1、单击以编辑母版标题样式,单击以编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,本幻灯片资料仅供参考，不能作为科学依据，如有不当之处，请参考专业资料。,一阶线性微分方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第四节,一、一阶线性微分方程,二、伯努利方程,第十二章,第1页,一、一阶线性微分方程,一阶线性微分方程标准形式:,若,Q,(,x,),0,若,Q,(,x,),0,称为,非齐次方程,.,1.解齐次方程,分离变量,两边积分得,故通解为,称为,齐次方程,;,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第2页,对应齐次方程通解,齐次方程通解,非齐次方程特解,2.解非齐次方程,用,常数变易法,:,则,故原
2、方程通解,即,即,作变换,两端积分得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第3页,例1.,解方程,解:,先解,即,积分得,即,用,常数变易法,求特解.令,则,代入非齐次方程得,解得,故原方程通解为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第4页,例2.,求方程,通解.,解:,注意,x,y,同号,由一阶线性方程,通解公式,得,故方程可,变形为,所求通解为,这是以,为因变量,y,为,自变量一阶线性方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第5页,在闭合回路中,全部支路上电压降为 0,例3.,有一电路如图所表示,电阻,R,和电,解:,列方程.,已知经过电阻,R,电压降为,R i,经过,L,电压降为,所以
3、有,即,初始条件:,由回路电压定律:,其中电源,求电流,感,L,都是常量,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第6页,解方程:,由初始条件:,得,利用一阶线性方程解公式可得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第7页,暂态电流,稳态电流,所以所求电流函数为,解意义:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第8页,二、伯努利(Bernoulli)方程,伯努利方程标准形式:,令,求出此方程通解后,除方程两边,得,换回原变量即得伯努利方程通解.,解法:,(线性方程),伯努利 目录 上页 下页 返回 结束,第9页,例4.,求方程,通解.,解:,令,则方程变形为,其通解为,将,代入,得原方程通解:,机动
4、目录 上页 下页 返回 结束,第10页,内容小结,1.一阶线性方程,方法1 先解齐次方程,再用常数变易法.,方法2 用通解公式,化为线性方程求解.,2.伯努利方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第11页,思索与练习,判别以下方程类型:,提醒:,可分离 变量方程,齐次方程,线性方程,线性方程,伯努利方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第12页,P281,1,(3),(6),(9),;2,(5);6;,7,(3),(5),作业,第五节 目录 上页 下页 返回 结束,第13页,备用题,1.,求一连续可导函数,使其满足以下方程:,提醒:,令,则有,利用公式可求出,机动 目录 上页 下页 返
5、回 结束,第14页,2.,设有微分方程,其中,试求此方程满足初始条件,连续解.,解:,1)先解定解问题,利用通解公式,得,利用,得,故有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第15页,2)再解定解问题,此齐次线性方程通解为,利用衔接条件得,所以有,3)原问题解为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第16页,(雅各布第一 伯努利),书中给出伯努利数在很多地方有用,伯努利,(1654 1705),瑞士数学家,位数学家.,标和极坐标下曲率半径公式,1695年,版了他巨著猜度术,上一件大事,而伯努利定理则是大数定律最早形式.,年提出了著名伯努利方程,他家祖孙三代出过十多,1694年他首次给出了直角坐,1713年出,这是组合数学与概率论史,另外,他对,双纽线,悬链线和对数螺线都有深入研究.,第17页,
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