1、单击此处编辑母版标题样式,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,第十五章 导 数 的 应 用,(一),本 章 内 容 小 结,(二),常见问题分类及解法,(三),思 考 题,(四),课 堂 练 习,(一),本章内容小结,一、内容提要,1、拉格朗日中值定理及特例，定理的几何解释。,2、一阶导数的符号和曲线单调性的关系。,3、极值存在的必要条件及利用一阶导数或二阶导数判断极值。,4、求函数在闭区间上最大值和最小值，求最值应用题。,5、利用二阶导数研究曲线凸凹性和拐点，拐点存在必要条件,及判定。,6、利用导数作图。,7、利用洛必达法则，求未定式极限。,*8、曲率公式，弧长的微
2、分公式。,二、重点和难点,中值定理的应用：曲线的单调性与极值，曲线的凸凹性与,拐点及未定式极限为重点，函数的作图是本章难点。,三、基本要求,1,、拉格朗日定理是利用导数来研究函数的性质的理论基础，,必须熟记定理的条件和结论及几何意义。,2,、熟练应用一阶导数，判断曲线的增减性，牢固掌握极值,存在的必要条件，运用一阶导数和二阶导数来判定极值。清,楚极值与最值的联系与区别。,3,、清楚二阶导数的几何意义，利用二阶导数判定曲线凸凹,性及求拐点。,5,、能正确掌握利用一阶导数和二阶导数研究曲线的性态并能,正确做出常见的初等函数图像。,四、对学习的建议,拉格朗日中值定理是利用导数研究函数的性质的基础理,
3、论，因而十分重要，必须弄清它的条件与结论以及几何意义。,定理的证明只要求理解。,洛必达法则是求极限的一个有力工具，在应用中须注意,以下几点。,2,、使用法则前，函数中若有因式可用无穷小代换，则代,换，以便简化计算。,3,、使用法则后，若有因式其极限可以确定，则应及时剥离,求出极限，以利继续使用法则。,4,、使用洛必达法则中，在适当的环节上可结合其他求极限,的方法，以便极限较快求出。另外，法则有时会失效，但不,能因此确定函数无极限，可另换他法。,结合实际求最值问题，关键在目标函数的建立，这需要,一定的其他领域的知识。目标函数建立的恰当与否，取决于,自变量的选取。这一切都需要多做多看一些不同类型的
4、题目，,以便培养这方面的能力。,导数在经济问题中的应用，关键在熟悉和掌握各种概念的,含义以及它的数学表达式。,五、本章关键词,中值定理,极值,最大值与最小值,洛必达法则,作函数的图形是本章内容的大综合，也是本章一个难点。,正因为如此，认真的按照规范的步骤做几道作图题，对融会贯,通本章知识，了解函数性态，提高作图能力等都是有益的。,(二),常见问题分类及解法,一、利用洛必达法则求未定式,例1,求下列极限：,解,二、利用导数判断函数的单调性并求其极值,函数在某区间内的单调性可以用此函数的一阶导数的正负,来判定，进而可以求出函数在其定义域内的极大值和极小值。,需注意的是：,有些导数不存在的点也可能是
5、极值点；,在单调区间内的某些离散点处导数也可能为零。,例2,求函数的单调区间并求其极值：,解,见表,15-1,.,表,15-1,极值表,见表,15-2,.,不存在,极小值0,极小值0,表,15-2,极值表,三、求函数的最大值和最小值,对于由解析式表示的连续函数在闭区间上的最大值和最小值,问题，可利用比较函数在驻点和不可导点及区间端点处的函数值,的大小来求。而对于由实际问题得到的函数的最值问题，只要函,数在某区间内只有一个驻点，则可以肯定函数在此驻点处取得最,值。,解,例4,欲用围墙围成面积为 216 m,2,的一块矩形土地，并在,正中用一堵墙将其隔成两块，问这块土地的长和宽选取多大,的尺寸，才
6、能使所用建筑材料最省？,解,图 15-1 例4 示意,四、判断曲线的凸凹并求曲线的拐点,根据函数二阶导数在某区间内的正负，可以判断函数曲,线的凸凹，进而可以求出函数曲线在整个定义域内的拐点。,解,凹,拐点(0,1),凸,拐点(1,0),凹,表,15-3,曲线凸凹表,五、利用函数的单调性证明不等式,对于某些不等式，可以先将其转化为一个函数，再利用函,数的单调性证明不等式。,证,(三)思考题,答 案,答 案,答 案,答 案,1、一阶导数的符号与曲线单调性的关系是什么？,2、利用一、二阶导数能研究曲线的什么特性？,(四)课堂练习题,答 案,答 案,答 案,答 案,返 回,1、一阶导数的符号为正号，曲线单调增加；一阶导数的符号,为负号，曲线单调减少.,返 回,2、利用一阶导数可研究曲线的单调性进而来判定极值.,利用二阶导数可研究曲线的凸凹性和拐点.,返 回,返 回,返 回,返 回,返 回,返 回,
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