2025届江苏省扬州高三上学期开学考&期初调研-数学试题（含答案）.docx

参考答案
1
.C
2. D
3. C
11.BCD
14.
4.B
5.B
6.D
7.A
8.A
9
. AD
10.BCD
1
1
2.0.3
13.b < c < a
eln2
A = {x 2 £ 2x £ 8}= [1，3]，B = {x log2x <1}= (0,2).......................... 4 分
15.（1）Q
\
AI B = [1，2) \C A = (- ¥,1)U(3,+¥) \ (C A) U B = (- ¥,2)U(3,+¥)
R
R
.............7 分
（
2）因为集合 C = {x 2 < x < a}，C Í A ，
当 a £ 2 时， C = Æ ，满足条件；当 a > 2 时， C ¹ Æ ，则 a £ 3，即 2 < a £ 3 ，
综上所述， aÎ(-¥,3]．........................................................ 13 分
6.（1）Q f (x) < 0 的解集为 (1,2),
\
1,2是方程 f (x) 0 的根且 k
=
>
0
1
ì
2k +1
1
+ 2 =
ï
k
\
\ = \
k 1 f (x) x2 3x 2................................. 5 分
=
-
+
í
2
ï
´ =
1
2
î
k
（
2）当 k = 0 时，
当 k ¹ 0 时，
当 k < 0 时，
f (x) = -x + 2 ，Q f (x) < 0\-x + 2 < 0
，\x > 2................ 6 分
1
f (x) = (x - 2)(kx -1)
(x - 2)(kx -1) < 0
k(x - 2)(x - ) < 0
，即
，即
k
1
1
(x - 2)(x - ) > 0 \x > 2或x <
，
.............................. 8 分
k
k
1
当 k > 0 时，
(x - 2)(x - ) < 0
k
1
k
（
（
（
ⅰ）当 = 时，无解........................................................10 分
2
1
1
ⅱ）当 > 时，
k
< x < 2
.................................................. 12 分
.......................... 14 分
2
k
1
1
ⅲ）当 < 时，
k
2 < x <
2
k
ì
1ü
综上所述：当 k < 0 时，不等式的解集为 í
x x > 2或x
< ý
î
k þ
当 k = 0 时，不等式的解集为{x x > 2}
1
2
ì
î
1ü
k þ
0
< k <
íx 2 < x < ý
当
时，不等式的解集为
1
当 =
k
时，不等式的解集为Æ
2
1
ì 1
î k
ü
þ
当 k > 时，不等式的解集为 íx < x < 2ý............. 15 分
2
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{
#{QQABZYCEogAgAJJAARhCQwl4CEIQkAEAAagGxEAEsAAAwBFABAA=}#}

1
7.（1）提出假设 H0 ：周平均锻炼时长与年龄无关联，
5
00´(80´240 -120´60)
2
500
21
由 2´ 2 列联表中的数据，可得 c
2
=
=
» 23.81> 10.828= x0.001
，
2
00 300 140 360
´
´
´
根据小概率值a = 0.001的独立性检验，我们推断 H0 不成立，
即认为周平均锻炼时长与年龄有关联；.......................................... 7 分
6
0
（2）抽取的10 人中，周平均锻炼时长少于 ꢀ 小时的有10´
= 2 （人），
3
00
2
40
00
不少于 ꢀ 小时的有10´
= 8 （人），.......................................... 9 分
3
则 X 所有可能的取值为1,2,3，
C2
2
C
1
8
1
C21C8
2
7
C8
3
7
所以 P(X =1) =
=
， P(X = 2) =
=
， PX = 3) =
=
，
C1
3
0
15
C
3
15
C
3
10
15
10
所以随机变量 X 的分布列为：
X
P
1
1
2
3
7
7
1
5
15
15
1
7
7
12
5
所以数学期望 E(X ) =1´ + 2´ + 3´
15
=
．................................. 15 分
1
5
15
1
8.（1）因为 PA ^ 平面 ABCD，而 AD Ì平面 ABCD，所以 PA ^ AD ，
又 AD ^ PB ， PB I PA = P ， PB,PA Ì 平面 PAB ，所以 AD ^ 平面 PAB ，
而 ABÌ 平面 PAB ，所以 AD ^ AB .
因为 BC
又 AD Ë平面 PBC ， BC Ì 平面 PBC ，所以 AD / / 平面 PBC ．........................7 分
2）法一：以 DA ， DC 为 x ， y 轴，过点 D 作平面 ABCD 垂直的线为 z 轴，建立如图所示空间
2
+ AB2 = AC
2
，所以 BC ^ AB， 根据平面知识可知 AD / /BC ，
（
直角坐标系 D - xyz :
令 AD = t ，则 A(t ，0， 0) ， P(t ，0 2) ， D(0 ，0， 0) ，
DC = 4 -t2 ， C(0 ， 4 -t2 ， 0) ，.............................................9 分
u
ur uuur
ì
ï
n AC
×
= -tx1
+
4 - t
2
y1
=
0
设平面 ACP 的法向量 n = (x ， y ， z ) ，所以 í
，
1
1
1
1
1
ï
î
2z1
=
0
设 x1 = 4 - t
2
，则 y = t ， z = 0，所以 n = ( 4 - t ，t ，0) ，...........11 分
2
1
1
1
ì
n × DP = tx + 2z = 0
ï
设平面CPD 的法向量为 n = (x ， y ， z )，所以
2
2
2
，
í
uur
uuur
2
2
2
2
ï
×
=
4 - t
2
y2
=
0
2
设 z = t ，则 x = -2 ， y = 0 ，所以 n = (-2 ，0， t) ，..............................13 分
2
2
2
2
6
3
因为二面角 A - CP - D 的正弦值为
，则余弦值为
，
3
3
第 2 页 共 4 页
{
#{QQABZYCEogAgAJJAARhCQwl4CEIQkAEAAagGxEAEsAAAwBFABAA=}#}

uur uur
n × n
uu
2 4 - t
2
3
=| cos < n ， n >|=| uur
1
2
r =
| n || n |
又二面角为锐角，所以
，
1
2
3
2
+
2
t
4
1
2
解得 t = 2 ，所以 AD = 2 ......................................................17 分
法二：如图所示，过点 D 作 DE ^ AC 于 E ，再过点 E 作 EF ^ CP 于 F ，连接 DF ，
因为 PA ^ 平面 ABCD，所以平面 PAC ^平面 ABCD，而平面 PAC I 平面 ABCD = AC ，
所以 DE ^ 平面 PAC ，又 EF ^ CP ，所以CP ^ 平面 DEF ，
根据二面角的定义可知，ÐDFE 即为二面角 A-CP - D 的平面角，.................. 12 分
6
即sinÐDFE =
，即 tanÐDFE = 2 ．
3
x 4- x2
因为 AD ^ DC ，设 AD = x ，则CD = 4- x
，由等面积法可得， DE =
，
2
2
(
- )
-
2
x
2
4 x2
-
4 x
4
x
2
又CE = ( -
4 x
)-
，而VEFC 为等腰直角三角形，所以 EF
=
，
2
=
2
2
4
2
x 4- x2
2
- x2
故 tan DFE
Ð
=
=
2，解得 x
=
2 ，即 AD
=
2 ．........................ 17 分
4
2
2
注：其他做法相应给分.
1
9.（1） f (x)= cos x
，
f ¢(x) = -sinx £1在 R 上恒成立，
故 f (x)= cos x
是R 上的“一阶有界函数”；
g(x)= 2x
¢( ) =
g x
2
ln 2，当
¢( ) >
时， g x
2
1
ln 2 > 2ln e =1，
x
x >1
，
故 g(x)= 2x
不是 R 上的“一阶有界函数”. ...................................... 4 分
第 3 页 共 4 页
{
#{QQABZYCEogAgAJJAARhCQwl4CEIQkAEAAagGxEAEsAAAwBFABAA=}#}

（2）正确. 若函数 ( )为 R 上的“一阶有界函数”，则
f x
f ¢(x) £1，
又 ( )在R 上单调递减，即
f x
f ¢(x)£ 0
-1£ f ¢(x)£ 0
，所以 ，
F x = f x + x F¢(x)= f ¢(x)+1³ 0，所以 F(x)
令 ( )
( )
，
在 R 上单调递增，
x > x
1 2
设 A(x , y ) ， B(x , y ) ，其中
1
1
2
2
(
)- ( )
( ) + - ( ) +
( ) - ( )
x） F x F x2
f x
f x
f x
x （ f x
k +1=
1
2
+1=
1
1
2
2 =
1
> 0
，
k > -1；
故
x1 - x2
x1 - x2
x1 - x2
(
)- ( )
f x2
f x
又 ( )在R 上单调递减，所以
f x
f (x )< f (x )
，k =
1
<0，故 -1< k < 0
；... 10 分
1
2
x1 - x2
3）函数 h(x)= ex + ax3 -ex2 - a -1 x h¢(x)= ex +3ax2 -2ex -a +1
(
) ，
（
h¢(x) £1，-1£ h¢(x)£1对"xÎ[0,1]
恒成立
h(x)
为区间[0,1] 上的“一阶有界函数”，则
若
e - 2
e
则 h¢(0) £1，
-a £1，1£ a £ 3； h¢(1) £1， 2a -e+1 £1，
£ a £
，
2
2
2
e
则1≤ a ≤ ．................................................................. 12 分
2
e
T x = h¢ x = ex +3ax2 -2ex -a +1，T¢(x)= ex +6ax -2e
令 ( )
( )
，其中1≤ a ≤
，
2
因为 y = ex ， y = 6ax 在区间[0,1]
上单调递增，所以T¢(x)= ex +6ax -2e在区间[0,1]
上单调递增，
¢( )= -
T 0 1 2e 0
<
，T¢(1)= 6a -e > 0，所以存在 x0 Î(0,1)，使T¢(x0 )= 0，即ex0 + 6ax0 - 2e = 0
Q
，
当0 < x < x0 时，T¢(x)< 0
，T(x) 单调递减；当
x < x <1，T¢(x)> 0，T(x)
单调递增.
0
所以，h¢(x)在区间(0, x0 )单调递减，在区间(x0,1)单调递增，
所以 h¢(x)
= h¢ x = ex +3ax 2-2ex0 -a +1= 3ax0 2- 6a + 2e x 2e-a +1
( )
(
)
0
，.......... 14 分
0
0
0
min
h¢ x ³ -1
所以 ( )
x Î(0,1)
时有解，
0
在区间
0
6
a + 2e
e
( )
x Î(0,1)
0
因为对称轴为 x =
=1+
>1，
h¢ x
在区间
上单调递减，
0
6
a
3a
所以 h¢(0)= 2e-a +1> -1,\a < 2e+ 2
，........................................... 16 分
é
e ù
综上：aÎ ê1, ú ．............................................................. 17 分
2û
ë
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{
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