1、单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,本幻灯片资料仅供参考，不能作为科学依据，如有不当之处，请参考专业资料。,极坐标系下,二重积分,计算,二、二重积分极坐标转化及计算,一、极坐标与直角坐标系关系,第1页,什么是极坐标?,在平面内取一个定点O，,引一条射线,OX,，,这么就建立了一个,极坐标系,。,叫做,极点,。,叫做,极轴,对于平面内任一点,M,记|,OM,|=,r,X,O,r,M,（,r,，,）,就叫做点,M,极坐标。,XOM,=,平面上任一点,（,r,，,）,第2页,一、极坐标与直角坐标系关系,两坐标系中变量间关系：,第3页,设积分区域,D
2、为平面有界区域,而且从原点发出射线与,D,边界限交点不多于两个,则区域,D,被分割情形见下列图.,二重积分中被积函数,求极坐标下积分元素,表示方法。,二、二重积分极坐标转化及计算,1、,二重积分极坐标转化,第4页,图中分割其中一小块面积为,略去高阶无穷小,则有,r,r,故 d=,r,d,r,d,.,于是,二重积分,第5页,二、极坐标系下二重积分化为累次积分三种情形,1、区域特征如图,D,：,第6页,2、区域特征如图,D,：,第7页,极坐标系下区域,面积,3、区域特征如图,第8页,例1,将,化为在极坐标系下二次积分。,1）,4）,2）,3）,第9页,1）,解：,在极坐标系中，闭区域,D,可表示
3、为,第10页,2）,在极坐标系中，闭区域,D,可表示为,第11页,3）,在极坐标系中，闭区域,D,可表示为,第12页,4）,在极坐标系中，闭区域,D,可表示为,第13页,例2 求,D,:,x,2,+,y,2,R,2,(,R,0).,解 在极坐标下,D,:0,r,R,0,2.,利用极坐标计算二重积分,第14页,例3 求,D,:,x,2,+,y,2,2,ax,(,a,0).,解 积分区域,D,如图,在极坐标下,D,:0,r,2,a,cos,第15页,例4 求 (,a,0).,解 积分区域,D,见图,采取极坐标计算,原式=,y,=,x,x,2,+,y,2,=2,ay,第16页,例5 求 值,.,解 考虑,区域,D,:0,x,+,0,y,+,记,故,第17页,小结,掌握极坐标系下,二重积分计算方法,化二重积分为极坐标下二次积分,并注意运算技巧.,第18页,
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