1、单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,.,*,二次型及其标准形的概念,称为,二次型,.,1,.,2用矩阵表示,2,.,3,.,定义,合同矩阵有一下性质：,（1）自反性（2）对称性,(3)传递性,定理,设 是一个可逆矩阵,若 为对称矩阵,则 也为对称矩阵,且,三、矩阵的合同,4,.,1.若二次型含有 的平方项，则先把含有,的乘积项集中，然后配方，再对其余的变量同,样进行，直到都配成平方项为止，经过可逆的线,性变换，就得到标准形;,2.若二次型中不含有平方项，但是,则先作可逆线性变换,化二次型为含有平方项的二次型，然后再按1中方,法配方.,四、配方法求
2、二次型的标准形,5,.,五、用初等变换法化二次型为标准形,由上节内容知道任何一个二次型都可以表示成矩阵形式,然后，经过某个坐标变换可以将它的二次型矩阵变成对角矩阵。,其中矩阵A是对称矩阵，即 A,T,=A。,6,.,我们知道，任何一个可逆矩阵都等于一系列的初等矩阵的乘积,一系列的合同运算,经过一系列的合同运算使矩阵A变成对角矩阵D,7,.,也就是说，我们可以通过以下步骤得到变换矩阵C以及A的对角化矩阵,（二次型的标准化矩阵）。,8,.,9,.,10,.,解：,11,.,二次型的标准形为,坐标变换矩阵为,12,.,在原理上，我们也可以设计初等行变换来求二次型矩阵的标准形及其变换矩阵。,D为对角矩
3、阵,13,.,14,.,二次型的标准形为：,坐标变换矩阵为,15,.,必须说明：,不同的初等变换过程，可以获得不同的二次型,例如：,例3中的二次型，可以继续进行合同运算,其标准形为,坐标变换矩阵为,16,.,以上过程告诉我们，二次型可以通过坐标变换化成标准形。,其中D是对角矩阵，主对角线上各元为d,1,d,2,d,n,n个实数,进一步进行合同变换，可以将二次型化成如下形式：,该式称为二次型的,规范形,。,r是矩阵A的秩，即二次型的秩。,注意：,规范型中“+”号的个数与标准型中d,i,0的个数相同。,同样，规范型中“-”号的个数与标准型中d,i,q,如果找到不全为零的y,1,y,2,y,n,，使
4、4)式不成立，那么假设不成立,问题：y,1,y,2,y,n,取怎样的实数时，(4)式左端大于0，同时相应的z,1,z,2,z,n,使(4)式右端小于0？,(4),方程组的未知量个数为n，方程的个数为n-p+qq造成的。同样，pq亦会产生类似的矛盾。,由此得到p=q.,惯性定理成立。,20,.,第二节 正定二次型,正(负)定二次型的概念正(负)定二次型的判别,21,.,为,正定二次型,为,负定二次型,一、正(负)定二次型的概念,例如,22,.,证明,充分性,故,二、正(负)定二次型的判别,23,.,必要性,故,推论1.实二次型正定的充要条件是其正惯性系数为n,推论2.实二次型正定的充要条件是其矩阵与n阶单位合同,推论3.正定矩阵的行列式大于零,证明：设A为正定矩阵，则C,T,AC=E,两端求行列式得：,24,.,这个定理称为霍尔维茨定理,定理2 对称矩阵 为,正定,的充分必要条件是：,的各阶顺序主子式为正，即,对称矩阵 为,负定,的充分必要条件是：奇数阶顺序主,子式为负，而偶数阶顺序主子式为正，即,25,.,例1,判别二次型,是否正定,.,解,它的顺序主子式,故上述二次型是正定的.,26,.,例2,判别二次型,是否正定.,解,二次型的矩阵为,用,特征值判别法,.,故此二次型为正定二次型.,即知 是正定矩阵，,27,.,例3,判别二次型,的正定性.,解,28,.,
浙ICP备2021020529号-1 | 浙B2-20240490 
