存储问题的数学模型省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢您,存贮问题数学方法,舒兴明,第1页,一、存贮问题,1、工厂订购原料，存入仓库供生产所用；,2、车间一次加工生产一批零件，供装配线天天生产之需；,3、放在货柜里以备零售；,4、水库在雨季蓄水，用于旱季浇灌和发电；,5、自动取款机天天早上一次性放入若干货币，以供消费者自由取款；,6、计算机硬盘里内存预留问题；等等。,这些问题，都存在一个存放多少才适当问题，存放过多，存放费用、积压货物本身资金流动、资金本身利息等太多；存放太少，会造成订购货物次数太多而增加采购费或不能及时满足消费需求而增加其它费用。,姜起源.谢金星.数学模型.高等教育出版社.59页,第2页,二、与存贮问题相关几个术语,1、需求,所谓需求，就是将存贮在“仓库”“货物”提供给需要一方。存贮目标就是为了满足需求，伴随需求发生，存贮将降低。,需求分类：,（1）连续性需求和间断性需求,若需求是连续，则存贮就是连续降低；若需求是间断，则存贮是跳跃式降低（需求是瞬间完成）。,（2）确定性需求和随机性需求,需求发生时间和数量是确定，就是确定性需求；不然就是随机性需求。,第3页,2、补充,所谓补充就是向“仓库”里添加存贮物，使得存放量得以增加或恢复。补充不及时或者补充不足，就无法满足新需求。,补充方式：,（1）提前定货，货到就即刻补充，并使得存贮量得到要求量；且普通认为这种补充是瞬间完成。,（2）自己安排生产，普通生产速度（单位时间内生产货物数量）大于需求速度（单位时间内对货物需求数量）。,3、存贮状态图,在一个存贮系统中，存贮量因需求而降低，因补充而增加。在直角坐标系下，以时间t为横轴，以实际存贮量S为纵轴，将每个时刻t对应存贮货物量S反应在坐标平面，就得到一条反应实际存贮量S动态改变规律曲线，称为存贮状态图。,第4页,比如，开始有Q这么多货物量，每单时间货物需求数量（连续需求速度）为r，若在0，T这段时间内货物全部供给给需求者，则仓库货物数量状态图为,t,S0,T,Q,S(t)=Q-rt,连续需求存贮状态曲线,从图中能够看出，存贮状态随时间改变而改变，且S(0)=Q，S(T)=0。当S=0时，瞬间补充货物量，使得存贮量又恢复到Q（补充量为Q）,补充,第5页,又如，刚开始有500单位货物，需求是离散需求，每10天需求100单位货物，则存贮状态图为,S,t,0,T,补充,500,离散需求存贮状态图,第6页,3、费用,在研究存贮问题中，总是用费用来评价存贮策略优劣性。为了正确评价一个系统不一样策略优劣性或评价不一样存贮系统优劣性，必须满足可比性要求：时间一致可比性和计算口径（项目一致）可比性。,惯用一个存贮周期内,总费用或单位时间平均总费用,来衡量一个存贮系统优劣性。,在研究存贮问题时，经常要考虑是以下一些项目标费用：,（1）存贮费：存贮货物资金利息、保险、仓库租借费用、保管费、维修费、物资自然耗损费等，普通与存贮时间和存贮数量成百分比；,（2）缺货费：存贮不能满足需求而造成损失，如失去销售机会、停工待料损失、延期交货额外支付、对需求方赔偿。缺货费与缺货数量和时间成百分比，当不允许缺货时，缺货费为无穷大。,第7页,（3）订货费或生产费,（3.1）当向外采购货物补充存贮量时，就发生订货费，这包含两部分：一部分是订购费，比如手续费、差旅费等，它与订货次数相关，而与订货数量无关；另一部分就是物资进货成本，如货款、运费等，只与订货数量相关（货款与运费可能会有所波动）。,（3.2）假如自行生产货物而补充物资存贮量，则需要生产费，它也包含两部分：一部分是固定费用（装配生产线、生产准备费用、或组织调整生产线费用等），它与生产次数相关，与生产数量无关；另一部分是与生产量相关费用，如原材料和零部件成本、直接加工费用等。,第8页,4、存贮策略,什么叫存贮策略呢？就是决定以什么方式对存贮进行补充，什么时间补充，补充多少。常见存贮策略有以下几个：,（1）t-循环策略：每隔固定时间t，补充一个固定量Q；,（2）(t,S)策略：每隔固定时间t补充一次，补充前对仓库盘点，假如物资量为I，仓库最大库存容量为S，则补充量Q=S-I。,（3）（s,S)策略：设仓库最大容量为S，,时刻监控物质余量,I，假如I大于等于s（称为警戒点、安全存放量、保险存放量），则不补充；假如I小于s，则补充货物，补充量为Q=S-I。,（4）(t,s,S)策略：（自行补充）。,第9页,三、存贮模型1 不允许缺货模型,三、存放模型1,配件厂为装配线生产若干种部件，轮换生产不一样部件时，因更换设备需要付出生产准备费用(与产量无关)，同一部件产量大于需求时，因资金积压、占用仓库需要存放费用。今已知某一部件日需求量100件，生产准备费用为5000元，存放费用天天每件1元。假如生产能力远远大于需求，而且不允许出现缺货，试安排该产品生产计划，即多少天生产一次(称为生产周期)，每次产量多少，可使得总费用或平均费用(注意费用口径一致：时间一致，项目一致)最少。,模型分析,假如天天安排生产一次，每次生产100件，则一天费用为5000元；不过假如这么连续生产x天，则x天总费用为5000 x元。假如每隔x天生产一次，一次生产100 x件，则生产准备费用为5000元，存放费用为,姜起源.谢金星.数学模型.高等教育出版社.59页,第10页,则每隔x天生产一次，这x天中总费用为,元,元,平均天天费用为,其函数曲线以下(见附件1),第11页,每x天生产一次平均费用,x*为最优点,x*,第12页,由上面图能够看出，存在x*，每隔x*天安排一次生产，这x*天内天天费用都低于其它安排。称x*为生产周期。怎样求这个x*，其它类似问题是否能够一样求解呢？,模型假设,1、为了方便，考虑连续情况，即需求是连续，生产周期和产量也是连续；,2、产品需求速度是一个确定常数；,3、生产能力无穷大(相对需求)，即能够很短时间内实现任何产量，即永远不会缺货；,符号设置,R 需求速度；Q 周期内产量；T生产周期；,C,1,生产准备费用；C,2,单位产品天天存放费用；,S 货物存放量；,第13页,模型建立,t=0时刻开始生产货物量为Q。存放量S是时间t函数，记为S(t)，且开始时S(0)=Q（产量），伴随需求进行，S(t)是减函数，且S(T)=0，又开始生产补充。这一过程能够用以下动态过程表示。,RT=Q,T斜率为R,0,t,S(t),存放状态改变图,一个周期内生产准备费用为C,1,，一个周期内存放费用为,第14页,Q,T,R,0,t,S(t),存放状态改变图,存放费,，所以周期T内总费用,周期T内天天平均费用为,1,第15页,对1函数驻点，得,2,将其带入Q=RT，得到,3,2和3是经济学上著名经济订货批量公式(EOQ:),将2带入1，得到平均最小费用,4,模型求解,第16页,结果解释,由2能够看出,1、生产准备费用C,1,越大，生产周期越长；单位存放费用C,2,和需求速度R越大，生产周期越短。,由3能够看出,2、生产准备费用C,1,越大，需求速度R越大，产量Q越大；单位存放费用C,2,越小，产量Q越大。,这两个结果符合常识，不过，它们之间关系呈平方根关系，只有靠数学模型得到（用途？）。,将问题已知条件C,1,=5000，R=100，C,2,=1代入2、3和4得到,第17页,敏感性分析,由公式,对C,1,C,2,R,分别求偏导数，得,注：函数改变百分比/自变量改变百分比=函数弹性，即,函数y=f(x)在x,0,附近有定义，假如下式成立，,5,2,第18页,称5为函数y=f(x)在点x,0,处弹性，反应函数y随自变量x改变猛烈程度。即自变量改变1%时，函数y改变百分比，若E(y)为正，表示增加百分比；假如E(y)为负，表示下降百分比，总是是反应函数对自变量灵敏程度。,下面就用弹性这个概念来计算平均费用对各个参数灵敏程度。这里C,1,=5000，C,2,=1，R=100。,1、周期T对生产准备费用C,1,灵敏度分析,结果说明，当生产准备费用变动1%时，周期t用只是变动0.5%，说明周期对准备费用反应不灵敏。,第19页,2、周期T对存放费用灵敏度分析,计算结果表明，存放费用每增加1%，周期T则下降0.5%，反应不太灵敏。,3、周期T对需求速度R灵敏度分析,计算结果表明，存放费用每增加1%，周期T则下降0.5%，反应不太灵敏。,第20页,模型改进,1、在假设3中，假设生产能力无限大，即缺货瞬间补充。假如生产能力有限，且生产速度P(大于需求速度)也是一个常数，怎么建立公式14?,0,t,T,T,1,Q,斜率R,斜率P-R,2、在此生产存放模型中，没有提到生产产品费用？为何？在什么情况下不考虑生产费用也能够求生产周期？,（在生产过程中，生产要素所包括价格不改变，且需求速度不改变，即可不考虑）,第21页,四、存贮模型2,四、存贮模型2 允许缺货存贮模型,在一些情况下用户允许短时间缺货，即使会造成一定损失，不过只要损失费用不超出不允许缺货准备费用和存放费用话，允许缺货应该是能够采取策略。,下面讨论允许缺货模型,模型假设,1、为了方便，考虑连续情况，即需求是连续，生产周期和产量也是连续；,2、产品需求速度是一个确定常数；,3、生产能力无限大（相对于需求），允许缺货，天天每件产品缺货损失费用为C,3,，但缺货数量在下次生产(或订货)时补足；,姜起源.谢金星.数学模型.高等教育出版社.61页,第22页,符号设置,R 需求速度；A 最大存放量；T 生产周期；,C,1,生产准备费用；C,2,单位产品天天存放费用；,S 货物存放量；C,3,单位缺货费用；,T,1,开始缺货点；B 最大缺货量；Q 货物产量；,模型建立,S,t,0,A,T,1,T,-B,斜率R,第23页,S,t,0,A,T,1,T,-B,斜率R,S(t)=A-Rt,依据问题描述，0,T,1,上货物存放量S(t)=A-Rt，S(0)=A，S(T,1,)=0,S(T)=-B。0,T,1,有货物存放，T,1,T货物短缺，分别产生存放费和缺货费。且,6,第24页,生产准备费用 C,1,存放费用,下面求0,T时间短所发生费用,S,t,0,A,T,1,T,-B,斜率R,S(t)=A-Rt,缺货费用,总费用为,7,第25页,0,T上天天平均费用为,8,求8驻点，由方程,求解得到驻点,9,第26页,10,将9、10带入6，得到,周期内最大存放量,周期内产量,11,12,令,，经过对比912和2、3，有,13,第27页,RT=Q,T*,斜率为R,0,t,S(t),不允许存放状态改变图,S,t,0,A,T,1,T,-B,斜率R,允许缺货存放状态改变图,13,第28页,模型1和模型2之间关系解释,1、当T=T,1,时，模型2就是模型1；,2、因为,这与C,2,0矛盾；,3、由允许缺货变成不允许缺货，,是由信誉机制或者处罚机制自然形成，若让缺货代价趋向无穷大，系统自然朝着不会缺货方向发展。即,第29页,只要缺货费C,3,越来越大（相对于存放费C,2,）,则有,第30页,五、用规划方法研究存贮系统方法,配件厂为装配线生产若干种部件，轮换生产不一样部件时，因更换设备需要付出生产准备费用(与产量无关)，同一部件产量大于需求时，因资金积压、占用仓库需要存放费用。今已知某一部件日需求量100件，生产准备费用为5000元，存放费用天天每件1元。假如生产能力远远大于需求，而且不允许出现缺货，试安排该产品生产计划，即多少天生产一次(称为生产周期)，每次产量多少，可使得总费用或平均费用(注意费用口径一致：时间一致，项目一致)最少。,姜起源.谢金星.数学模型.高等教育出版社.59页,例题1 不允许缺货，补充瞬间完成，需求连续均匀,第31页,模型假设,1、为了方便，考虑连续情况，即需求是连续，生产周期和产量也是连续；,2、产品需求速度是一个确定常数；,3、生产能力无穷大(相对需求)，即能够很短时间内实现任何产量，即永远不会缺货；,符号设置,R 需求速度；Q 周期内产量；T生产周期；,C,1,生产准备费用；C,2,单位产品天天存放费用；,S 货物存放量；,第32页,RT=Q,T,斜率为R,0,t,S(t),存放状态改变图,存放费,，所以周期T内总费用,周期T内天天平均费用为,1,第33页,（1）计算最正确订购量Q*和周期T*规划模型,第34页,（1）求解,求解程序：,min=c1/t+1/2*c2*r*t;,q=r*t;,gin(q);,c1=5000;c2=1;r=100;,计算结果：,Global optimal solution found at iteration:218,Objective value:1000.000,Variable Value Reduced Cost,C1 5000.000 0.000000,T 10.00000 0.000000,C2 1.000000 0.000000,R 100.0000 0.000000,Q 1000.000 0.2489742E-06,即最正确周期为T*=10(天），最正确经济订购批量Q*=1000（件）,第35页,sets:,qianhou/1.2/:c1,c2,r,t,c,q;,endsets,detc=c(2)-c(1);,for(qianhou:c=c1/t+1/2*c2*r*t);,for(qianhou:q=r*t);,free(detc);,data:,c1=5000,5000;,c2=1,1;,r=100,100;,t=10,9;,enddata,（2）灵敏度分析,(2.1)其它原因不改变，只要周期缩短一天，平均费用增量计算程序。,计算结果显示,Variable Value,DETC 5.555556,依据计算结果，只是周期缩减一天，平均费用增加5.56元。,第36页,sets:,qianhou/1.2/:c1,c2,r,t,c,q;,endsets,detc=c(2)-c(1);,for(qianhou:c=c1/t+1/2*c2*r*t);,for(qianhou:q=r*t);,free(detc);,data:,c1=5000,5000;,c2=1,1;,r=100,100;,t=10,11;,enddata,周期增加一天计算结果：,Variable Value,DETC 4.545455,依据计算结果，其它原因不改变，只是周期增加一天，平均费用增加4.55元。,第37页,（2.2）其它原因不改变，只是需求速度有所改变，引发平均费用改变计算,sets:,qianhou/1.2/:c1,c2,r,t,c,q;,endsets,detc=c(2)-c(1);,for(qianhou:c=c1/t+1/2*c2*r*t);,for(qianhou:q=r*t);,free(detc);,data:,c1=5000,5000;,c2=1,1;,r=100,101;,t=10,10;,enddata,需求速度增加一个单位引发平均费用改变量为：,Variable Value,DETC 5.000000,依据计算结果，平均费用增加5.0（元）。,第38页,sets:,qianhou/1.2/:c1,c2,r,t,c,q;,endsets,detc=c(2)-c(1);,for(qianhou:c=c1/t+1/2*c2*r*t);,for(qianhou:q=r*t);,free(detc);,data:,c1=5000,5000;,c2=1,1;,r=100,99;,t=10,10;,enddata,其它原因不改变，只是需求速度降低一个单位，依据计算：,Variable Value,DETC -5.000000,此时平均费用降低5元。,第39页,（2.3）其它原因不改变，只是单位存放费c2改变一个单位，引发平均费用改变。,sets:,qianhou/1.2/:c1,c2,r,t,c,q;,endsets,detc=c(2)-c(1);,for(qianhou:c=c1/t+1/2*c2*r*t);,for(qianhou:q=r*t);,free(detc);,data:,c1=5000,5000;,c2=1,1.01;,r=100,100;,t=10,10;,enddata,单位存贮费用增加1%，即由1变成1.01，平均费用改变计算结果以下：,Variable Value,DETC 5.000000,即平均费用增加5元。,第40页,sets:,qianhou/1.2/:c1,c2r,t,c,q;,endsets,detc=c(2)-c(1);,for(qianhou:c=c1/t+1/2*c2*r*t);,for(qianhou:q=r*t);,free(detc);,data:,c1=5000,5000;,c2=1,0.99;,r=100,100;,t=10,10;,enddata,单位存贮费用降低1%，即由1变成0.99，平均费用改变计算结果以下：,Variable Value,DETC -5.000000,即平均费用降低5元。,第41页,例题2 允许缺货，补充时间较短，需求连续均匀,企业生产某种产品，正常生产条件下天天能够生产10件。依据供货协议，需要按照天天7件供货。存放费天天每件0.13元，缺货费天天每件0.5元，每次生产准备费用（装配费）为80元，求最优存放策略。,模型假设：,（1）需求是连续均匀，即需求速度是常数；,（2）补充需要一定时间，一旦需要，即刻能够开工生产，但需要一定生产周期，而且设生产速度是均匀，即生产速度是常数，且生产速度大于需求速度；,符号设置,r，需求速度；p，生产速度；c1，单位存放费用；c2，单位缺货费用；c3，生产准备费用；S，仓库最大存贮量；s0，最大缺货量；T，周期；C，存放周期内总费用；Cbar，周期内平均费用；q，一次产量；不考虑货物本身价值（市场稳定情况）。,第42页,绘制存贮状态图,t,S,S0,0,T1T2,T3,T,区间说明：0,T1不缺货，存货均匀连续从S降低到0，只产生存贮费；,T1,T2开始缺货，需求连续，到达最大缺货量S0，只产生缺货费；,斜率为-r,斜率为p-r,第43页,T2,T3 边生产，边满足需求，这期间产生费用有生产费用，缺货费，没有存放费；,T3，T 边生产，边满足需求，边补充库存量，直到库存量到达最大值S为止，产生存贮费用；,0，T 为一个存贮周期；,T1，T3为缺货周期；,T2，T 为生产周期。,第44页,先计算各个阶段产生费用：,0,T1存放费,T1,T2缺货费,第45页,T2,T3 缺货费与生产准备费用,T3,T 存贮费用,第46页,0，T周期内总费用为,（用面积法就很好了解）,第47页,建立数学模型,s.t.,第48页,计算程序：,min=cbar;,cbar=c/t;,c=1/2*c1*s*t1+1/2*c1*s*(t-t3)+c3+1/2*s0*c2*(t3-t1);,s=r*t1;s=(p-r)*(t-t3);,s0=r*(t2-t1);s0=(p-r)*(t3-t2);,Q=r*t;,tt3;t3t2;t2t1;t11;,c1=0.13;c2=0.5;c3=80;p=10;r=7;,计算结果为,Variable Value Reduced Cost,CBAR 5.887841 0.000000,C 159.9999 0.000000,T 27.17464 0.000000,S 45.29106 0.000000,T1 6.470151 0.000000,T3 12.07762 0.000000,S0 11.77568 0.000000,T2 8.152391 0.000000,Q 190.2224 0.000000,最正确周期T*=27.17天；最正确产量Q*=190.22件；最大存放量S=45.29件；最大缺货量s0=11.77件；开始在生产周期T-T2=19.02天。,第49页,Global optimal solution found at iteration:10854,Objective value:5.887841Variable Value Reduced Cost,CBAR 5.887841 0.000000,C 159.9999 0.000000,T 27.17464 0.000000,C1 0.1300000 0.000000,S 45.29106 0.000000,T1 6.470151 0.000000,T3 12.07762 0.000000,C3 80.00000 0.000000,S0 11.77568 0.000000,C2 0.5000000 0.000000,R 7.000000 0.000000,P 10.00000 0.000000,T2 8.152391 0.000000Q 190.2224 0.000000,第50页,第51页,例题3 不允许缺货，补充时间较长,某商店经销某商品，月需求量为30件，需求速度为常数。该商品每件进价300元，月存贮费为进价2%。向工厂订购该商品时订购费每次20元，订购后5天才开始到货，到货速度为常数，天天2件，求最优订购策略。,绘制存贮状态图,t,s,0,5,t,t1,L,S,如有图所表示：,-r,P-r,-r,提前订货,货物补充,只是需求,第52页,模型假设：,（1）需求连续均匀，即需求速度为常数；,（2）补充需要一段时间，为了不缺货，必须提前5天预定，5天后货物即可补充，补充速度为常数,且补充速度大于需求速度；,（3）只考虑存贮费和订购费，不考虑货物价值。,第53页,符号设置：,T，存贮周期；t1，货物补充完成时刻；r，需求速度；p，补充速度；S，最大存贮量；L，货物补充点；Q，最大订购量；c1，单位存贮费用；c3,货物订购费用。C，周期内总费用；cbar,周期内平均费用。,第54页,建立模型,如上图所表示，0，t内产生总费用为,周期内平均费用为,第55页,数学规划模型,s.t.,第56页,min=cbar;,cbar=c/t;,c=c3+1/2*c1*t*S;,l=5*r;,s=(t1-5)*(p-r);,s=(t+5-t1)*r;,q=r*t;,c1=300*0.02/30;,c3=20;p=2;r=1;,tt1;t15;,计算程序,计算结果,Variable Value Reduced Cost,CBAR 2.000000 0.000000,C 39.99999 0.000000 T 20.00000 0.3025994E-07 C3 20.00000 0.000000 C1 0.000 0.000000 S 9.999998 0.000000 L 5.000000 0.000000 R 1.000000 0.000000 T1 15.00000 0.000000 P 2.000000 0.000000 Q 20.00000 0.000000,依据计算，最正确周期T*=20(day)，订购量Q*=20件，最大存放量S*=10件。,第57页,