具有非齐次边界条件的问题.ppt

Click to edit Master title style,Click to edit Master text styles,我 要 我 的 音 乐,1,对于如下,泊松方程,的边值问题而言：,补充,(P),(P1),思路,1,将问题,(P),的解看成两部分，,令,和,分别满足,2,(P1),(P2),和,固有函数法,分离变量法,(,或试探法,),对于如下,泊松方程,的边值问题而言：,补充,(P),3,(Q),思路,2,(1),找出此,泊松方程,的一个,特解,令,(2),将泊松方程化成,拉普拉斯方程,可用,分离变量法,或,试探法,求解问题,(Q),对于如下,泊松方程,的边值问题而言：,补充P),4,几种常见的,固有函数系,的形式,(1),(2),(3),(4),以上几种形式对于一维振动方程、热传导方程和,矩形域,上的泊松方程是适用的。,圆域,上的泊松方程对应的,固有函数,系为,(5),小结,5,固有函数法,的解题步骤：,小结,1.,将所考虑的定解问题的解按,固有函数系,展开,2.,将非齐次方程中的自由项也按,固有函数系,展开,如果自由项已经含有固有函数的形式，可直接,进入下一步。,3.,将,步骤,1,、,2,中的形式代入非齐次方程中化简，,并比较待定系数得到一个常微分方程,4.,将利用,初值条件,得到,步骤,3,中常微分方程的附,加条件。,然后求解常微分方程的初值问题。,注意,：,若是,泊松方程,则需借助,有界性,和,边界条件,6,2.5,具有非齐次边界条件的问题,本节我们讨论带有非齐次边界条件的定解问题,的求解方法。,处理这类问题的,基本原则,是：,无论方程是,齐次的还是非齐次的,，选取一个,辅,助函数,的方法。（也可称为,辅助函数法,）,我们以下面的问题为例，说明选取,函数代换,通过,函数代换,使得对于新的未知函数,而言，,边界条件是,齐次的,。,7,考察定解问题：,(80),(81),(79),通过作一,函数变换,将,边界条件化为齐次,的，,为此令,(82),并选取,辅助函数,使新的未知函数,满足,齐次边界条件,，即,(83),由,(80)(82),容易看出，,要使,(83),成立，只要,(84),8,(80),(81),(79),(82),(84),其实满足,(84),中两个条件的函数,是很多的，,为了以后计算方便起见，通常取,为,的一次,式，,即设,由条件,(84),确定,得,9,(80),(81),(79),(82),于是可得,因此，令,(85),则问题,(79)-(81),可化成,的定解问题,10,(80),(81),(79),(86),其中,(85),11,(80),(81),(79),(86),(85),将问题,(86),的解代入,即得原定解问题问题,(79)-(81),的解。,12,(79),(4),(3),(2),(1),若边界条件不全是第一类的，也可采用类似方法,把,非齐次边界条件化成齐次,的。,我们就下列几种,非齐次边界条件的情况，分别给出相应,辅助函数,的表达式：,以上,4,种辅助函数的情形对热传导方程同样适用。,13,求解下列问题：,(87),例,1,(88),解,选取,辅助函数,令,则问题,(87),化成,14,(89),(88),应用,固有函数法,求问题,(88),的解。,为此，设,利用,2.4.2,节中推得公式,(64),可知,再利用,2.4.2,节中推得公式,(62),可知,15,再将,代入,(90),即得,把,(90),代入,(89),可得,因此，原问题,(87),的解为,16,特别值得注意的是，对于给定的定解问题，,例如：,如果方程中的,自由项,和,边界条件,中的,都,与自变量,无关,，,在这种情形下，我们可以选取,辅助函数,通过,函数代换,使,方程与边界条件同时化成齐次,的。,17,求解下列问题：,(91),例,2,解,设问题的解为,(92),将,(92),代入问题,(91),中的方程，即得,为了将此,方程化成齐次,的，自然选取,满足,18,求解下列问题：,(91),例,2,解,(92),再把,(92),代入问题,(91),中的定解条件，得,为了将,的,边界条件也化成齐次,，,则,满足,19,(94),(93),(91),(92),这样由代换,问题,(91),化为下面两个问题：,和,20,(93),问题,(93),是一个常微分方程的边值问题，其解为,将求得的,代入问题,(94),(*),21,(*),(14),(15),利用公式,其中系数,满足,22,那么,其中系数,计算可得,23,(94),于是，问题,(94),的解为,因此，原问题,(91),的解为,24,求解下列问题：,(91),例,2,另解,选取,辅助函数,令,代入问题,(91),得,(*),25,由,2.4.1,节的分析可设,而且,和,分别满足如下定解问题,(I),(II),(*),26,(II),利用,2.1,节中的公式,(14)(15),可算得,其中系数,为,则问题,(II),的解为,27,(I),应用,固有函数法,求问题,(I),的解。,为此，令,利用,2.4.1,节中推得公式,(53),可知,再利用,2.4.1,节中推得公式,(51),可知,28,(I),当,时，,当,时，,29,(I),则得问题,(I),的解为,将问题,(II),的解,和,辅助函数,以及问题,(I),的解加在一起，则得,原问题,(91),的解：,30,内容小结,1.,对,一维波动方程,和,热传导方程,的定解问题而言：,当,方程和边界条件均为齐次,时，,不管初值条件,如何，可直接应用,分离变量法,求解；,当,边界条件为齐次,、,方程与初始条件为非齐次,时，原定解问题分解成两个，,其一是,方程为齐次,的并具有,原初始条件,的定解问题，这个问题应用,分离变量法,求解；,其二是,方程为非齐次,的并具有,齐次初始条件,的,定解问题，该问题应用,固有函数法,求解；,31,内容小结,1.,对,一维波动方程,和,热传导方程,的定解问题而言：,当,边界条件为非齐次,时，,则必须,引进辅助函数,把,边界条件化为齐次,的，,然后再按照以前的方法,求解。,分离变量法、,固有函数法、,作辅助函数法,方程和边界条件齐次,方程非齐次，定解条件齐次,边界条件非齐次,32,2.,对于,二维拉普拉斯方程,的边值问题而言：,应根据求解区域的形状,适当的选取坐标系,，使得,在此坐标系中边界条件的表达式最为简单，便于,求解。,内容小结,对,圆域、圆环域扇形域,等采用,极坐标,例如，,对于像,矩形,带形,一类的区域采用,直角坐标系,应当指出，只有当,求解区域很规则,时，才可以应,用分离变量法,求解拉普拉斯方程的边值问题。,33,3.,对于,二维泊松方程,的边值问题而言：,内容小结,(P),(Q),思路,1,(1),找出此,泊松方程,的一个,特解,令,(2),将泊松方程化成,拉普拉斯方程,可用,分离变量法,或,试探法,求解问题,(Q),34,3.,对于,二维泊松方程,的边值问题而言：,内容小结,(P),(P1),思路,2,将问题,(P),的解看成两部分，,令,和,分别满足,35,3.,对于,二维泊松方程,的边值问题而言：,内容小结,(P),(P1),(P2),和,固有函数法,分离变量法,(,或试探法,),