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数理方程,南京邮电大学、数理学院,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。感谢您,第1页,数 学 物 理 方 程,主讲：王 正 斌,:,wangzb,BBS:科技教育/物理研究,答疑：周二中午11：301：30，教2426,南京邮电大学、数理学院、应用物理系,Equations of Mathematical Physics,第2页,第二章 行 波 法,行波法主要用来求解,无界区域内波动方程,定解问题,1、弦横振动、均匀杆纵振动和理想传输线含有相同泛定方程:,其通解为：,（1）物理意义：,对无限长弦自由振动、无限长杆自由纵振动、无限长理想传输线上电,流和电压改变而言，任意扰动总是以行波形式分为两个方向传输出去，波,速为,，也即:,以速度 沿 负方向移动行波,以速度 沿 正方向移动行波,第3页,(2)函数,确实定,若研究弦、杆、传输线为无限长（相对波长而言），那么就不存在边界条件，只有初始条件。设初始条件为：,把初始条件代入泛定方程通解，得到:,第4页,达朗贝尔公式,只要知道初始条件：,就可得到波动方程解,第5页,解：依据图形，初始位移为,依据初始条件，利用达朗贝尔公式直接求出,该初始位移分为两半，分别向左右两方以速度,移动，而这两个行波和就给出如图所表示各个,时刻波形。,例1、初速为零,，而初始位移,只在区间,上不为零，于,处到达最大值，如图所表示，求出该问题解。,第6页,2、三维波动方程初值问题（平均值法）,达朗贝尔公式:,三维波动问题能够看为无穷个方向一维波动问题叠加,第7页,一维,三维,区间:,球面：,区间中心：,球心：,区间半径：,球半径：,区间长度：（积分区间）,球表面积：（积分区间）,函数 在区间上均值：,函数 在球面上均值：,第8页,泊松公式,达朗贝尔公式,第9页,例、求以下初值问题解,物理意义：,（1）空间任一点M在任意时刻t0状态完全由以该点为心，at为,半径球面上,初始状态决定；（2）三维空间局部有界域内初始扰动造成,空间各点在有限时段受扰，无连续后效；（3）三维空间局部初始扰动传输,有清楚波前与波后。,第10页,3、二维波动方程初值问题（降维法）,泊松公式,第11页,例、求以下初值问题解,第12页,4、冲量法解非齐次波动方程,前提：,初始条件均取零值,叠加原理,：若泛定方程和定解条件都是线性，则定解问题解可看作几部分线性叠加，也即分别满足泛定方程和定解条件几部分，叠加之后为该泛定方程和定解条件解。,第13页,所以非齐次波动方程解为：,物理思想：,把连续作用力看成许多前后相继“瞬时”力，把连续作,用力引发振动看为全部“瞬时”力引发振动叠加。,第14页,Thanks for your attention!,第15页,1、弦振动方程与定解条件（波动方程）,问题1：均匀弦微小横振动,受迫振动方程,自由振动方程第16页,Examples:,1、解边值问题：,2、求解以下问题：,第17页,3、求解定解问题,4、求解定解问题,第18页,5、求解定解问题,6、求以下方程特征线，并化为标准形式,第19页,Fourier 级数,（一）周期函数Fourier展开,用三角函数族（常见）将其展开为Fourier级数:,依据基本三角函数之间,正交性,求得展开系数：,第20页,（二）Dirichlet定理:,若函数 满足条件：,（1）处处连续，或在每个周期中只有有限个第一类间断点；,（2）在每个周期 中只有有限个极值点;,则,Fourier级数收敛,;且在连续点 处为级数值为 ，在,间断点处级数值等于,第21页,（三奇函数及偶函数傅里叶展开,若周期函数,是奇函数,则,若周期函数,是偶函数,则,可将函数先延拓为周期函数，再在原函数区间上取其级数。,（四）定义在有限区间上函数Fourier展开,非周期函数能够将其周期看为无穷。,第22页,（五）复数形式Fourier级数,函数系,在 上完备且正交。,正交性：,周期函数,展开为：,利用复指数函数正交性，可求出其Fourier系数：,第23页,本章惯用常微分方程公式：,1、一阶常微分方程：,通解为：,2、二阶常系数齐次常微分方程：,特征方程为：,，两个特征根为,解得：,第24页,3、二阶常系数非齐次常微分方程：,步骤：,（1）先解出齐次常微分方程通解,（2）依据f(x)情况设出特解（两种情况）,(a),(b),第25页,(a),(b),第26页,4、非齐次欧拉方程：,作变换,代入欧拉方程得一个以t为自变量常系数线性微分方程。,第27页,二阶线性偏微分方程定解问题五类基本求解方法：,分离变量法求得无穷级数形式解析解,格林函数法求得积分形式解析解,保角变换法求得场函数图形解,数值解方法,泛函方法求得近似函数解,第28页,第三章、分离变量(傅立叶级数)法,适用范围,：分离变量法是定解问题一个基本解法，适合用于各种各样定解问题。,基本思想,：,把偏微分方程分解成几个常微分方程，其中常微分方程带有附加,条件而组成本征值问题。,齐次泛定方程,非齐次泛定方程,齐次边界条件,非齐次边界条件,（1）,（2）,（3）,（4）,齐次化,物理问题所对应数学模型分类：,第29页,常微分方程及其边界条件称为,本征值问题,3.1、,齐次方程,与,齐次边界条件,分离变量法,例1、研究两端固定均匀弦自由振动定解问题,取值称为,本征值,第30页,称为,本征函数,该式为两端固定弦上可能驻波，每个n对应一个驻波,第31页,第32页,说明：,.在运动开始时，初始位移平均分为两半向正，负方向传输，在抵达边界之前，,相当于波在无限长弦上传输，这一点符合达朗贝尔行波公式描述,.抵达边界后，发生反射，产生半波损失而达朗贝尔公式描述是无界弦,振动，所以没有波在边界反射现象,.从边界反射回来两个波，相向运动相遇以后，产生叠加，然后继续传输,.级数解要取项以后才能有较高精度,.不一样频率驻波叠加成行波,第33页,例2、两端自由均匀杆,其作纵振动,研究两端自由棒自由纵振动,即定解问题:,本征函数为:,本征值为:,第一项描述是杆整体移动，而第二项是描述杆纵振动。,第34页,例3、求解定解问题,本征值为:,本征函数为:,第35页,解：杆上温度,满足以下泛定方程和定解条件,泛定方程：,边界条件：,初始条件：,本征值为:,本征函数为:,例4、研究细杆导热问题。初始时刻杆左端温度为,，,右端温度为零度，,杆上温度梯度,均匀，零度一端保持温度不变，另一端跟外界绝热。试求,细杆上温度改变。,第36页,例5、求解定解问题,本征值:,本征函数:,常微分方程及其边界条件称为,本征值问题,第37页,本征值问题,本征值和本征函数,例6、求解定解问题,解得：,第38页,结论：,从解题过程也可看出，本征值问题只与泛定方程中未知,场函数u对空间变量导数及齐次边界条件类型相关，而与场,函数对时间变量导数无关，故当泛定方程换为热传导方程，边,界条件不变时，本征值问题，本征函数系均不会变。,第39页,3.2、,稳定场方程边值问题,例1、一个矩形薄板，板上下两面绝热，板两边 一直保持,零度，另外两边 温度分别为 ，求板内稳恒状态,下温度分布。,研究区域中静电场或者恒流磁场数学模型，也可近似地描述准静态场瞬时场型。,第40页,例2、考查一圆形薄板稳恒状态下温度分布问题，设板上下两面绝热，圆周,边界上温度已知为 ，试求稳恒状态下温度分布规律。,解：定解问题为：,设此解为：,第41页,自然边界条件,自然边界条件,第42页,附：,非齐次欧拉方程：,作变换,代入欧拉方程得一个以t为自变量常系数线性微分方程。,第43页,Thanks for your attention!,第44页,