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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。感谢您,数学危机,理学院 基础数学,第1页,普通来讲，危机是一个激化、非处理不可矛盾。从哲学上来看，矛盾是无处不在、不可防止，即便以确定无疑著称数学也不例外。矛盾消除，危机处理，往往给数学带来新内容，新进展，甚至引发革命性变革，这也反应出矛盾斗争是事物发展历史动力这一基本原理。整个数学发展史就是矛盾斗争历史，斗争结果就是数学领域发展。,第2页,历史上，数学发展有顺利也有波折。大挫折也能够叫做危机，危机也意味着挑战，危机处理就意味着进步。所以，危机往往是数学发展先导。数学发展史上有三次数学危机。每一次数学危机，都是数学基本部分受到质疑。实际上，也恰恰是这三次危机，引发了数学上三次思想解放，大大推进了数学科学发展。,第3页,目录,一 第一次数学危机,二 第二次数学危机,三 第三次数学危机,四 总结对比,第4页,一 第一次数学危机,1,1,?,第5页,背景,大约公元前,5,世纪，不可通约量（不能表示成整数或整数之比）发觉造成了毕达哥拉斯悖论。当初毕达哥拉斯学派重视自然及社会中不变原因研究，把几何、算术、天文、音乐称为,“,四艺,”,，在其中追求宇宙友好规律性。他们认为：宇宙间一切事物都可归结为整数或整数之比，毕达哥拉斯学派一项重大贡献是证实了勾股定理，但由此也发觉了一些直角三角形斜边不可通约情形，如直角边长均为,1,等腰直角三角形就是如此。这一悖论直接触犯了毕氏学派根本信条，造成了当初认识上,危机,，从而产生了第一次数学危机。,第6页,到了公元前,370,年，这个矛盾被毕氏学派欧多克斯经过给百分比下新定义方法处理了。欧多克斯和狄德金于,1872,年给出无理数解释与当代解释基本一致。今天中学几何书本中对相同三角形处理，依然反应出由不可通约量而带来一些困难和微妙之处。第一次数学危机对古希腊数学观点有极大冲击。这表明，几何学一些真理与算术无关，几何量不能完全由整数及其比来表示，反之却能够由几何量来表示出来，整数权威地位开始动摇，而几何学身份升高了。危机也表明，直觉和经验不一定靠得住，推理证实才是可靠，从此希腊人开始重视演译推理，并由此建立了几何公理体系，这不能不说是数学思想上一次巨大革命！,第7页,二 第二次数学危机,无穷小是零吗？,牛顿,莱布尼兹,第8页,背景,第二次数学危机发生在牛顿创建微积,分十七世纪。第一次数学危机是由毕达,哥拉斯学派内部提出，第二次数学危机,则是由牛顿学派外部、贝克莱大主教提,出，是对牛顿“无穷小量”说法质疑,引发。,第9页,十七世纪下半叶，在前人工作基础上，英国科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在自己国度里独自研究和完成了微积分创建工作，即使这只是十分初步工作。牛顿和莱布尼茨建立微积分出发点是直观无穷小量。但贝克莱讽刺讽刺说：无穷小作为一个量，既不是,0,，又不是非,0,，那它一定是“量鬼魂”了。这就是著名“贝克莱悖论”。,第10页,对牛顿微积分这一责难并不是由数学家提出，不过，牛顿及他以后一百年间数学家，都不能有力地还击贝克莱这种攻击。到,19,世纪，一批出色数学家辛勤、天才工作，终于逐步建立了严格极限理论，并把它作为微积分基础。应该指出，严格极限理论建立是逐步、漫长。从波尔查诺、阿贝尔、柯西、狄里赫利等人工作开始，到威尔斯特拉斯、戴德金和康托工作结束，中间经历了半个多世纪，基本上处理了矛盾，为数学分析奠定了严格基础。,第11页,假如说第一次数学危机实质是“不是,有理数，而是无理数”。那么第二次数学危机 实质是什么？由“无穷小”引发第二次数学危机，实质上是缺乏严密极限概念和极限理论作为微积分学基础。,第12页,三 第三次数学危机,到,19,世纪，数学从各方面走向成熟。非欧几何出现使几何理论愈加扩展和完善；实数理论（和极限理论）出现使微积分有了牢靠基础；群理论、算术公理出现使算术、代数逻辑基础更为明晰，等等。人们水到渠成地思索：整个数学基础在哪里？正在这时，,19,世纪末，集合论出现了。人们感觉到，集合论有可能成为整个数学基础。,第13页,正当很多人认为完全严格数学已经建立起来时候，罗素悖论出现了。集合论中竟然有逻辑上矛盾！罗素悖论引发危机，就称为第三次数学危机。,第14页,罗素悖论是：以,M,表示“是其本身组员全部集合集合”，而以,N,表示“不是它本身组员全部集合集合”，于是任一集合或者属于,M,，或者属于,N,，二者必居其一，且只居其一。然后问：集合,N,是否是它本身组员？生活中有个形象例子,:,剪发师宣告了这么一条标准：他给全部不给自己剪发人剪发，而且，只给村里这么人剪发。那么剪发师是否自己给自己剪发？,第15页,为了消除悖论，数学家们要将康托“朴素集合论”加以公理化；而且要求结构集合标准，比如，不允许出现“全部集合集合”、“一切属于本身集合”这么集合。这么，大致完成了由朴素集合论到公理集合论发展过程，悖论消除了。不过，新系统相容性还未证实。这就是说，第三次数学危机处理，并不是完全令人满意。,第16页,四 总结对比,时间,起因,代表人物,结果,第一次 危机,公元前4,无理数,毕达哥拉斯学派,古典逻辑与欧氏几何学,第二次 危机,十七世纪,无穷小,牛顿,贝克莱,严格实数理论,第三次 危机,十九世纪末,悖论,罗素,集合论完善,第17页,Thank You!,第18页,