微分方程建模1省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件.ppt

本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。感谢您,微分方程模,型,数学建模,第1页,1.,了解问题实际背景，明确建模目标，搜集掌握必要数据资料。,2.,在明确建模目标，掌握必要资料基础上，经过对资料分析计 算，找出起主要作用原因，经必要精炼、简化，提出若干符合客观实际假设。,3.,在所作假设基础上，利用适当数学工具去刻划各变量之间关系，建立对应数学结构 即建立数学模型。,4.,模型求解。,5.,模型分析与检验。,在难以得出解析解时，也应该借助,计算机,求出数值解。,3.0,数学建模普通步骤,实体信息,(数据),假设,建模,求解,验证,应用,第2页,3.1,微分方程几个简单实例,在许多实际问题中，包括,改变率,时,，,可导出包含,未知函数导数或微分,关系式，从而用建立微分方程模型方法来研究该问题，,本节将经过一些最简单实例来说明微分方程建模普通方法。在连续变量问题研究中，微分方程是十分惯用数学工具之一。,第3页,例1,（理想单摆运动）建立理想单摆运动满足微分方程，并得出理想单摆运动周期公式。,从图3-1中不难看出，小球所受协力为mgsin,，依据,牛顿第二定律,可得：,从而得出两阶微分方程：,（,3.1,）,这是理想单摆应满足运动方程,（3.1）,是一个两阶非线性方程，不易求解。当,很小时，,sin,，,此时，可考查（3.1）近似线性方程：,（,3.2由此即可得出,（3.2）解为:,(,t,)=,0,cos,t,其中,当 时,(,t,)=0,故有,M,Q,P,mg,图,3-1,（3.1）近似方程,第4页,为了保持自然资料合理开发与利用，人类必须保持并控制生态平衡，甚至必须控制人类本身增加。本节将建立几个简单单种群增加模型，以简略分析一下这方面问题。,种群数量本应取离散值，但因为种群数量普通较大，为建立微分方程模型，可将种群数量看作连续变量,由此引发误差将是十分微小。,3.2,Malthus模型与Logistic模型,第5页,模型1,马尔萨斯（Malthus）模型,马尔萨斯在分析人口出生与死亡情况资料后发觉，人口净增加率,r,基本上是一常数，（,r,=,b,-,d,b,为出生率，,d,为死亡率），既：,或,（,3.5,）,（,3.6,）,（3.1）,解为：,其中,N,0,=,N,(,t,0,)为初始时刻,t,0,时种群数。,马尔萨斯模型一个显著特点,：,种群数量翻一番所需时间是固定,。,令种群数量翻一番所需时间为,T,，则有：,故,第6页,模型检验,比较历年人口统计资料，可发觉人口增加实际情况与马尔萨斯模型预报结果基本相符，比如，1961年世界人口数为30.6（即3.0610,9,），人口增加率约为2%，人口数大约每35年增加一倍。检验1700年至1961260年人口实际数量，发觉二者几乎完全一致，且按马氏模型计算，人口数量每34.6年增加一倍，二者也几乎相同。,模型预测,假如人口数真能保持每34.6年增加一倍，那么人口数将以几何级数方式增加。比如，到2510年，人口达210,14,个，即使海洋全部变成陆地，每人也只有9.3平方英尺活动范围，而到2670年，人口达3610,15,个，只好一个人站在另一人肩上排成二层了。故,马尔萨斯模型是不完善。,几何级数增加,Malthus模型,实际上只有在群体总数不太大时才合理，到总数增大时，生物群体各组员之间因为有限生存空间，有限自然资源及食物等原因，就可能发生生存竞争等现象。,所以Malthus模型假设人口,净增加率不可能一直保持常数，它应该与人口数量相关。,第7页,模型2Logistic模型,人口净增加率应该与人口数量相关，即：,r,=,r,(,N,),从而有：,（,3.7,）,r,(,N,)是未知函数，但依据实际背景，它无法用拟合方法来求。,为了得出一个有实际意义模型，我们不妨采取一下工程师标准。工程师们在建立实际问题数学模型时，总是采取尽可能简单方法。,r,(,N,)最简单形式是常数，此时得到就是马尔萨斯模型。对马尔萨斯模型最简单改进就是引进一次项（竞争项）,对马尔萨斯模型引入一次项（竞争项），令,r,(,N,)=,r,-,aN,此时得到微分方程：,或,（,3.8,）,（,3.8,）,被称为Logistic模型或生物总数增加统计筹算律，是由荷兰数学生物学家弗赫斯特（Verhulst）首先提出。一次项系数是负，因为当种群数量很大时，会对本身增大产生抑制性，故一次项又被称为竞争项。,（3.8）,可改写成：,（,3.9,）,(3.9),式还有另一解释，因为空间和资源都是有限，不可能供养无限增加种群个体，当种群数量过多时，因为人均资源拥有率下降及环境恶化、疾病增多等原因，出生率将降低而死亡率却会提升。设环境能供养种群数量上界为,K,（近似地将,K,看成常数），,N,表示当前种群数量，,K,-,N,恰为环境还能供养种群数量，（3.9）指出，种群增加率与二者乘积成正比，恰好符合统计规律，得到了试验结果支持，这就是（3.9）也被称为统计筹算律原因。,第8页图,3-5,对,（3.9）,分离变量：,两边积分并整理得：,令,N,(0)=,N,0,，求得：,故,（3.9）,满足初始条件,N,(0)=,N,0,解为：,（,3.10,）,易见：,N,(0)=,N,0,，,N,(,t,)图形请看图3.5,第9页,模型检验,用Logistic模型来描述种群增加规律效果怎样呢？1945年克朗皮克（Crombic）做了一个人工喂养小谷虫试验，数学生物学家高斯（EFGauss）也做了一个原生物草履虫试验，试验结果都和Logistic曲线十分吻合。,大量试验资料表明用Logistic模型来描述种群增加，效果还是相当不错。比如，高斯,把5只草履虫放进一个盛有0.5cm3,营养液小试管，他发觉，开始时草履虫以天天230.9%速率增加，今后增加速度不停减慢，到第五天到达最大量375个，试验数据与,r,=2.309，,a,=0.006157，,N,(0)=5,Logistic曲线：,几乎完全吻合，见图3.6。,图,3-6,第10页,Malthus模型和Logistic模型总结,Malthus模型和Logistic模型,均为对微分方程（3.7）所作模拟近似方程。前一模型假设了种群增加率,r,为一常数，（,r,被称为该种群内禀增加率）。后一模型则假设环境只能供养一定数量种群，从而引入了一个竞争项。,用模拟近似法建立微分方程来研究实际问题时必须对求得解进行检验，看其是否与实际情况相符或基本相符。相符性越好则模拟得越好，不然就得找出不相符主要原因，对模型进行修改。,Malthus模型与Logistic模型即使都是为了研究种群数量增加情况而建立，但它们也可用来研究其它实际问题，只要这些实际问题数学模型有相同微分方程即可。,第11页,例2,新产品推广,经济学家和社会学家一直很关心新产品推销速度问题。怎样建立一个数学模型来描述它，并由此析出一些有用结果以指导生产呢？以下是第二次世界大战后日本家电业界建立电饭包销售模型。,设需求量有一个上界，并记此上界为,K,，记,t,时刻已销售出电饭包数量为,x,(,t,)，则还未使用人数大致为,K,x,(,t,)，于是由统计筹算律：,记百分比系数为,k,，,则,x,(,t,)满足：,此方程即Logistic模型，解为：,还有两个奇解:,x,=0,和,x,=,K,对,x,(,t,)求一阶、两阶导数：,第12页,x,(,t,)0，即,x,(,t,)单调增加。,令,x,(,t,0,)=0，有,当,t,t,0,时，,x,(,t,)单调减小。,在销出量小于最大需求量二分之一时，销售速度是不停增大，销出量到达最大需求量二分之一时，该产品最为畅销，接着销售速度将开始下降。,所以早期应采取小批量生产并加以广告宣传；从有20%用户到有80%用户这段时期，应该大批量生产；后期则应适时转产，这么做能够取得较高经济效果。,第13页,3.3药品在体内分布,何为房室系统？,在用微分方程研究实际问题时，人们经常采取一个叫“房室系统”观点来考查问题。依据研究对象特征或研究不一样精度要求，我们把研究对象看成一个整体（单房室系统）或将其剖分成若干个相互存在着某种联络部分（多房室系统）。,房室含有以下特征：它由考查对象均匀分布而成，房室中考查对象数量或浓度（密度）改变率与外部环境相关，这种关系被称为“交换”且交换满足着总量守衡。在本节中，我们将用房室系统方法来研究药品在体内分布。在下一节中，我们将用多房室系统方法来研究另一问题。,交换,环境,内部,单房室系统,均匀分布,第14页,药品分解与排泄（输出）速率通常被认为是与药品当前浓度成正比，即：,药品分布单房室模型,单房室模型是最简单模型，它假设：体内药品在任一时刻都是均匀分布，设,t,时刻体内药品总量为,x,(,t,)；系统处于一个动态平衡中，即成立着关系式：,药品输入规律与给药方式相关。下面，我们来研究一下在几个常见给药方式下体内药体改变规律。,机体,环境,药品总量,图,3-8,假设药品均匀分布,第15页,情况1 快速静脉注射,机体,环境,只输出不输入房室,其解为：,药品浓度：,与放射性物质类似，医学上将血浆药品浓度衰减二分之一所需时间称为药品血浆半衰期：,负增加率,Malthus,模型,在快速静脉注射时，总量为,D,药品在瞬间被注入体内。设机体体积为,V,，则我们能够近似地将系统看成初始总量为,D,，浓度为,D/V,，只输出不输入房室，即系统可看成近似地满足微分方程：,（,3.12,）,第16页,情况2 恒速静脉点滴,机体,环境,恒定速率输入房室,药品似恒速点滴方式进入体内，即:,则体内药品总量满足：,（,x,(0)=0,）,（,3.13,）,这是一个一阶常系数线性方程，其解为：,或,易见,：,称为稳态血药浓度,对于屡次点滴，设点滴时间为,T,1,，两次点滴之间间隔时间设为,T,2,，,则在第一次点滴结束时病人体内药品浓度可由上式得出。其后,T,2,时间内为情况1。故：,（第一次）,0,t,T,1,T,1,t,T,1,+,T,2,类似可讨论以后各次点滴时情况，区分只在初值上不一样。第二次点滴起，患者,体内初始药品浓度不为零。,第17页,情况3 口服药或肌注,y(t),x(t),K,1,y,K,1,x,环境,机体,外部药品,口服药或肌肉注射时，药品吸收方式与点滴时不一样，药品即使瞬间进入了体内，但它普通都集中与身体某一部位，靠其表面与肌体接触而逐步被吸收。设药品被吸收速率与存量药品数量成正比，记百分比系数为,K,1,，即若记,t,时刻残留药品量为,y,(,t,)，则,y,满足：,D,为口服或肌注药品总量,因而：,所以：,解得：,从而药品浓度：,第18页,图3-9给出了上述三种情况下体内血药浓度改变曲线。轻易看出，快速静脉注射能使血药浓度马上到达峰值，惯用于抢救等紧急情况；口服、肌注与点滴也有一定差异，主要表现在血药浓度峰值出现在不一样时刻，血药有效浓度保持时间也不尽相同。,图,3-9,我们已求得三种常见给药方式下血药浓度,C,(,t,)，当然也轻易求得血药浓度峰值及出现峰值时间，因而，也不难依据不一样疾病治疗要求找出最正确治疗方案。,第19页,新药品、新疫苗在临床应用前必须经过较长时间基础研究、小量试制、中间试验、专业机构评审及临床研究。当一个新药品、新疫苗研制出来后，研究人员必须用大量试验搞清它是否真有用，怎样使用才能发挥最大效用，提供给医生治病时参考。在试验中研究人员要测定模型中各种参数，搞清血药浓度改变规律，依据疾病特点找出最正确治疗方案（包含给药方式、最正确剂量、给药间隔时间及给药次数等），这些研究与试验据预计最少也需要多年时间。在年春夏之交SARS（非典）流行期内，有些人希望医药部门能赶快拿出一个能治疗SARS良药或预防SARS有效疫苗来，但这只能是一个空想。SARS突如其来，形成了“外行不懂、内行陌生”情况。国内权威机构一度曾认为这是“衣原体”引发肺炎，能够用抗生素控制和治疗。但实际上，抗生素类药品对SARS控制与治疗丝毫不起作用。以钟南山院士为首广东省教授并不迷信权威，坚持认为SARS是病毒感染引发肺炎，两个月后（4月16日），世界卫生组织正式确认SARS是冠状病毒一个变种引发非经典性肺炎（注：这种确认并非是由权威机构定义，而是经对猩猩屡次试验证实）。发觉病原体尚且如此不易，要攻克难关，找到治疗、预防方法当然就更困难了，企图几个月处理问题注定只能是一个不切实际幻想。,第20页,上述研究是将机体看成一个均匀分布同质单元，故被称单房室模型，但机体实际上并不是这么。药品进入血液，经过血液循环药品被带到身体各个部位，又经过交换进入各个器官。所以，要建立更靠近实际情况数学模型就必须正视机体部位之间差异及相互之间关联关系，这就需要多房室系统模型。,I,II,k,12,k,21,两房室系统,图,3-10,图3-10表示是一个常见两房室模型，其间,k,12,表示由室I渗透到室II改变率前系数，而,k,21,则表示由室II返回室I改变率前系数，它们刻划了两室间内在联络，其值应该用试验测定，使之尽可能地靠近实际情况。,当差异较大部分较多时，能够类似建立多房室系统，即N房室系统,第21页,hy,3.5,传染病模型,传染病是人类大敌，经过疾病传输过程中若干主要原因之间联络建立微分方程加以讨论，研究传染病流行规律并找出控制疾病流行方法显然是一件十分有意义工作。在本节中，我们将主要用多房室系统观点来对待传染病流行，并建立起对应多房室模型。,医生们发觉，在一个民族或地域，当某种传染病流传时，涉及到总人数大致上保持为一个常数。即既非全部些人都会得病也非毫无规律，两次流行（同种疾病）涉及人数不会相差太大。怎样解释这一现象呢？试用建模方法来加以证实。,问题提出：,第22页,设某地域共有,n,+1人，最初时刻共有,i,人得病，,t,时刻已感染（infective）病人数为,i,(,t,)，假定每一已感染者在单位时间内将疾病传输给,k,个人（,k,称为该疾病传染强度），且设此疾病既不造成死亡也不会康复,模型1,此模型即Malthus模型，它大致上反应了传染病流行早期病人增加情况，在医学上有一定参考价值，但伴随时间推移，将越来越偏离实际情况。,已感染者与还未感染者之间存在着显著区分，有必要将人群划分成已感染者与还未感染易感染，对每一类中个体则不加任何区分，来建立两房室系统。,则可导出：,故可得：,（,3.15,）,第23页,模型2,记,t,时刻病人数与易感染人数,（,susceptible,）,分别为,i,(,t,)与,s,(,t,)，初始时刻病人数为,i,。依据病人不死也不会康复假设及（竞争项）统计筹算律，,其中：,解得：,（,3.17,）,可得：,（,3.16,）,统计结果显示，(3.17)预报结果比(3.15)更靠近实际情况。医学上称曲线 为传染病曲线，并称,最大值时刻t,1,为此传染病流行高峰。,令：,得：,此值与传染病实际高峰期非常靠近，可用作医学上预报公式。,模型2仍有不足之处，它无法解释医生们发觉现象，且当初间趋与无穷时，模型预测最终全部些人都得病，与实际情况不符。,为了使模型更准确，有必要再将人群细分，建立多房室系统,第24页,infective,recovered,susceptible,k,l,（,3.18,）,l,称为传染病恢复系数,求解过程以下：,对（3）式求导，由（1）、（2）得：,解得：,记：,则：,将人群划分为三类（见右图）：易感染者、已感染者和已恢复者（recovered）。分别记,t,时刻三类人数为,s,(,t,)、,i,(,t,)和,r,(,t,)，则可建立下面三房室模型：,模型3,第25页,infective,recovered,susceptible,k,l,由(1)式可得：,从而解得：,积分得：,（,3.19,）,不难验证，当,t,+,时，,r,(,t,)趋向于一个常数，从而能够解释医生们发觉现象。,为揭示产生上述现象原因（3.18）中第（1）式改写成：,其中 通常是一个与疾病种类相关,较大常数。,下面对,进行讨论，请参见右图,假如 ，,则有 ，此疾病在该地域根本流行不起来。,假如 ，则开始时 ，,i,(,t,)单增。但在,i,(,t,)增加同时，,伴随地有,s,(,t,)单减。当,s,(,t,)降低到小于等于 时，,i,(,t,)开始减小，直至此疾病在该地域消失。,鉴于在本模型中作用，被医生们称为此疾病在该地域阀值。引入解释了为何此疾病没有涉及到该地域全部些人。,图,3-14,第26页,总而言之，模型3指出了传染病以下特征：,（1）当人群中有些人得了某种传染病时，此疾病并不一定流传，仅当易受感染人数与超出阀值时，疾病才会流传起来。,（2）疾病并非因缺乏易感染者而停顿传输，相反，是因为缺乏传输者才停顿传输，不然将造成全部些人得病。,（3）种群不可能因为某种传染病而绝灭。,模型检验：,医疗机构普通依据,r,(,t,)来统计疾病涉及人数，从广义上了解，,r,(,t,)为,t,时刻已就医而被隔离人数，是康复还是死亡对模型并无影响。,及：,注意到：,可得,：,（,3.20,）,第27页,通常情况下，传染病涉及人数占总人数百分比不会太大，故 普通是小量。利用泰勒公式展开取前三项，有：,代入（3.20）得近似方程：,积分得：,其中：,这里双曲正切函数：,而：,对,r,(,t,)求导,：,（,3.21,）,第28页,曲线,在医学上被称为疾病传染曲线。,图3-14给出了（3.21）,式曲线图形，可用医疗单位天天实际登录数进行比较拟合得最优曲线。,图3-14（a）,第29页,3.7,稳定性问题,在研究许多实际问题时，人们最为关心可能并非系统与时间相关改变状态，而是系统最终发展趋势。比如，在研究某频危种群时，即使我们也想了解它当前或今后数量，但我们更为关心却是它最终是否会绝灭，用什么方法能够拯救这一个群，使之免于绝种等等问题。要处理这类问题，需要用到微分方程或微分方程组稳定性理论。在下两节，我们将研究几个与稳定性相关问题。,第30页,普通微分方程或微分方程组能够写成：,定义 称微分方程或微分方程组,为自治系统或动力系统。,（,3.28,）,若方程或方程组,f,(,x,)=0有解,X,o,，,X=X,o,显然满足（,3.28,）。,称点,X,o,为微分方程或微分方程组（3.28)平衡点或奇点。,第31页,例7,本章第2节中Logistic模型,共有两个平衡点：,N,=0和,N,=,K,，分别对应微分方程两两个特殊解。前者为,N,o,=0时解而后者为,N,o,=,K,时解。,当,N,o,K时，则位于,N,=,K,上方。从图,3,-,17,中不难看出，若,N,o,0，积分曲线在,N,轴上投影曲线（称为轨线）将趋于,K,。这说明，平衡点,N,=0和,N,=,K,有着极大区分。,图,3-17,定义1,自治系统 相空间是指以（,x,1,x,n,）为坐标,空间R,n,。,尤其，当,n,=2时，称相空间为相平面。,空间R,n,点集(,x,1,x,n,)|,x,i,=,x,i,(,t,)满足(3.28)，,i,=1,n,称为系统轨线，全部轨线在相空间分布图称为相图。,第32页,定义2 设,x,0,是（3.28）平衡点，称：,（1）,x,0,是稳定，假如对于任意,0，存在一个,0，只要|,x,(0)-,x,0,|,，就有|,x,(,t,)-,x,0,|,对全部,t,都成立。,（2）,x,0,是渐近稳定，假如它是稳定且 。,微分方程平衡点稳定性除了几何方法，还能够经过解析方法来讨论，所用工具为以下一些定理。,（3）,x,0,是不稳定，假如（1）不成立。,依据这一定义，Logistic方程平衡点N=K是稳定且为渐近稳定，而平衡点N=0则是不稳定。,第33页,解析方法,定理1 设,x,o,是微分方程 平衡点：,若 ,则,x,o,是渐近稳定,若 ,则,x,o,是渐近不稳定,证 由泰勒公式，当,x,与,x,o,充分靠近时，有：,因为,x,o,是平衡点，故,f,(,x,o,)=0。若 ，则当,x,0，从而,x,单增；当,x,x,o,时，又有,f,(,x,)0，可能出现以下情形：,若,q,0，,1,2,0。,当,p,0时，,零点不稳定；当,p,0时，零点稳定,若,q,0，,1,2,0时，零点不 稳定,当,p,0时，零点稳定,（2）,0，零点稳定,若,a,=0，有零点为中心周期解,总而言之：仅当,p,0时，（3.30）零点才是渐近稳定；当,p,=0且,q,0时（3.30）有周期解，零点是稳定中心（非渐近稳定）；在其它情况下，零点均为不稳定。,非线性方程组（3.29）平衡点稳定性讨论能够证实有下面定理成立:,定理2 若（3.30）零点是渐近稳定，则（3.29）平衡点,也是渐近稳定；若（3.30）零点是不稳定，则（3.29）,平衡点也是不稳定。,第37页,3.8,捕食系统Volterra方程,问题背景：,意大利生物学家DAncona曾致力于鱼类种群相互制约关系研究，在研究过程中他无意中发觉了一些第一次世界大战期间地中海沿岸港口捕捉几个鱼类占捕捉总量百分比资料，从这些资料中他发觉各种软骨掠肉鱼，如鲨鱼、鳐鱼等我们称之为捕食者（或食肉鱼）一些不是很理想鱼类占总渔获量百分比。在 19141923年期间，意大利阜姆港收购鱼中食肉鱼所占百分比有显著增加：,年代,1914,1915,1916,1917,1918,百分比,11.9,21.4,22.1,21.2,36.4,年代,1919,1920,1921,1922,1923,百分比,27.3,16.0,15.9,14.8,10.7,他知道，捕捉各种鱼百分比近似地反应了地中海里各种鱼类百分比。战争期间打鱼量大幅下降，但捕捉量下降为何会造成鲨鱼、鳐鱼等食肉鱼百分比上升，即对捕食者有利而不是对食饵有利呢？他百思不得其解，无法解释这一现象，就去讨教当初著名意大利数学家V.Volterra，希望他能建立一个数学模型研究这一问题。,第38页,Volterra将鱼划分为两类。一类为食用鱼（食饵），数量记为,x,1,(,t,)，另一类为食肉鱼（捕食者），数量记为,x,2,(,t,)，并建立双房室系统模型。,1、模型建立,大海中有食用鱼生存足够资源，可假设食用鱼独立生存将按增加率为,r,1,指数律增加（Malthus模型），既设：,因为捕食者存在，食用鱼数量因而降低，设降低速率与二者数量乘积成正比（竞争项统计筹算律），即：,对于食饵,（Prey）系统,：,1,反应了捕食者掠取食饵能力,第39页,对于捕食者,（Predator）系统,：,捕食者设其离开食饵独立存在时死亡率为,r,2,，即：,但食饵提供了食物，使生命得以延续。这一结果也要经过竞争来实现，再次利用统计筹算律，得到：,综合以上分析，建立P-P模型（Volterra方程）方程组：,（3.31）,方程组（3.31）反应了在没有些人工捕捉自然环境中食饵与捕食者之间相互制约关系。下面我们来分析该方程组。,第40页,2、模型分析,方程组（3.31）是非线性，不易直接求解。轻易看出，该方程组共有两个平衡点，即：,P,o,(0,0)是平凡平衡点且显著是不稳定，没必要研究,方程组还有两组平凡解：,和,和,所以x,1,、x,2,轴是方程组两条相轨线。,当,x,1,(0)、,x,2,(0)均不为零时，应有,x,1,(,t,)0且,x,2,(,t,)0，对应相轨线应保持在第一象限中。,第41页,求（3.31）相轨线,将两方程相除消去时间,t,，得：,分离变量并两边积分得轨线方程：,（3.32）,令,二者应含有类似性质,用微积分知识轻易证实：,有：,同理：对,有：,第42页,图,3-20,(b),图,3-20,(a),与 图形见图3-20,易知仅当 时（3.32）才有解,记：,讨论平衡点 性态。,当 时，轨线退化为平衡点。,当 时，轨线为一封闭曲线（图,3-21,），,即周期解。,图,3-21,证实含有周期解。,只需证实：存在两点 及 ，,当,x,1,时，方程（3.32）有两,个解，当,x,1,=或,x,1,=时，方程恰,有一解，而在,x,1,时，方,程无解。,第43页,实际上，若 ，记,，则,由 性质，而 ，使得：,。一样依据性质知，当,x,1,时,。此时：,由 性质，使 成立。,当,x,1,=或 时，,仅当 时才能成立。,而当,x,1,时，因为 ，,故 无解。,得证。,第44页,确定闭曲线走向,用直线,将第一象限划分成四个子区域,在每一子区域，与 不变号，据此确定轨线走向（图3-22）,图,3-22,将Volterra方程中第二个改写成：,将其在一个周期长度为,T,区间上积分，得,等式左端为零，故可得：,同理：,平衡点P两个坐标恰为食用鱼与食肉鱼在一个周期中平均值。,第45页,解释DAncona发觉现象,引入捕捞能力系数，（01），表示单位时间,内捕捞起来鱼占总量百分比。故Volterra方程应为：,平衡点,P,位置移动到了：,因为捕捞能力系数引入，食用鱼平均量有了增加，而食肉鱼平均量却有所下降，越大，平衡点移动也越大。,食用鱼数量反而因捕捞它而增加，,真是这么？！,第46页,P-P模型导出结果虽非绝对直理，但在一定程度上是附合客观实际，有着广泛应用前景。比如，当农作物发生病虫害时，不要随随便便地使用杀虫剂，因为杀虫剂在杀死害虫同时也可能杀死这些害虫天敌，（害虫与其天敌组成一个双种群捕食系统），这么一来，使用杀虫剂结果会适得其反，害虫愈加猖獗了。,（3）打鱼对食用鱼有利而对食肉鱼不利，多打鱼（当然要在一定程度内，如0，,b,1,0，共栖系统。,（ii）,a,2,0（或,a,2,0，,b,1,0），捕食系统。,（iii）,a,2,0，,b,1,0且连续以及,AB,0可知，函数 在第一象限中不变号且不为零，故二重积分：,（3.35）,但另首先，由格林公式,注意到 ，又有:,（3.36）,其中,T,为周期。,（3.35）与（3.36）矛盾，说明圈不可能存在。,对于,Voltera,方程，由,a1,=,b,2,=0，得B=0；所以无圈定理不适合用于,Volterra,方程。,第53页,对于普通生态系统，假如经过求解微分方程来讨论经常会碰到困难。,怎样来讨论普通生态系统,假如困难话能够研究种群改变率，搞清轨线走向来了解各种群数量最终趋势。,第54页,简化模型，设竞争系统方程为：,其中,不为0，不然为,Logistic模型,。,方便讨论取,=,=1，但所用方法可适用普通情况。,（竞争排斥原理）若,K,1,K,2,，则对任一初态（,x,1,(0),x,2,(0)），,当t+时，总有（,x,1,(,t,),x,2,(,t,)）（,K,1,0），即物种2将绝灭,而物种1则趋于环境允许负担最大总量。,定理4,第55页,作直线,l,1,:,x,1,+,x,2,=,K,1,及,l,2,:,x,1,+,x,2,=,K,2，,K,1,K,2，,见,图3-26。,dx1/dt0,dx2/dt0,dx2/dt0,dx1/dt0,dx2/dt0,有以下几个引理:,引理1,若初始点位于区域I中，则解,（,x,1,(,t,)、,x,2,(,t,)）从某一时刻起,必开此区域而进入区域II,引理2,若初始点（,x,1,(0)、,x,2,(0)）位于,区域II中，则（,x,1,(,t,)，,x,2,(,t,)）始,终位于II中，且：,引理3,若初始点位于区域III中,且对于,任意t,，（,x,1,(,t,)，,x,2,(,t,)）仍位于,III中，则当t+时，（,x,1,(,t,)，,x,2,(,t,)）必以（,K,1,0）为极限点。,第56页,由引理1和引理2，初始点位于像限I和II解必趋于平衡点（,K,1,0）。由引理3，初始点位于III且（,x,1,(,t,)，,x,2,(,t,)）一直位于III中解最终必趋于平衡点（,K,1,0），而在某时刻进入区域II解由引理最终也必趋于（,K,1,0）。易见只有上述三种可能，而在三种可能情况下（,x,1,(,t,)，,x,2,(,t,)）均以（,K,1,0）为极限，定理得证。,定理4证实：,第57页,在研究实际课题时，数值解方法可能会用得更多。当解析解无法求得时，计算机作为强大辅助工具发挥了它应起作用。我校学生在研究1999年美国大学生数学建模竞赛题A（小行星撞击地球）时就碰到了一个棘手问题：怎样描述南极地域生态系统，怎样定量化地研究小行星撞击地球对南级生态环境影响？在上网查阅了南极附近海洋生态情况后，他们将南极附近生物划分成三个部分：海藻、鳞虾和其它海洋生物。鳞虾吃海藻，其它海洋动物吃鳞虾，利用基本建模技巧建立了一个三房室系统模型。小行星撞击会影响大气层能见度，从而影响到海藻生长（光合作用），进而影响到生物链中其它生物。他们无法得到模型中参数值（实际上，小行星撞击南极事件并未发生过），就取了一系列不一样参数值，对不一样参数值下模型数值解进行了分析对比，研究了解对各参数改变灵敏度，取得了十分有意义结果并取得了当年国际竞赛一等奖。,第58页,