1、单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考!,一、复变函数定义,1.复变函数定义:,1.4 复变函数,1/65,1,2.单(多)值函数定义:,3.定义集合和函数值集合:,2/65,2,4.复变函数与实变量之间关系:,比如,3/65,3,二、映射概念,1.引入:,4/65,4,5/65,5,3.两个特殊映射:,6/65,6,且是全同图形.,7/65,7,8/65,8,依据复数乘法公式可知,9/65,9,(以下页图),10/6
2、5,10,将第一图中两块阴影部分映射成第二图中同一个长方形.,11/65,11,以原点为焦点,开口相左抛物线.(图中红色曲线),以原点为焦点,开口相右抛物线.(图中蓝色曲线),12/65,12,4.反函数定义:,13/65,13,依据反函数定义,当反函数为单值函数时,今后不再区分函数与映射.,14/65,14,设函数 定义域为 ，函数 定义域为 ，值域 .若对任一 ，经过 有确定,与之对应，从而经过 有确定 值与 对应，按照函数定义，在 中确定了 是 函数，记作 ，称其为 与 复合函数.,5.复合函数定义:,15/65,15,解,三、经典例题,例1,还是线段.,16/65,16,例1,解,17
3、/65,17,例1,解,仍是扇形域.,18/65,18,例2,解,19/65,19,所以象参数方程为,20/65,20,四、小结与思索,复变函数以及映射概念是本章一个重点.,注意：,复变函数与一元实变函数定义完全一样,只要将后者定义中“实数”换为“复数”就行了.,21/65,21,思索题,“函数”、“映射”、“变换”等名词有没有区分？,22/65,22,思索题答案,在复变函数中,对“函数”、“映射”、“变换”等名词使用,没有本质上区分,.只是函数普通是就数对应而言,而映射与变换普通是就点对应而言.,放映结束，按Esc退出.,23/65,23,一、指数函数,1.指数函数定义:,1.5 初等函数,
4、2.指数函数性质:,24/65,24,(2)模与幅角性质:,指数函数定义等价于关系式:,25/65,25,(3)运算性质:,证,26/65,26,例1,解,27/65,27,28/65,28,例2,解,求出以下复数辐角主值:,29/65,29,30/65,30,31/65,31,例3,解,32/65,32,二、对数函数,1.对数函数定义,2.对数函数性质,(1)多值性质,33/65,33,其余各值为,特殊地,(2)回归性质,34/65,34,例4,解,注意,:在实变函数中,负数无对数,而复变数对数函数是实变数对数函数拓广.,(3)负数性质,35/65,35,例5,解,36/65,36,例6,解
5、37/65,37,38/65,38,(4)运算性质,39/65,39,三、乘幂 与幂函数,1.乘幂定义,注意:,40/65,40,41/65,41,特殊情况:,42/65,42,2.幂函数定义,43/65,43,例7,解,答案,课堂练习,44/65,44,例8,解,45/65,45,46/65,46,四、三角函数和双曲函数,1.三角函数定义,将两式相加与相减,得,现在把余弦函数和正弦函数定义推广到自变数取复值情况.,47/65,47,48/65,48,例9,解,49/65,49,相关正弦函数和余弦函数几组主要公式,50/65,50,(注意：这是与实变函数完全不一样),51/65,51,其它复
6、变数三角函数定义,52/65,52,例10,解,53/65,53,例11,解,54/65,54,例12,解,55/65,55,56/65,56,2.双曲函数定义,57/65,57,它们导数分别为,并有以下公式:,它们都是以,为周期周期函数,58/65,58,例13,解,59/65,59,五、反三角函数和反双曲函数,1.反三角函数定义,两端取对数得,60/65,60,一样能够定义反正弦函数和反正切函数,重复以上步骤,能够得到它们表示式:,2.反双曲函数定义,61/65,61,例14,解,62/65,62,六、小结与思索,复变初等函数是一元实变初等函数在复数范围内自然推广,它既保持了后者一些基本性质,又有一些与后者不一样特征.如:,1.指数函数含有周期性,2.负数无对数结论不再成立,3.三角正弦与余弦不再含有有界性,4.双曲正弦与余弦都是周期函数,63/65,63,思索题,实变三角函数与复变三角函数在性质上有哪些异同?,64/65,64,思索题答案,二者在函数奇偶性、周期性、可导性上是类似,而且导数形式、加法定理、正余弦函数平方和等公式也有相同形式.,最大区分是,实变三角函数中,正余弦函数都是有界函数,但在复变三角函数中,放映结束，按Esc退出.,65/65,65,
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