数理方程第讲市公开课获奖课件省名师优质课赛课一等奖课件.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考!,数学物理方程,第2讲,1/110,第二章 分离变量法,2.1 有界弦自由振动,2/110,在高等数学中我们知道一个普通函数,f,(,x,)经常能够展开成级数.比如,幂级数形式就是:,f,(,x,)=,a,0,+,a,1,x,+,a,2,x,2,+,a,3,x,3,+,其中无穷多个函数,v,0,(,x,)=1,v,1,(,x,)=,x,v,2,(,x,)=,x,2,等等,组成了级数展开一个函数系.而三角级数形式就是,f,(,x,)=,a,0,+,a,1,sin,x,+,b,1,cos,x,+,a,2,sin2,x,+,b,2,cos2,x,+其中无穷多个函数1,sin,x,cos,x,sin2,x,cos2,x,也组成了级数展开一个函数系.,3/110,所以,普通而言,一个函数,f,(,x,)能够在一个函数系,v,0,(,x,),v,1,(,x,),v,2,(,x,),下展开成级数形式为,f,(,x,)=,a,0,v,0,(,x,)+,a,1,v,1,(,x,)+,a,2,v,2,(,x,)+,那么,一个二元函数,u,(,x,t,),将,t,固定住视为常数,看作,x,函数,则也能够在函数系,v,0,v,1,v,2,下展开成级数形式,u,(,x,t,)=,a,0,(,t,),v,0,(,x,)+,a,1,(,t,),v,1,(,x,)+,a,2,(,t,),v,2,(,x,)+其中每一项都是两个一元函数乘积,a,i,(,t,),v,i,(,x,),这么组成二元函数我们称之为可分离变量.而假如级数中每一项都是线性偏微分方程解,则此级数也就是线性偏微分方程解.,4/110,讨论两端固定弦自由振动定解问题:,设,u,(,x,t,)=,X,(,x,),T,(,t,),则,5/110,代入方程(2.1)得,X,(,x,),T,(,t,)=,a,2,X,(,x,),T,t,)或,此式左端仅是,x,函数,右端仅是,t,函数,普通情况不可能相等,除非它们均为常数,令此常数为,-,l,则有,这么能够得到两个常微分方程:,6/110,再利用边界条件(2.2),因为,u,(,x,t,)=,X,(,x,),T,(,t,),X,(0),T,(,t,)=0,X,(,l,),T,(,t,)=0.但,T,(,t,),0,假如,T,(,t,)=0,这种解称为平凡解,所以,X,(0)=,X,(,l,)=0(2.6)所以,要求方程(2.1)满足条件(2.2)变量分离形式解,就先要求解以下常微分方程边值问题,7/110,要确定,l,取何值时(2.5)才有满足条件(2.6)非零解,又要求出这个非零解,X,(,x,).这么问题称为常微分方程(2.5)在条件(2.6)下特征值问题,使问题(2.5),(2.6)有非零解,l,称为该问题特征值,对应非零解,X,(,x,)称为它特征函数.下面分,l,0三种情况来讨论,将得出结论,l,0和,l,=0不能成立.,8/110,9/110,而方程,X,(,x,)+,l,X,(,x,)=0特征方程为,r,2,+,l,=0当,l,0时,特征根为,方程通解为,10/110,1,设,l,0,并令,l,=,b,2,b,为非零常数.此时方程(2.5)通解为,X,(,x,)=,A,cos,b,x,+,B,sin,b,x,由条件(2.6)得,A,=0,B,sin,b,l,=0因为,B,不能为零,所以sin,b,l,=0,即,从而,13/110,(2.5),(2.6)一系列特征值及对应特征函数为:,将上式中特征值代入到(2.4)得,14/110,其通解为:,所以可分离变量方程特解为,其中 是任意常数.,15/110,为满足初始条件(2.3),求出原问题解,将(2.10)中全部函数,u,n,(,x,t,)叠加起来:,16/110,将初始条件(2.3)代入上式得:,17/110,复习高等数学中周期为2,l,傅立叶级数:假如周期为2,l,周期函数,f,(,x,)为奇函数,则有,其中系数,b,n,为:,18/110,19/110,20/110,解：令,ux,t,)=,X,(,x,),T,(,t,),是齐次方程和齐次边界条件非零解,则有,21/110,方程特解为,22/110,这时,l,=10,并给定,a,2,=10000.这个问题傅里叶级数形式解可由(2.11)给出.其系数按(2.12)式为,D,n,=0,23/110,所以,所求解为,24/110,解题中惯用到积分表内容:,25/110,分析一下级数形式解(2.11)物理意义.先固定,t,看看任意指定时刻波是什么形状;再固定,x,看该点振动规律.(2.11)中一项:,其中,26/110,27/110,28/110,29/110,某一时刻,n,=1,2,3驻波形状,x,O,u,l,x,Ou,l,x,O,u,l,n,=1,n,=2,n,=3,30/110,综合上述,可知,u,1,(,x,t,),u,2,(,x,t,),u,n,(,x,t,),是一系列驻波,它们频率,位相与振幅都随,n,不一样而不一样.所以一维波动方程用分离变量法解出结果,u,(,x,t,)是由一系列驻波叠加而成,而每一个驻波波形由特征函数确定,它频率由特征值确定.这完全符合实际情况.因为人们在考查弦振动时,就发觉许多驻波,它们叠加又能够组成各种各样波形,所以很自然地会想到用驻波叠加表示弦振动方程解.这就是分离变量法物理背景,所以分离变量法也称为,驻波法,.,31/110,2.2,有限长杆上热传导,32/110设有一均匀细杆,长为,l,两端点坐标为,x,=0与,x,=,l,杆侧面是绝热,且在端点,x,=0处温度是零摄氏度,而在另一端,x,=,l,处杆热量自由发散到周围温度地零度介质中去,已知初始温度分布为,j,(,x,).求杆上温度改变规律,也就是要考虑以下定解问题:,33/110,用分离变量法来解此问题,设,u,(,x,t,)=,X,(,x,),T,(,t,),代入方程(2.13)得,上式左端不含有,x,右端不含有,t,只有当两端均为常数时才可能相等.令此常数为,-,b,2,则有,34/110,从而得到两个线性常微分方程,解方程(2.16)得,X,(,x,)=,A,cos,b,x,+,B,sinb,x,由边界条件(2.14)可知,X,(0)=0,X,(,l,)+,hX,(,l,)=0.(2.17),从,X,(0)=0得,A,=0,从,X,(,l,)+,hX,(,l,)=0得,b,cos,b,l,+,h,sin,b,l,=0(2.17),a,35/110,36/110,y,g,y,=,ag,y,=tan,g,g,1,g,2,g,3,-g,1,-g,2,37/110,于是得到无穷多个特征值,及对应特征函数,再由(2.16)解得,得到一组满足边界条件特解为,其中,C,n,=,A,n,B,n,38/110,因为方程(2.13)与边界条件(2.14)都是齐次,所以,仍满足方程与边界条件.最终考虑,u,(,x,t,)能否满足初始条件(2.15),从(2.22)式得,现在希望它等于已知函数,j,(,x,),首先要问在0,l,上定义函数,j,(,x,)能否展开成上式形式,其次要问系数,C,n,怎样确定.前者答案是必定(不证).主要讨论后者.,39/110,不难证实,令,于是在,两端乘上sin,b,k,x,然后在0,l,上积分得,即,将(2.24)代入(2.32)式即得原定解问题解.,40/110,分离变量法主要步骤为:,一,首先将偏微分方程定解问题经过分离变量转化为常微分方程定解问题,这对线性齐次偏微分方程是能够做到.,二,求特征值问题，即确定特征值与特征函数。当边界条件是齐次时,求特征函数就是求一个常微分方程满足零边界条件非零解.,41/110,三,定出特征值、特征函数后,再解其它常微分方程,把得到解与特征函数乘起来成为,u,n,(,x,t,),这时,u,n,(,x,t,)中还包含着任意常数.,四,最终为了使解满足其余定解条件,需要把全部,u,n,(,x,t,)叠加起来成为级数形式,这时级数中一系列任意常数就由其余定解条件确定.在这最终一步工作中,需要把已知函数展开为特征函数项级数,这种展开合理性将在,2.6中叙述.,42/110,2.3 圆域内二维拉普拉斯方程定解问题,43/110,一个半径为,r,0,薄圆盘,上下两面绝热,圆周围缘温度分布为已知,求到达稳恒状态时圆盘内温度分布.这时温度分布应满足拉普拉斯方程,2,u,=0因为边界形状是个圆周,它在极坐标下方程为,r,=,r,0,所以在极坐标系下边界条件可表为,既然边界条件用极坐标形式表示出来很简单,所以就在极坐标系下求解这个定解问题.,44/110,因,r,q,取值范围分别是0,r,0,与0,2,p,而圆内包含中心温度有限,且(,r,q,)与(,r,q,+2,p,)实际上表示同一点,温度应该相同,即应该有|,u,(0,q,)|+,(2.27),u,(,r,q,)=,u,(,r,q,+2,p,)(2.28)现在来求满足方程(2.25)及条件(2.26),(2.27),(2.28)解.先令,u,(,r,q,)=R,(,r,),F,(,q,),45/110,代入方程(2.25)得,即,令比值为常数,l,即得两个常微分方程,F,+,lF,=0,r,2,R,+,r,R,-,l,R,=0.,再由条件(2.27)及(2.28)可得,|,R,(0)|+,F,(,q,+2,p,)=,F,(,q,).(2.29),46/110,所以得到两个常微分方程定解问题,先解哪一个要看哪一个能够定出特征值.因为条件(2.29)满足可加性(即全部满足(2.29)函数加起来依旧满足(2.29),所以只能先解问题(2.30).,47/110,采取与,2.1中一样方法能够得到当,l,0时,取,l,=,b,2,这时(2.30)解为,Fb,(,q,)=,a,b,cos,bq,+,b,b,sin,bq,且为使,F,(,q,)以2,p,为周期,b,必须是整数,n,n,=1,2,3,则可将上面得到解表示成,F,n,(,q,)=,a,n,cos,n,q,+,b,n,sin,n,q,.,48/110,高等数学复习:求解欧拉方程,x,2,y,+,xy,-,n,2,y,=0(,a,)作变换,x,=,e,t,或,t,=ln,x,则有,代入(,a,)得,通解为,y,=,Ce,nt,+,De,-,nt,=,Cx,n,+,Dx,-,n,(,n,0),和,y,=,Ct,+,B,=,C,ln,x,+,D,(,n,=0),49/110,对于非齐次欧拉方程,x,2,y,+,xy,-,n,2,y,=,ax,m,特解形式应该是,y,*=,Cx,m,将之代入上式可确定常数,C,.,50/110,至此,已经定出了特征值问题(2.30)特征值,b,2,n,=,n,2,特征函数,F,n,(,q,).接下去是解(2.31).其中方程是欧拉(Enler)方程,它通解为,R,0,=,c,0,+,d,0,ln,r,当,l,=0;,R,n,=,c,n,r,n,+,d,n,r,-,n,当,l,=,n,2,(,n,=1,2,3,)为了确保|,R,(0)|+,只有,d,n,=0(,n,=0,1,2,),即,R,n,=,c,n,r,n,(,n,=0,1,2,).所以利用叠加原理,方程(2.25)满足条件(2.27),(2.28)解能够表示为级数,51/110,52/110,将这些系数代入(2.32)式即得所求解.为了以后应用起来方便,还能够将解(2.32)写成另一个形式.为此,将(2.34)式系数代入(2.32)式经过简化后可得,53/110,利用下面已知恒等式,54/110,可将(2.35)中解,u,(,r,q,)表示为,公式(2.36)称为,圆域内泊松公式,.它作用在于把解写成了积分形式,这么便于作理论上研究.,55/110,例,解以下定解问题,A,为常数.,解,利用公式(2.34)并注意三角函数正交性,代入(2.32)即得所求解为,56/110,2.4 非齐次方程解法,57/110,研究一根弦在两端固定情况下,受强迫力作用所产生振动现象.即要考虑以下定解问题:,因为非齐次方程解经叠加后普通不再是原方程解，所以不能用分离变量法直接求解非齐次方程定解问题。不过依据齐次方程(2.11)解，且它边值条件和方程(2.37)一样，故先假设定解问题(2.37)(2.39)解,u,(,x,t,)能够展开成以下傅立叶级数形式,58/110,而且把定解数据,f,(,x,t,)，和 都按固有函数系 展开,59/110,其中,显然，,u,(,x,t,)满足边界条件(2.38)，所以只需,u,(,x,t,)再满足方程(2.37)和初值条件(2.39)就得到原问题解，把上面展开式分别代入方程(2.37)和初始条件(2.39)，可得,60/110,比较上面三个展开式系数可得,因为(2.41)对应齐次方程解为,61/110,由高等数学可知：假如,Cy,1,(,x,)是齐次线性方程解，那么能够利用变换,y,=,uy,1,(,x,)(这变换是把齐次方程解中任意常数,C,换成未知函数,u,(,x,)而得到)去解非齐次线性方程。这一方法也适合用于高阶线性方程。下面就二阶情形来做讨论。假如已知齐次方程,那么，我们能够用以下常数变易法去求非齐次方程,通解为,62/110,令,要确定未知函数,v,1,(,x,)及,v,2,(,x,)使(3)式所表示函数,y,满足非齐次方程(2)。为此，对(3)式求导，得,因为两个未知函数,v,1,、,v,2,只需满足一个关系式，所以可要求它们再满足一个关系式。从 上述表示式可看出，为了使 表示式中不含 和 ，可设,63/110,从而,再求导，得,把 、代入方程(2)，得,整理得,注意到,y,1,及,y,2,是齐次方程(1)解，故上式即为,64/110,联立方程(4)和(5)，在系数行列式,时，可解得,对上两式积分(假定,f,(,x,)连续)，得,于是得非齐次方程(2)通解为,65/110,则利用常微分方程中参数变易法，即设,为方程(2.41)解，则待定函数,a,n,(,t,),b,n,(,t,)由下面方程组确定,求得,66/110,把它们代入(2.43)，就得到方程(2.37)通解,再由初始条件(2.39)，可确定,故问题(2.41)，(2.42)解为,(2.44),把(2.44)代入(2.40)，可知(2.40)是非齐次问题(2.37)(2.39)解，完整形式为,67/110,(2.45),从解形式上看，可分为两部分：等号右端第一个级数项表示初始位移和初始速度对弦振动影响；第二个级数项表示外力,f,(,x,t,)对弦振动影响。若弦所受外力为零，则(2.45)式就是齐次问题(2.1)(2.3)解(2.11)。,68/110,上述这种解法是把方程非齐次项以及解按对应齐次方程一族固有函数展开，伴随方程与边界条件不一样，固有函数族也就不一样，但总是把非齐次方程解按对应固有函数展开，这种方法又称固有函数法。此方法对其它类型方程也是适用。,69/110,2.5 非齐次边界条件处理,70/110,前面所讨论定解问题解法,不论方程是齐次还是非齐次,边界条件都是齐次.假如碰到非齐次边界条件情况,应该怎样处理?总标准是设法将,边界条件化成齐次,.现在以以下定解问题为例,说明选取代换方法.以弦振动为例，设含有非齐次边界条件弦振动定解问题为,令,71/110,其中,v,(,x,t,)满足和,u,(,x,t,)相同边界条件(2.47),则当,x,=0或,x,=,l,时,这么关于,V,(,x,t,)定解问题边值条件就是齐次，对应辅助函数,v,(,x,t,)也轻易找到，对于第一边值问题，普通可设,v,(,x,t,)=,a,(,t,),x,+,b,(,t,)，代入(2.47)可得,72/110,即,把,v,(,x,t,)代入(2.49)，可得,再把上式代入(2.46)(2.48)，则定解问题转化为,73/110,重复2.4节做法，就可得到,V,(,x,t,)，进而求出,u,(,x,t,).对方程和边界条件都是非齐次，且,f,u,1,u,2,都与,t,无关,则可取适当,v,(,x,)(也与,t,无关),使,V,(,x,t,)方程与边界条件同时都化为齐次,这么做就能够省掉下面对,V,(,x,t,)要进行解非齐次方程繁重工作.这种,v,(,x,)终究怎么找,将在下面例题中说明.,74/110,例1,求以下定解问题:,形式解,其中,A,B,均为常数.,75/110,解,这个定解问题特点是:方程及边界条件都是非齐次.依据上述标准,首先应将边界条件化成齐次,因为方程(2.63)自由项及边界条件都与,t,无关,所以我们有可能经过一次代换将方程与边界条件都变成齐次,详细做法以下:令,V,(,x,t,)=,u,(,x,t,)-,W,(,x,),代入方程(2.63)得,76/110,为了使这个方程及边界条件同时化成齐次,选,W,(,x,)满足,(2.66)是一个二阶常系数线性非齐次方程边值问题,它解能够经过两次积分得,77/110再由(2.65)可知函数,V,(,x,t,)为以下定解问题:,解.采取分离变量法,可得(2.67)满足齐次边界条件(2.68)解为,78/110,利用(2.69)中第二个条件可得,D,n,=0.于是定解问题(2.67),(2.68),(2.69)解表示为,代入(2.69)中第一个条件得,即,79/110,由傅里叶级数系数公式得,80/110,所以,原定解问题解为,其中,C,n,由(2.71)确定.,81/110,对边界条件不全是第一类,本节方法依然适用,不一样只是辅助函数,v,(,x,t,)形式。,82/110,1,v,(,x,t,)=,u,2,(,t,),x,+,u,1,(,t,),2,vx,t,)=,u,1,(,t,)(,x,-,l,)+,u,2,(,t,),3,v,(,x,t,)=(1/2,l,)(,u,2,(,t,)-,u,1,(,t,),x,2,+,u,1,(,t,),x,注意以上,v,(,x,t,)选取不是唯一。,83/110,以上各节说明了怎样用分离变量法来解定解问题,其主要步骤小结以下:一,依据边界形状选取适当坐标系,选取标准是使在此坐标系中边界条件表示式最为简单.圆、圆环、扇形等域用极坐标系较方便.二,若边界条件是非齐次,则不论方程是否为齐次,必须先作函数代换使其化为含有齐次边界条件问题,然后再求解.三,非齐次方程,齐次边界条件定解问题(不论初始条件怎样)能够用特征函数法求解.,84/110,2.6 积分变换法,85/110,积分变换经过特定积分运算，把一个函数变成另一个函数变换。,积分变换法是经过积分变换，将数学模型转化，从而简化定解问题一个求解方法。如经过积分变换将偏微分方程化为常微分方程，于是求解问题得以简化。尤其对于无限或半无限区域上定解问题，采取积分变换有固定程序求解，更为方便。,86/110,这里函数,f,(,x,)经过上述积分运算变成另一函数,F,(,s,)就称为一个积分变换，其中,k,(,x,s,)称为积分变换核，当选取不一样积分变换核和积分域时，就得到不一样积分变换。,下面介绍积分变换(傅里叶变换和拉普拉斯变换)在求解偏微分方程定解问题中应用。,普通，含参变量,s,积分,87/110,一、傅里叶变换(Fourier),1.傅里叶变换定义,若函数,f,(,x,)在 上满足：,逐段光滑；绝对可积，即 收敛则称 为函数,f,(,x,)傅里叶变换，简称傅氏变换，记为 能够推出,称为傅氏逆变换，记为,88/110,2.傅里叶变换性质 线性性质 设 ，,a,b,为任意常数，则,一样逆变换也成立，即,微分性质,类似地，逆变换有,89/110,积分性质,卷积定理 卷积定义：若已知函数,f,1,(,x,),f,2,(,x,)，则积分,称为函数,f,1,(,x,)与,f,2,(,x,)卷积,记为,f,1,(,x,),*,f,2,(,x),即,90/110,显然,卷积定理：假定,则,或,91/110,二、拉普拉斯变换 傅氏变换要求进行变换函数一定要满足绝对可积，这么条件是比较强，许多简单函数如1，,x,n,e,x,和sin,x,等都不满足在,内绝对可积；另外，在工程应用中,许多以时间,t,为自变量函数仅在 上有定义。所以，傅氏变换应用范围受到很大限制。为了克服傅氏变换缺点，就需要适当地把傅氏变换加以改造，从而导出拉普拉斯变换，简称拉氏变换。,92/110,1.拉氏变换定义 设函数,f,(,t,)，当 时有定义，且积分,在,s,某一区域内收敛，其中 是复参量，则由此确定函数,称为,f,(,t,)拉普拉斯变换式。记作,93/110,并称函数,F,(,s,)为,f,(,t,)拉氏变换，称,f,(,t,)为,F,(,s,)拉氏逆变换，记作,显然,若,F,(,s,)是,f,(,t,)拉氏变换，则可推出,2.拉氏变换性质 线性性质 若,a,b,为常数，则,94/110,且逆变换也有,微分性质 设,f,(,t,)在 上连续，则,积分性质,95/110,推论:,卷积定义：若,f,1,(,t,)，,f,2,(,t,)满足拉氏变换存在条件，则积分,称为,f,1(,t,)，,f,2(,t,)卷积，记为,f,1(,t,)*,f,2(,t,)，即,实质上，拉氏变换卷积与傅氏变换卷积定义是一致，当 时，若,f,1,(,t,)，,f,2,(t,),96/110,满足条件,则从傅氏变换卷积可得到拉氏变换卷积，即,卷积定理：设,f,1,(,t,)，,f,2,(,t,)满足拉氏变换存在定理中条件，且,97/110,则,或,三、用傅氏变换法求解定解问题,例：求解一维齐次热传导方程定解问题,98/110,解：首先对于未知函数,u,(,x,t,)及初始条件中函数 关于,x,作傅氏变换，记,然后，对方程两边关于,x,作傅氏变换，并利用微分性质得,即,99/110,这是一个含参数 一阶常微分方程，对初始条件也作一样变换得,解常微分方程初值问题，其解,两端关于 作傅氏逆变换，左端为,而右端依据卷积定理知,100/110,因为 ，并查傅氏变换表得故定解问题解,101/110,四、用拉氏变换求解定解问题,解：这个问题显然不能用傅里叶变换来求解了，因为,x,t,变换范围都是 ，下面用拉氏变换来解，从,x,t,变换范围来看，对,x,t,都能取拉氏变换，但因为方程中含有 ，而在,x,=0处未给出 值，故不能,102/110,对,x,取拉氏变换，而对,t,来说，因为方程中只出现关于,t,一阶偏导数，只要知道当,t=,0时,u,值就够了，这个值已由给出，故我们采取关于,t,拉氏变换。用,U,(,x,p,),F,(,p,)分别表示函数,u,(,x,t,),f,(,t,)关于,t,拉氏变换，即,首先，对方程两端取拉氏变换，并利用条件，可得,103/110,再对条件取一样变换，可得,方程是关于,U,(,x,p,)线性二阶常系数常微分方程，它通解为,因为当 时，,u,(,x,t,)应该有界，所以,104/110,U,(,x,p,)也应该有界，故,C,2,=0。再由条件可得,C,1,=,F,(,p,)，从而可得,由拉氏变换表可查到,其中,余误差函数,L,L,105/110,再依据拉氏变换微分性质可得,所以,106/110,最终由拉氏变换卷积性质可得原问题解,107/110,选择变换标准:1.自变量改变范围，因为傅氏变换要求自变量在 内改变，拉氏变换要求自变量在 内改变，所以要依据自变量改变范围，作为选择变换条件之一。2.定解条件形式，因为拉氏变换微分性质：,能够看出，对函数关于某自变量取拉氏变换时，必须在定解条件中给出当自变量等于0时函数值及相关导数值。,108/110,用积分变换法求解定解问题过程:一,依据自变量改变范围以及定界条件详细情况,选取适当积分变换,然后对方程两端取变换,把一个含两个自变量偏微分方程化为含一个参量常微分方程.二,对定解条件取对应变换,导出新方程定解条件.三,解所得常微分方程,求得原定解问题解变换式(即象函数).四,对所得变换式取逆变换,得到原定解问题解.,109/110,作业习题二41页开始第1(1),2(2),3(1),6(1),7,10题,110/110,