齐次微分方程。,由微分方程理论：,非齐次微分方程的通解,=,齐次微分方程的解,+,非齐次的一个特解。,2,。振动的特点：,减幅振动和简谐振动的叠加，,t,很大时，作,=,策,的简谐振动。,56,.,其解为：,经过足够长的时间，称为定态解：,该等幅振动的角频率就是强迫力的频率；,稳定态时的振幅,受迫振动的初相位：,57,.,讨论：,较小,若 很小，很大。,求振幅 对频率的极值，得出,共振的角频率。,共振的振幅。,振幅有极大值,三、共振,1,。位移共振：,A,达到最大值的振动状态（受迫振动）,58,.,当强迫力的频率为某一值时，稳定受迫振动的位移振幅出现最大值的现象，叫做位移共振，简称共振（,resonance,),。,发生位移共振时,因振幅最大,所以振动系统能量最大,系统,形变最厉害,.,2,。速度共振,(1),时,速度振幅,达到极大值,叫做速度共振,.,此时系统动能也达到最大值,也叫,能量共振,.,59,.,(2),速度振幅随阻尼的减小而增大,但共振频率皆为,阻尼为零,3.,共振的危害及应用,.,利：乐器利用之可提高音效、,选择节目、器官成像（核磁共振）,害：桥梁、建筑物等易受破坏。,作业：,9-6 9-8 9-12 9-13,60,.,弹 性 波,声波、水波、电磁波都是物理学中常见的波。,各种类型的波有其特殊性，但也有普遍的共性。例如，声波需要介质才能传播，电磁波却可在真空中传播，光波是一种电磁波。,机械振动在弹性介质中的传播称为,机械波,。下面以机械波为,例介绍波的一些物理概念。,但它们都有类似的波动方程。,Elastic Wave,61,.,2.,弹性波产生的条件,:(1),要有振源,(,波源,),(2),要有传播振动的弹性媒质,3.,横波和纵波,(Transversal Wave and Longitudinal Wave),(1),横波,:,传播方向与振动方向垂直,(,绳上波,),(2),纵波,:,传播方向与振动方向平行,(,空气中声波,),任一波例如，水面波、地表波，都能分解为横波与纵波来进行研究。,由弹性力组合,的连续介质,一,.基本概念,1.,弹性波,:,机械振动在,弹性媒质,中的传播,Elastic Wave Generation and Propagation,9-4,弹性波的产生与传播,62,.,63,.,64,.,(1),波面,:t,时刻相位相同的点组成的面,(,波阵面,),波线,波面,波面,波线,(2),波前,:,某时刻在最前面的波面,(3),波射线,:,沿波的传播方向作的射线（也称波线）,在各向同性均匀介质中，波线与波阵面垂直,.,4.,波的几何描述,波面、波线、波前,Wave Surface,，,Line,（,normal,），,Front,65,.,66,.,二,.,平面简谐波,Plane Harmonic Wave,1.,简谐波,:(,简谐振动在空间的传播,),特点,:,(1),波传到的区域中，每个质元在平衡位置附近作简谐振动,而振动以一定的速度由近及远传播,.,(2),后振动的质点比先振动的质点的状态落后一段时间,.,2.,描述简谐波的物理量,(1),波速,u,:,单位时间内某一振动状态,(,或振动相位,),所传播,的距离称为波速 ，也称之相速。,取决于媒质,(,与频率无关,),67,.,B.,固体中,横波,:,纵波,:,其中,:,G,切变弹性模量,Y,杨氏弹性模量,A.,液体、气体中,(,仅有纵波,),B,液体或气体的容变弹性模量,媒质的密度,在同一种固体媒质中，横波波速比纵波波速小些。,(2),波长,（,Wave Length):,波传播过程中,同一波线上两个相邻的、相位差为,2,的两质元间的距离。,反映了波的空间周期性。,68,.,(4),频率,单位时间内质点振动的次数,或单位时间内波动前进,的距离中所包含的完整波长的数目。,(5),关系式,(3),波的周期,T,：,波传过一个波长的时间，或一个完整的波通过,波线上某一点所需要的时间叫做波的周期,T,。,与振源的振动周期相同,.,反映了波的时间周期性,.,2.,若媒质无吸收，各点的振幅相同，设为,A,。,波线,波面,波线上各点的振动可以代表媒质中各质点的振动。,结论：波线上各点的振动表达式即为平面简谐波的波函数。,平面简谐波的特点：,1,、波线上一点的振动状态与过该点的波面上各点的振动状态相同。,69,.,已知：,1,、原点,o,的振动表达式,2,、波速为,，方向沿 轴正方向,求任意点,p,在,t,的振动表达式。,任意点,p,的振动表达式为：,任意点,p,振动的状态是原点,o,在 时间前振动过的状态。,9-5,平面简谐波的波函数,一、波函数：能够定量表达空间中任意点振动的数学表达式称为波函数,二、平面简谐波的波函数,70,.,(3),波函数的几种不同的形式：,71,.,三、波函数的物理意义,:,(1),当,x,给定时,设,x,=,x,0,则有,:,其中,:,表示,x,0,处质点的振动情况,(,振动方程,)2),当,t,给定,设,t,=,t,0,则有,:,即,y,=,y,(,x,),表示,t,=,t,0,时刻的波形图,注意,:,波动曲线与振动曲线的区别,振动曲线,波形,波动曲线,表示波线上各点的位移分布。,72,.,(3).,当,x,t,均变化,y=y(x,t),表示不同时刻,不同平衡位置处各质元的位移。,波函数描述了波形,(,相位,),的传播,速度为,u.,在,t,时间内,整个波形以速度,u,向前推进了,x,=,u,t,，,u,也称为相速度。,73,.,74,.,(4).,由波函数可求得各质元的振动速度、位移、加速度,由此可知，波函数描述波动状态,注意：,v,和,u,的不同,75,.,左行波,的波函数：,所以,p,点的运动方程，也,就是,左行波,的波动方程：,p,点的振动状态传到,O,点需用时间：,（,5,）,沿,x,轴负向传播的情况,:,已知,:,p,点的相位超前于,O,点相位：,76,.,例题,13082,如图,一平面波在介质中以速度,u,=20m/s,沿,x,轴负方向传播,已知,A,点振动方程为,:,y,=3cos4,t,(SI),求：,(1),以,A,点为坐标原点写出波动方程,(,波函数,),(2),以距,A,点,5m,处的,B,点为坐标原点,写出波动方程,.,解,:(1),若以,A,为原点,则有,:,x,处,t,时刻的振动,与,A,处,t+x/u,时刻的振动相同,因而x,处的振动为,:,x,77,.,X,处质元的振动为：,要点,:,抓住沿波的传播方向上各点相位依次落后的特点。,x,(2),以距,A,点,5m,处的,B,点为坐标原点,写出波动方程,.,B,点的振动方程为：,78,.,例题,2,一平面余弦波,波线上各质元的振幅和角频率分别为,A,和,波沿,x,轴正向传播,波速为,u,设某一瞬时的波形如图所示,并取图示瞬时为计时起点,(1),分别以,O,和,P,为坐标原点,写出该波的波函数,.,(2),确定在,t,=0,时刻,距点,O,分别为,x,=/8,和,x,=3/8,两处质元振动速度的大小和方向,.,解,:(1),取,O,点为坐标原点,设,O,点振动方程为,:,其中,:,为已知,现求,由图知,t,=0,时,79,.,故,:,于是可得,:,波函数为,:,若取,P,点为坐标原点,点,P,作简谐振动的运动方程为,:,由波形图可知,t=0,时刻,:,因此,则有,:,（后来的位移向负方向增大）,因而有,:,80,.,(2),求质元的振动速度,:,X,处,:,沿,y,轴负向,沿,y,轴正向,步骤,:,1.,建立坐标系,选取计时起点,2.,求原点的振动方程,3.,由右行波或左行的规律,求,x,点的振动方程,.,81,.,例题,3,已知,A,点振动方程为,:,求下列情况下的波函数,.,82,.,作业：,9-14 9-15,9-17 9-19,83,.,一、波函数的几种不同的形式（右行波）：,复 习,左行波在,x,出现的地方加一负号,步骤,:,1.,建立坐标系,选取计时起点,2.,根据传播方向以及波的传播规律,求,p,点的振动方程,（,p,点在,x,处）。,建立波函数的条件：,1,、某点的振动表达式,2,、波速（大小和方向,u,）,84,.,补充内容：,惠更斯原理,一、,惠更斯原理,表述：媒质中任一波阵面上的各点，都是发射,子波,的新波源 ，其后 任意时刻，这些,子波的包络面就是新的波阵面。,Huygens,principle,波传播时遇到障碍物或进入另一种媒质时，如何传播？,可用于解释波的传播、反射、折射、衍射等现象。,85,.,荷兰物理学家，,1678,年提出惠更斯原理,86,.,87,.,88,.,一,.,波的叠加原理,（独立性原理）,9-6,波的叠加原理 波的干涉,若有几列波同时在介质中传播，则,:,1.,它们各自将以原有的振幅、频率和波长独立传播,；,2.,在几列波相遇处，质元的位移等于各列波单独传播时在该处引起的位移的矢量和,。,称波的叠加原理,。,能分辨不同的声音正是这个原因；叠加原理的重要性在于可以将任一复杂的波分解为简谐波的组合。,爆炸产生的冲击波就不满足线性方程，所以叠加原理不适用。,波叠加,89,.,90,.,91,.,二,.,波的干涉,(,波相遇时的一种特殊现象,),1.,干涉现象,:,两波相遇,在媒质中某些位置的点振幅,始终最大,，某些位置振幅,始终最小，,而其它位置，振动的强 弱介乎二者之间,保持不变。,称这种振动的稳定分布为,干涉,现象,。,2.,相干条件：,满足相干条件的波源,称为,相干波源,。,（,3,）,具有,恒定的相位差,（,2,）,振动方向相同,两相干波的振幅相近或相等时干涉现象明显。,（,1,）,两波源具有,相同的频率,92,.,波的干涉之,模拟演示图,93,.,94,.,3.,定量公式,:,设有两个频率相同的波源 和,其振动表达式为：,传播到,P,点引起的振动为：,在,P,点的振动为同方向同频率振动的合成。,95,.,下面讨论干涉现象中的强度分布,在,P,点的合成振动为：,其中：,由于波的强度正比于振幅的平方，所以合振动的强度为：,对空间不同的位置，都有恒定的 ，因而合强度,在空间形成稳定的分布，即有,干涉现象,。,96,.,干涉相长的条件：,干涉相消的条件：,当两相干波源为同相波源时，相干条件写为：,称 为波程差,相长干涉,相消干涉,97,.,例题一,(,例,1),如图所示,在同一媒质中相距为,20m,的两平面简谐波源,S,1,和,S,2,作同方向,同频率,(=100Hz),的谐振动,振幅均为,A,且,A=0.05m,点,S,1,为波峰时,点,S,2,恰为波谷,波速,u=200m/s,求两波源连线上因干涉而静止的各点位置,.,解,:,选,S,1,处为坐标原点,O,向右为,x,轴正方向,设点,S,1,的振动初相位为零,由已知条件可得波源,S,1,和,S,2,作简谐振动的运动方程分别为,:,S,1,发出的向右传播的波的波函数为,:,S,2,发出的向左传播的波的波函数为,:,98,.,因干涉而静止的点的条件为,:,化简上式,得,:,将,=u/=2m,代入,可得,:,所以在两波源的连线上因干涉而静止的点的位置分别为,:,99,.,驻波是干涉的特例。,当频率与绳长调整适当，绳上分段振,动，某些点振幅特大，某些点不动，称为驻波。驻波的特,点不是振动的传播，而是媒质中各质点都作稳定的振动。,1.,驻波,:,分别沿,X,轴正、负方向传播的同振幅、同频率的两列相干波，其合成波就是典型的驻波。,三,.,驻波,2.,特征,:,(1),无波形的跑动,(,与行波不同,),(2),振幅,A=A(x),(3),有些点不动,(,波节,),有些点振动最强,(,波腹,),(4),两相邻的分段相位相反,同一分段相位相同,动画,100,.,101,.,设有两列相干波，分别沿,X,轴正、负方向传播，选初相位均为零的表达式为：,3.,驻波的形成,:,其合成波称为驻波表达式：,实物演示,102,.,利用三角函数关系求出,驻波的表达式,：,振动因子,它表示各点都在作简谐振动，,各点振动的频率相同，是原来波的频率。,但各点振幅随位置的不同而不同。,振幅因子,此式为振动表达式。无波形的跑动现象（即非,行波,）,103,.,振幅最大的点称为,波腹,，对应于,的各点；,因此：,波腹的位置为：,波节的位置为：,讨论,:,(1),驻波的振幅,驻波的特点不是振动的传播，而,是媒质中各质点都作稳定的振动,振幅为零的点称为,波节,，对应于,的各点。,即,:,即,:,104,.,从上式得,相邻波腹间的距离为,：,可得,相邻波节间的距离也为,相邻波腹与波节间的距离为,因此可用测量波腹间的距离，来确定波长。,应用,(2),驻波的相位,时间部分提供的相位对于所有的,x,是相同的，而空间变化带来的相位是不同的。,105,.,内，,在,范围内，,在波节两侧点的振动相位相反。同时达到反向,最大或同时达到反向最小速度方向相反。,是波节，在范围,如,考查波节两边的振幅，,结论：,*,两个相邻波节之间的点其振动相位相同。同时达到,最大或同时达到最小。速度方向相同。,106,.,107,.,例题,2,一列沿,x,轴方向传播的入射波的波函数为,在,x=0,处反射,反射点为一节点,求,:(1),反射波的波函数,.,(2),合成波的波函数,(3),波腹,波节的位置坐标,.,解,:(1),由于有相位突变,故反射波的波函数为,:,(2),根据波的叠加原理,合成波的波函数为,:,108,.,(3),形成波腹的各点,振幅最大,即,:,亦即,:,故波腹坐标为,:,形成波节各点,振幅最小,即,:,(x,x,只取负值及零,)109,.,当波从,波疏,媒质垂直入射到,波密,媒质界面上反射时，,有,半波损失,，形成的驻波在界,面处是波节。反之，当波从,波密媒质垂直入射到波疏媒,质界面上反射时，无半波损,失，界面处出现波腹。,四,.,半波损失：,入射波在反射时发生反相的现象称为半波损失。,折射率较大的媒质称为,波密媒质,；,折射率较小的媒质称为,波疏媒质,.,有半波损失,某一时刻,无半波损失,110,.,111,.,112,.,3.,一弹簧振子作谐振动，总能量为,E,，如果谐振动振幅增加为原来的两倍，重物的质量增为原来的,4,倍，则它的总能量,E,变为,A:E/4;B:E/2;C:2E;D:4E,2,。已知：,A,T求：从,B,到,C,所需的最短时间,113,.,6.A,、,B,两弹簧的倔强系数分别为,k,A,k,B,其质量均可忽略不计，今将二弹簧连接起来并竖直悬挂，当系统静止时，弹簧的弹性势能,E,pA,与,E,pB,之比,114,.,7.,在,t=0,时，周期为,T,振幅为,A,的单摆分别处于图,a,、,b,、,c,三种状态，若选单摆的平衡位置为,x,轴的原点，,x,轴指向右方，则单摆作小角度摆动的振动表达式（用余弦表示）分别为,115,.,8.,一简谐波沿,x,轴正向传播，,=4m,T=4s,x=0,处振动曲线如图：,（,1,）写出,x=0,处质点振动方程；,（,2,）写出波的表达式；,（,3,）画出,t=1s,时的波形。,解：,（,1,）,t=0,时：,（,2,）,（,3,）,116,.,9.,两余弦波沿,OX,轴传播，波动方程为：,试确定,OX,轴上的合振幅为,0.06m,的那些点的位置。,解：,117,.,作业：,9-20 9-21 9-22,118,.,一、波函数的几种不同的形式（右行波）：,复 习,左行波在,x,出现的地方加一负号,步骤,:,1.,建立坐标系,选取计时起点,2.,根据传播方向以及波的传播规律,求,p,点的振动方程,（,p,点在,x,处）。,建立波函数的条件：,1,、某点的振动表达式,2,、波速（大小和方向,u,）,119,.,9-7,波的能量 声波,波的传播过程,:,（,1,）振动状态的传播,(,相位,),（,2,）能量的传播,1.,行波的能量,以弦上横波为例,其波函数为,:,取,AB,段为研究对象,为弦的质量线密度,(1)AB,段的动能,:,一、波的能量,120,.,(2)AB,段的势能,:,弹性势能应为张力,T,在线元伸长的过程中所作的功,即,:,代入上式,得,:,x,很小,121,.,利用了,(3),总机械能,:,(4),能量密度,:,单位体积中的能量。,(5),平均能量密度,(,对,t,求平均,),为质量密度,122,.,(6),特点,:,A.,相位、大小均相同,(,注意与振动能量相区别,),极大,能量极小,能量,极小,B.,若,x,一定,总机械能并非常量,与弹簧振子能量不同。,C.,若,t,一定,上图中,波形,123,.,D.,能量以速度,u,传播,(,由,w,的公式可看出,),2.,波的能流密度与波的强度,(1),能流（,Energy Flow,）,单位时间内垂直通过某一截面的能量称为波通过,该截面的能流，或叫能通量。,为截面所在位置的能量密度,所以，能流为：,显然能流是随时间周期性变化的。但它总为正值,设波速为,u,，在 时间内通过垂直于波速截面,的能量,:,124,.,(2),平均能流,:,在一个周期内能流的平均值称为平均能流,(3),能流密度,:,通过垂直于波动传播方向的单位面积的平均能流,称为平均能流密度，通常称为,能流密度或波的强度,。,换句话说，能流密度是,单位时间内通过垂直于,波速方向的单位截面的,平均能量。,平均能流,能流密度是矢量，其方向与波速方向相同。,125,.,借助于上式和能量守恒可讨论波传播时振幅的变化：,在均匀不吸收能量的媒质中传播的平面波，在行进方向上振幅不变。,讨论,:,平面波和球面波的振幅,证明：因为,在一个周期,内通过,和,面的能量应该相等,所以,平面波振幅相等：,126,.,所以振幅与离波源的,距离成反比。如果距,波源,1,个单位距离的振幅,为,A,则距波源,r,处的振,幅为,球面波,由于振动的相位随距离,的增加而落后的关系，,与平面波类似，球面简,谐波的波函数：,127,.4),波的吸收,实际上，波在媒质中传播时，媒质总要吸收一部分能量。,吸收的能量转换为媒质的内能和热。,因此，波的振幅要减小、波的强度将减弱，这种现象称之为吸收。,为吸收系数,取决于媒质和波的频率。,128,.,二、,声波,声波是机械纵波,频率高于,20000,赫兹的叫做,超声波,。,*,声的产生、传播和接收。为听觉服务，如,声音的音质、音响效果；声学在建筑学方面,的应用，噪声的避免等。声波测井。,20,到,20000,赫兹之间能引起听,觉的称为,可闻声波,，简称声波。,频率低于,20,赫兹的叫做,次声波,；,*,利用声的传播特性研究媒质的微观结构；,利用声波的作用来促进化学反应，为科技服务研究的分类：,声的概念不再局限于听觉范围，,几乎是振动和机械波的同义词。,声波,20000Hz,20Hz,超声波,次声波,129,.,设在弹性媒质中有一平面余弦纵波，为密度,为声速,媒质中有声波传播时的压力,(,压强,),与,无声波传播时的静压力之差称为声压。,声压,由体弹性模量的定义：,应变为：,稀疏区声压为负，稠密区声压为正值。,由于疏密的周期性，声压也是周期变化。,130,.,所以声压 为：,声压的振幅为：,声强、声强级,*,声强,就是声波的,平均能流密度。,即单位时间内通过垂直于传播方向单位面积的声波能量。,131,.,式中加速度的振幅：,由此可知，声强与频率的平方，振幅的平方成正比。,这样的超声波在几个毫米范围内有比重力加速度,g,大十多万倍的正负加速度和几百个大气压，,可见它的威力。因此，有重要的应用。,声强,超声波的频率高 ，而波长在毫米数量级。,压强振幅约 大气压。,加速度 已达重力加速度的上百万倍；,132,.,引起人的听觉的声波，还有一定的声强,范围。大约为,10,12,瓦,/,米,2,1,瓦,/,米,2,。,声强太小听不见，太大会引起痛觉。,定义声强级,L,为：,单位为贝耳,(Bel),1Bel=10dB,单位为分贝,(dB),*,声强级,由于可闻声强的数量级相差悬殊，,通常用声强级来描述声强的强弱。,声音的响度,是人对声音的主观感觉。,规定声强,I,0,10,-12,瓦,/,米,2,作为测定声强的标准,有的地方规定户外声音,不得大于,100,分贝。,如炮声声强,1,瓦,/,米,2,，声强级,120,分贝。,133,.,超声波、次声波,*,超声波：频率高，波长短，定向传播性好；,穿透性好，在液体、固体中传播时，衰,减很小，能量高等。,定位、测距、探伤、显象，随着激光全息的发展声全息也日益发展，它在地质、医学等领域有重要的意义；,近来在超声延时方面有新的发展，因为它的波速比电磁波速低,。,由于能量大而集中可用来切削、焊接，钻孔，清洗机件还可用来处理种子和催化。,特点,用途,超声波的传播速度对于介质的密度、浓度、成分、温度、压力的变化很敏感。利用这些可间接测量其他有关物理量。这种非声量的声测法具有测量精密度高、速度快的优点；,134,.,频率在,10,4,20,赫芝之间,的机械波，人耳听不到。,*,次声波,因为大气湍流、火山爆发、地震、陨石落地、雷暴、磁暴等大规模自然活动中，都有次声波产生，因此，它是研究地球、海洋、大气等大规模运动的有力的工具。,特点一,用途,由于它具有,衰减极小的特点,，,具有远距离传播的突出特点。,已形成现代声学的一个新的,分支,次声学,。,特点二,135,.,表示波源相对于媒质的运动速度。,表示观察者相对于媒质的运动速度。,波源的频率,是单位时间内波源振动的次数或,发出的完整波的个数；,一,.,多普勒效应,:(C.J.Doppler),观察者接受到的频率,赖于,波源,或,观察者运动,的现象，称为,多普勒效应,。,9-8,多普勒效应,Doppler Effect,例如鸣笛的火车,约定,二,.,三种不同情况下频率的变化,选媒质为参考系,观察者接受到的频率,是观察者在单位时间内接受到,振动数或完整的波数；,波的频率,是媒质质元在单位时间内振动的次数或单位时间内,通过媒质中某点完整波的个数。,波速,：单位时间内相位传播的速度。,136,.,若观察者以速度 离开波源运动，,同理可得观察者接受到的频率：,频率降低。,频率升高,因为此时波源的频率就是波的频率,1.,相对于媒质，波源不动，观察者以速度 向着波源运动137,.,因为波源所发出的相邻,的两个同相振动状态是,在不同地点发出的，这,两个地点相隔的距离为,2.,相对于媒质观察者不动，,波源以速度 向着观察者运动,式中 为波源的周期。,如果波源是向着观察者,运动的，这后一地点到,前方最近的同相点之间,的距离是现在媒质中的波长,138,.,若波源静止时媒质中,的波长为,波源运动，在媒,质中的波长：,此时波的频率为：,由于观察者静止，,所以他接受到的,频率就是波的频率：,频率升高,波长被压缩,139,.,当波源以速度 远离观察者运动时，,可得观察者接受到的频率：,频率降低,3.,相对于媒质波源和观察者同时运动,综上所述，,当波源和观察者相互靠近时，观察者接受到的频率为：,当波源和观察者彼此离开时，,观察者接受到的频率为：,综合起来：,观察者靠近波源运动分子中为正，离开为负。波源靠近观察者运动分母中为负，离开为正。,140,.,当波源的速度超过,波的速度时，波源,前方不可能有任何,波动产生。需注意防范。,利用声波的多普勒效应可以测定流体的流速,，振动体的振动和潜艇的速度，还可以用来报警和监测车速。在医学上，利用超声波的多勒效应对心脏跳动情况进行诊断，如做超声心动、多普勒血流仪，等。,马赫锥,141,.,142,.,例题,1,一时速为,80km/h,的列车向车站驶来,(1),列车上汽笛频率为,1000Hz,站立在站台上的旅客听到的汽笛的频率是多少,?(2),若同样频率的汽笛在车站上鸣叫,列车内旅客听到的汽笛的频率为多少,?(,声速,340m/s),解,:(1),因而车站上旅客接收到的笛声的频率为,:,(2),列车内的旅客接收到的频率为,:,143,.,例,2,利用多普勒效应监测汽车行驶的速度,.,一,固定波源,发出,频率为,100kHz,的超声波,.,当,汽车,迎着波源驶来时,.,与波源,安装在一起的,接受器,接收到从汽车反射回来的超声波的,频率为,110KHz,。已知空气中声速为,330 m/s,。,求：汽车行驶的速率,.,解,:,波 源,：固定波源；静止,观察者,：汽车；向着波源运动。速度为,V,。,第一步,:,汽车,接收到