垂径定理优质课市名师优质课比赛一等奖市公开课获奖课件.pptx

第二十八章 圆,学习新知,检测反馈,28.4,垂径定理,九年级数学上 新课标,冀教,第1页,学 习 新 知,赵州桥是我国隋代建造石拱桥,距今约有14历史,是我国古代人民勤劳和智慧结晶.它主桥拱是圆弧形,它跨度(弧所正确弦长)为37.4 m,拱高(弧中点到弦距离)为7.2 m,你能求出赵州桥主桥拱半径吗?(结果保留小数点后一位),第2页,在自己课前准备纸片上作图,:,1,.,任意作一条弦,AB.,2,.,过圆心,O,作弦,AB,垂线,得直径,CD,交,AB,于点,E.,3,.,观察图形,你能找到哪些线段相等,?,哪些弧相等,?,4,.,沿着,CD,所在直线折叠,观察有哪些相等线段、弧,.,5,.图形中已知是什么,?,你得到结论是什么,?,你能写出你证实过程吗,?,第3页,如图所表示,在,O,中,CD,为直径,AB,为弦,且,CD,AB,垂足为,E.,求证,AE=BE,证实,:,如图所表示,连接,OA,OB.,在,OAB,中,OA=OB,OE,AB,AE=BE,AOE=,BOE.,AOC=,180,-,AOE,BOC=,180,-,BOE,AOC=,BOC.,第4页,垂径定理,:,垂直于弦直径平分这条弦,而且平分这条弦所正确两条弧,.,几何语言,:,在,O,中,CD,为直径,CD,AB,AE=BE,第5页,垂径定理推论,如图所表示,在,O,中,直径,CD,与弦,AB,(,非直径,),相交于点,E.,【,思索,】,(1),若,AE=BE,能判断,CD,与,AB,垂直吗,?,与,(,或,与,),相等吗,?,说明你理由,.,(2),若,=,(,或,=,),能判断,CD,与,AB,垂直吗,?,AE,与,BE,相等吗,?,说明你理由,.,第6页,解,:(1),CD,AB,(,或,),.,理由是,:,连接,OA,OB,如图所表示,则,OAB,是等腰三角形,AE=BE,CD,AB.,由垂径定理可得,(2),CD,AB,AE=BE.,理由是：,AOD=,BOD,又,OA=OB,OE=OE,AEO,BEO,AEO=,BEO,AE=BE,CD,AB.,第7页,追加思索,:,(1),垂径定理中条件和结论分别是什么,?,用语言叙述,.,(2),上面思索,(1)(2),中条件和结论分别是什么,?,(3),假如不要求“弦不是直径”上述结论还成立吗,?,第8页,在,O,中,设直径,CD,与弦,AB,(,非直径,),相交于点,E.,若把,AE=BE,CD,AB,中一项作为条件,则可得到另外两项结论,.,第9页,(,教材,164,页例,),如图所表示,已知,CD,为,O,直径,AB,为弦,且,AB,CD,垂足为,E.,若,ED=,2,AB=,8,求直径,CD,长,.,思索,:,1,.,怎样把圆半径转化为三角形中线段,?,(,连接半径,结构直角三角形,),2,.,结构直角三角形中三边之间有什么特点,?,(,依据垂径定理得三角形一边是弦长二分之一,另两边长恰好相差,ED,长,),第10页,3,.,直角三角形中已知一边、另外两边之间关系,怎样求另两边长,?,(,设未知数,用勾股定理列方程求解,),第11页,解,:,如图所表示,连接,OA.,设,O,半径为,r.,CD,为,O,直径,AB,CD,AE=BE.,AB=,8,AE=BE=,4,.,在,Rt,OAE,中,OA,2,=OE,2,+AE,2,OE=OD-ED,即,r,2,=,(,r-,2),2,+,4,2,.,解得,r=,5,从而,2,r=,10,.,所以直径,CD,长为,10,.,第12页,赵州桥是我国隋代建造石拱桥,距今约有14历史,是我国古代人民勤劳和智慧结晶.它主桥拱是圆弧形,它跨度(弧所正确弦长)为37.4 m,拱高(弧中点到弦距离)为7.2 m,你能求出赵州桥主桥拱半径吗?(结果保留小数点后一位),第13页,解,:,如图所表示,用,表示主桥拱,设,所在圆圆心为,O,半径为,R.,经过圆心,O,作弦,AB,垂线,OC,D,为垂足,OC,与,相交于点,C,连接,OA.,依据垂径定理知,D,为,AB,中点,C,为,中点,CD,就是拱高,.,由题设可知,AB=,37,.,4 m,CD=,7,.,2 m,所以,AD=AB=,37,.,4,=,18,.,7(m),OD=OC-CD=R-,7,.,2(m),.,在,Rt,OAD,中,由勾股定理,得,OA,2,=AD,2,+OD,2,第14页,即,R,2,=,18,.,7,2,+,(,R-,7,.,2),2,.,解得,R,27,.,9(m),.,所以,赵州桥主桥拱半径约为,27,.,9 m,.,【,思索,】,1,.,在圆中处理相关弦问题,常作什么辅助线,?,2,.,在圆中处理相关弦问题,惯用什么方法,?,第15页,知识拓展,1,.,由垂径定理能够得到以下结论,:,(1),若直径垂直于弦,则直径平分弦及其所正确两条弧,.,(2),平分弦,(,不是直径,),直径垂直于弦,而且平分弦所正确两条弧,.,(3),垂直且平分一条弦弦是直径,.,(4),连接弦所正确两条弧中点线段是直径,.,综上所述,可以知道在过圆心,垂直于弦,平分弦,平分弦所对劣弧,平分弦所对优弧这五项中满足其中任意两项,就可以推出另外三项,简称“5.2.3”定理.,第16页,2,.,利用垂径定理及其推论能够证实平分弧、平分弦,证实垂直,证实一条线段是直径,.,3,.,利用垂径定理推论能够确定圆心位置,:,在圆中找两条不平行弦,分别作两条弦垂直平分线,两条垂直平分线交点即是圆心,.,4,.,因为垂直于弦直径平分弦,所以能够在圆中结构直角三角形,利用勾股定理列方程求弦长,(,或半径,),.,5,.,圆心到弦距离叫做弦心距,.,第17页,检测反馈,1,.,如图所表示,AB,是,O,直径,CD,是弦,CDAB,于点,E,则以下结论不一定成立是,(,),A.,COE=,DOE,B.,CE=DE,C.,OE=BE,D.,解析,:,由垂径定理可知,B,D,均成立,;,由,OCE,ODE,可得,A,也成立,.,不一定成立是,OE=BE.,故选,C.,C,第18页,2,.,如图所表示,已知,O,半径为,13,弦,AB,长为,24,则点,O,到,AB,距离是,(,),A.6B.5C.4D.3,解析,:,过点,O,作,OC,AB,于,C,OC,过点,O,AC=BC=AB=,12,在,Rt,AOC,中,由勾股定理,得,OC=,5,.,故选,B.,B,第19页,3,.,如图所表示,O,直径为,10,弦,AB,长为,6,P,是,AB,上一动点,则线段,OP,长取值范围是,.,解析,:,当弦与,OP,垂直时,OP,值最小,连接,OA,由勾股定理可得,OP=,4;,当点,P,与点,A,或点,B,重合时,OP,值最大,此时,OP,为,O,半径,5,.,故填,4,OP,5,.,4,OP,5,第20页,4,.,如图所表示,AB,是,O,弦,半径,OC,AB,于点,D.,(1),若,AB=,8 cm,OC=,5 cm,求,CD,长,;,(2),若,OC=,5 cm,OD=,3 cm,求,AB,长,;,(3),若,AB=,8 cm,CD=,2 cm,求,O,半径,.,解,:,连接,OA,则,AO=OC.,OC,AB,ODA=,90,.,第21页,(1),OC,AB,AD=AB=,4 cm,在,Rt,OAD,中,OA=,5 cm,OD=,3(cm),CD=OC-OD=,2 cm,.,(2),在,Rt,OAD,中,OA=,5 cm,OD=,3 cm,AD=,4(cm),OC,AB,AB=,2,AD=,8 cm,.,第22页,(3),设,O,半径为,r,cm,则,OD=,(,r-,2)cm,OC,AB,AD=AB=,4 cm,在,Rt,OAD,中,OA,2,=DO,2,+AD,2,r,2,=,(,r-,2),2,+,4,2,解得,r=,5,O,半径为,5 cm,.,第23页,