1、信息学院,罗捍东,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。感谢,第五节,曲线凸性、拐点与渐近线,问题:怎样研究曲线弯曲方向?,图形上任意弧段位,于所张弦上方,图形上任意弧段位,于所张弦下方,4.5.1 曲线凸性与拐点,1/28,1,定义：,设函数y=,f,(,x,)在(,a,，b)内可导，假如曲线y=,f,(,x,)上任意一点切线都在曲线上方，则称该曲线为,上凸（凸弧）,，称区间(,a,，b)为该曲线,上凸区间,；假如曲线y=,f,(,x,)上任意一点切线都在曲线下方，则称该曲线为,下凸（凹弧）,，称区间(,a,，b)为该曲线,下凸区间,或,凹区间,。,
2、规范定义：,假如函数y=,f,(,x,)在(,a,，b)内任意两点,x,1,，,x,2,都满足：,则称该曲线为,上凸。,假如函数y=,f,(,x,)在(,a,，b)内任意两点,x,1,，,x,2,都满足：,则称该曲线为,下凸。,2/28,2,定理1：,设函数y=,f,(,x,)在(,a,，b)内二阶可导,则有,(1)若在(,a,，b)内有,，曲线y=,f,(,x,)在(,a,，b)内,下凸,。,(2)若在(,a,，b)内有,，曲线y=,f,(,x,)在(,a,，b)内,上凸,。,3/28,3,例1：,解：,注意到,4/28,4,定义：,注意,:,拐点处切线必在拐点处穿过曲线.,证：,由可导函数
3、取极值条件.,5/28,5,拐点求法,6/28,6,例2：,解：,凹,凸,凹,拐点,拐点,7/28,7,注意:,曲线上凸区间为 ，下,凸区间为,和 ，拐点为（0，1）和 。,8/28,8,例3：,解：,9/28,9,考研题观赏,（年3，4）设 ，则,(A),x,=0,是,f,(,x,),极值点,，,但(0,0)不是曲线y=,f,(,x,)拐点。,(B),x,=0,不是,f,(,x,),极值点,，,但(0,0)是曲线y=,f,(,x,)拐点。,(C),x,=0,是,f,(,x,),极值点,，,且(0,0)是曲线y=,f,(,x,)拐点。,(D),x,=0,不是,f,(,x,),极值点,，,(0,
4、0)也不是曲线y=,f,(,x,)拐点。,答案：(C),10/28,10,4.4.2,曲线渐近线,定义:,1.垂直渐近线,11/28,11,例1:,两条有垂直渐近线:,解：,12/28,12,2.水平渐近线,例2:,有两条水平渐近线:,解：,13/28,13,3.斜渐近线,斜渐近线求法:,14/28,14,注意:,15/28,15,例3：,解：,16/28,16,17/28,17,考研题观赏,（年3，4）曲线,（A）,仅有水平渐近线。,（B）,仅有铅直渐近线。,（C）,现有,铅直又有,水平渐近线。,（D）,现有,铅直又有,斜渐近线。,答案：(D),18/28,18,考研题观赏,（年3,4）曲线
5、单调区间、极值、渐近线。,19/28,19,4.4.3,函数作图,利用函数特征描绘函数图形.,第一步,第二步,20/28,20,第三步,第四步,确定函数图形水平、铅直渐近线、斜渐近线以及其它改变趋势;,第五步,21/28,21,例1：,解：,定义域为,x,0。非奇非偶函数,且无对称性.,22/28,22,列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点和拐点:,不存在,拐点,极值点,间断点,23/28,23,作图,24/28,24,25/28,25,例2：,解：,偶函数,图形关于,y,轴对称.,定义域为R。,26/28,26,列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点与拐点:,拐点,极大值,拐点,27/28,27,28/28,28,
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