1、本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢,1.5、向量函数积分,1、体积分,设,D,是,R,3,中一个体积元,V,，在,V,中,定义函数。,定义（体积分）,：设 是,V,一个分割，,，任取点 ，作和式：,当 时，若和式极限存在，且与,V,划分与,选取无关，则称这个极限为 在,V,上积分，记做,第1页,在,R,3,空间，能够表示为：,则：,第2页,体积分计算规则：,(1)设 为常向量，为数量函数，则：,(2)设 为常向量，为向量函数，则：,(3)设 为常向量，为向量函数，则：,第3页,例1,：设,V,是平面 和三个坐标平面,x,=,0,y,=,0,z,=,0
2、所围区域，求 在,V,上体积分。,解：如图表示，则：,分别计算三个分量积分，首先：,第4页,同理：,最终得：,第5页,2、曲面积分,设,D,是,R,3,中一块简单、分块光滑空间有向曲面 ，,我们能够定义 沿 一侧积分。,定义(曲面积分),：设 在空间曲面 上有定义，,为 任意一个分割，记 ，任取点,，作和式：,当 时，若和式极限存在，且与 划分与,选取无关，则称这个极限为 在 上积分，记做,第6页,在,R,3,空间，能够表示为：,若 法向量单位向量为：,则：,所以：,第7页,例2：设 是平面 和三个坐标平面,所围闭曲面，求 沿 外侧曲面,积分。,解：如图表示，是分别表示三角形,OAB,OBC
3、OCA,所围平面，代表,ABC,所围三角形，则：,对于 ，z=0，dz=0，则：,同理：,第8页,对于 ，则：,而：,第9页,所以：,同理：,最终得：,第10页,例3：设 是球面 ，求,沿球面外侧积分。,解：对于球面来说，其任意点 法向分量为,所以，沿球面外侧积分为：,第11页,3、曲线积分,设,l,是,R,3,中一条简单、分段光滑空间有向曲线 ，,我们能够定义 在曲线 上积分。,定义(曲线积分),：设 为空间内由点,A,到点,B,一条有向光滑曲,线，任取分段点 ，把 分成,n,个有向,线段，定义 ，记 ，任取点,，作和,当 ，和式极限存在且和曲线划分与,选取无关，则称这个极限为 沿曲线 曲
4、线积分，记作,第12页,在,R,3,空间，能够表示为：,若 法向量单位向量为：,则：,所以：,第13页,例4：设 为平面 与三个坐标平面交线所围,闭曲线，曲线方向如图所表示，求函数,沿曲线正向积分。,解：由 围成，,第14页,同理：,最终得：,对于 ，z=0，dz=0，则：,第15页,4、Gauss公式和Stokes公式,Gauss公式：,设空间曲面 是分片光滑双侧闭曲面，其内部,区域记为 ，设函数,在 和 上连续，在 内含有一阶偏导数，则：,Stokes公式,：,设空间曲面 是光滑有界曲面，其边界,l,是一条,分段光滑闭曲线，设函数,在 和,l,上连续，在 上含有一阶偏导数，则：,第16页,总 结,1、体积分,体积分定义,体积分公式：,2、面积分,第17页,3、线积分,4、Gauss公式和Stokes公式,第18页,作业：,(1)设,l,为正向圆周 ，向量 ，求积分,(2)设运动路径 ，端点,，求质量,为,m,物体由,A,运动到,B,重力所作功(,z,轴方向为垂直向上)。,第19页,
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