11-3格林公式省名师优质课获奖课件市赛课一等奖课件.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,目录 上页 下页 返回 结束,本幻灯片资料仅供参考，不能作为科学依据，如有不当之处，请参考专业资料。谢谢,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,目录 上页 下页 返回 结束,本幻灯片资料仅供参考，不能作为科学依据，如有不当之处，请参考专业资料。谢谢,第三节,一、格林公式,二、平面上曲线积分与路径无关,等价条件,格林公式及其应用,第十一章,第1页,区域,D,分类,单,连通区域,(,无,“洞”,区域,),多,连通区域,(,有,“洞”,区域,),域,D,边界,L,正向,:,域内部靠左,定理,1.,设区域,D,是由分段光滑正向曲线,L,围成,则有,(,格林公式,),函数,在,D,上含有连续一阶偏导数,或,一、格林公式,第2页,证实,:,1),若,D,既是,X-,型区域,又是,Y-,型区域,且,则,定理,1,第3页,即,同理可证,、两式相加得,:,定理,1,第4页,2),若,D,不满足以上条件,则可经过加辅助线将其分割,为有限个上述形式区域,如图,证毕,定理,1,第5页,推论,:,正向闭曲线,L,所围区域,D,面积,格林公式,比如,椭圆,所围面积,定理,1,第6页,例,1,.,设,L,是一条分段光滑闭曲线,证实,证,:,令,则,利用格林公式,得,第7页,例2.,计算,其中,D,是以,O,(0,0),A,(1,1),B,(0,1),为顶点三角形闭域,.,解,:,令,则,利用格林公式,有,第8页,例,3.,计算,其中,L,为一无重点且不过原点,分段光滑正向闭曲线,.,解,:,令,设,L,所围区域为,D,由格林公式知,第9页,在,D,内作圆周,取逆时,针方向,对区域,应用格,记,L,和,l,所围区域为,林公式,得,第10页,二、平面上曲线积分与路径无关等价条件,定理,2.,设,D,是单连通域,在,D,内,含有一阶连续偏导数,(1),沿,D,中任意光滑闭曲线,L,有,(2),对,D,中任一分段光滑曲线,L,曲线积分,(3),(4),在,D,内每一点都有,与路径无关,只与起止点相关,.,函数,则以下四个条件等价,:,在,D,内是某一函数,全微分,即,第11页,(1),沿,D,中任意光滑闭曲线,L,有,(2),对,D,中任一分段光滑曲线,L,曲线积分,与路径无关,只与起止点相关,.,说明,:,积分与路径无关时,曲线积分可记为,证实,(1),(2),设,为,D,内,任意,两条由,A,到,B,有向分段光滑曲,线,则,(,依据条件,(1),定理,2,第12页,(2),对,D,中任一分段光滑曲线,L,曲线积分,(3),与路径无关,只与起止点相关,.,在,D,内是某一函数,全微分,即,证实,(2),(3),在,D,内取定点,因曲线积分,则,同理可证,所以有,和任一点,B,(,x,y,),与路径无关,有函数,定理,2,第13页,(4),在,D,内每一点都有,(3),在,D,内是某一函数,全微分,即,证实,(3),(4),设存在函数,u,(,x,y,),使得,则,P,Q,在,D,内含有连续偏导数,从而在,D,内每一点都有,定理,2,第14页,证实,(4),(1),设,L,为,D,中任一分段光滑闭曲线,(,如图,),利用,格林公式,得,所围区域为,证毕,(1),沿,D,中任意光滑闭曲线,L,有,(4),在,D,内每一点都有,定理,2,第15页,说明,:,依据定理,2,若在某区域,D,内,则,2),求曲线积分时,可利用格林公式简化计算,3),可用积分法求,d,u,=,P,d,x,+,Q,d,y,在域,D,内原函数,:,及动点,则原函数为,若积分路径不是闭曲线,可,添加辅助线,;,取定点,1),计算曲线积分时,可选择方便积分路径,;,定理,2,或,第16页,4),若已知,d,u,=,P,d,x,+,Q,d,y,则对,D,内任一分段光滑曲,定理,2,线,AB,有,注:,此式称为,曲线积分基本公式,(P21,3,定理4),.,它类似于微积分基本公式,:,第17页,例,4.,计算,其中,L,为上半,从,O,(0,0),到,A,(4,0).,解,:,为了使用格林公式,添加辅助线段,它与,L,所围,原式,圆周,区域为,D,则,第18页,例,5.,验证,是某个函数全微分,并求,出这个函数,.,证,:,设,则,由定理,2,可知,存在函数,u,(,x,y,),使,第19页,例,6.,验证,在右半平面,(,x,0),内存在原函,数,并求出它,.,证,:,令,则,由,定理,2,可知存在原函数,第20页,或,第21页,例,7.,设质点在力场,作用下沿曲线,L,:,由,移动到,求力场所作功,W,解,:,令,则有,可见,在不含原点单连通区域内积分与路径无关,.,第22页,思索,:,积分路径是否能够取,取圆弧,为何？,注意,本题只在不含原点单连通区域内积分与路径,无关,!,内容小结,第23页,练习：,1.计算,其中,L,是以(0,0),(1,0),(1,1),(0,1)为顶点正方形正向边界限。,2.计算,答案：,其中,L,是由位于第一象限中直线段,x,+,y,=1与位于第二象限中圆弧,x,2,+,y,2,=1组成曲线，方向是由A(1,0)到B(0,1)再到C(-1,0)。,第24页,内容小结,1.,格林公式,2.,等价条件,在,D,内与路径无关,.,在,D,内有,对,D,内任意闭曲线,L,有,在,D,内有,设,P,Q,在,D,内含有一阶连续偏导数,则有,为全微分方程,第25页,思索与练习,1.,设,且都取正向,问以下计算是否正确,?,提醒,:,第26页,2.,设,提醒,:,练习,P21,4,2,(1),;,3,;,4,(3),;,5,(1),(4)；,6,(2),(5),.,第四节,第27页,备用题,1.,设,C,为沿,从点,依逆时针,半圆,计算,解,:,添加辅助线如图,利用格林公式,.,原式,=,到点,第28页,2.,质点,M,沿着以,AB,为直径半圆,，,从,A,(1,2),运动到,点,B,(3,4),到原点距离,解,:,由图知,故所求功为,锐角,其方向垂直于,OM,且与,y,轴正向夹角为,求变力,F,对质点,M,所作功,.,(1990,考研,),F,大小等于点,M,在此过程中受力,F,作用,第29页,3.,已知曲线积分,与路径无关,其中,求由,确定隐函数,解,:,因积分与路径无关,故有,即,所以有,第30页,