1、单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,.,*,知识回顾,几个一阶微分方程的解法,1,、可分离变量方程：,解法：,分离变量法,2,、齐次微分方程：,解法：,1,.,知识回顾,几个一阶微分方程的解法,3,、一阶线性微分方程：,解法：,公式法,常数变易法,2,.,第五节 二阶线性微分方程解的结构,二阶线性微分方程的,一般形式,：,其中,P,(,x,),Q,(,x,),f,(,x,),为连续函数,f,(,x,),称为自由项,.,称为,二阶齐次线性方程,.,称为,二阶非齐次线性方程.,3,.,(1),1、二阶齐次线性微分方程解的结构,证明,定理,1(,解的叠
2、加原理,),设 是方程,(1),的两个解,则,由条件 是方程,(1),的解,则有,的线性组合,(,是任意常数,),也,是方程,(1),的解,.,4,.,1、二阶齐次线性微分方程解的结构,问题：,是方程,(1),的通解吗？,不一定,例如：,通过观察可知,都是方程,的解,.,是该方程的通解,.,不是通解,.,发现,：,定理,1(,解的叠加原理,),设 是方程,(1),的两个解,则,的线性组合,(,是任意常数,),也,是方程,(1),的解,.,5,.,定理,2(,通解定理,),(1),1、二阶齐次线性微分方程解的结构,设 是方程,(1),的两个,线性无关解,则,(,是任意常数,),是方程,(1),的
3、通解,.,定义,6,.,2、二阶非齐次线性微分方程解的结构,(2),定理,3,（非齐次方程通解定理）,那么方程(2)的通解为,证,设 是方程,(,2,),的特解,由条件，,从而，,7,.,定理,4(,非齐次线性方程的叠加原理),和,的特解,的一个特解。,证略,8,.,第六节 二阶常系数线性微分方程,其中,p,q,是常数.,1、二阶常系数齐次线性微分方程的解法,定理,2(,通解定理,),设 是方程,(1),的两个,线性无关解,则,(,是任意常数,),是方程,(1),的通解,.,问题归结为求方程(,1),的两个线性无关的特解.,方程,特点,：,之间仅相差一个常数,.,9,.,1、二阶常系数齐次线性
4、微分方程的解法,(2),代数方程,(2),称为微分方程,(1),的,特征方程,它的根称,为,特征根,.,方程,特点,：,之间仅相差一个常数,.,10,.,(2),情形1,则特征方程,(2),有两个相异的实根,故它们线性无关,因此(1)的通解为,11,.,情形2,需要求另一个特解,则特征方程,(2),有两个相等的实根,于是,(1),的通解为,代入方程,(1),得,(1),故有,12,.,由,欧拉公式,知，,情形3,则特征方程,(2),有一对共轭复根,仍然是(1)的解,所以方程(1)的通解为,由叠加原理,13,.,小结,特征根的情况,通解的表达式,相异实根,相等实根,复根,14,.,解,特征方程为
5、故通解为,例,1,特征根为,故所求特解为,15,.,例,2,例,3,例,4,16,.,解,特征方程为,故所求通解为,例,2,例,3,解,特征方程为,解得,故所求通解为,特征根为,17,.,解,特征方程为,故通解为,例,4,特征根为,18,.,训练：求下列微分方程的通解,解,解,方程通解为,特征方程,特征根,解,通解为,19,.,对应齐次方程,(1),问题归结为求方程(3)的一个特解.,只讨论,f,(,x,),的一种类型，,用待定系数法求解.,2、二阶常系数非齐次线性方程的解法,(3),定理,3,（非齐次方程通解定理）,那么方程(,3),的通解为,设 是方程,(,3,),的特解,20,.,则,
6、21,.,情形1,若,不是特征根,即,情形2,若,是特征方程的单根,即,22,.,情形3,若,是特征方程的重根,即,23,.,综上讨论,设特解为,其中,24,.,25,作业：,25,.,知识回顾,1,、二阶常系数齐次线性方程：,解法：,特征方程法,特征根的情况,通解的表达式,相异实根,相等实根,复根,26,.,知识回顾,2,、二阶常系数非齐次线性方程：,通解：,27,.,例,5,写出下列非齐次方程的特解形式,解,特征方程为,特征根为,不是特征根，,所求特解形式为,（为待求系数）,（二次多项式），,28,.,例,5,写出下列非齐次方程的特解形式,解,特征方程为,特征根为,是单根，,所求特解形式为,（,a,为待求系数）,29,.,例,5,写出下列非齐次方程的特解形式,解,特征方程为,特征根为,是重根，,所求特解形式为,（为待求系数）,.,30,.,解,对应齐次方程通解,特征方程,特征根,代入方程得,原方程通解为,例,6,化简整理得,所以特解为,31,.,解,对应齐次方程通解,特征方程,特征根,例,7,代入原方程,得,32,.,解,对应齐次方程通解,特征方程,特征根,例,8,代入原方程,得,33,.,注意：,现即,即得,这样比代入原方程要简便得多。,解,对应齐次方程通解,特征方程,特征根,例6,34,.,作业：,35,.,
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