线性方程组与向量的线性相关性省名师优质课获奖课件市赛课一等奖课件.ppt

单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,理学院数学科学系,*,本幻灯片资料仅供参考，不能作为科学依据，如有不当之处，请参考专业资料。谢谢,第三章 线性方程组与向量线性相关性,线性方程组理论是线性代数主要内容，普通问题,最终处理归根结底是要考虑一个相关线性方程组.线,性相关性一些概念是线性代数中基本概念之一.本,先利用矩阵秩讨论方程组有解性，然后利用向量,线性相关性讨论方程组解普通表示式.,本章重点：,线性方程组有解性条件,向量线性相关性基本概念与基本结论,线性方程组解结构理论,向量空间基本概念(基，维数，坐标等)(补充),第1页,1,3,.1,消元法,对于普通形式线性方程组，最基本且较简便方法是,消元法，在本节将介绍线性方程组消元过程能够用矩,阵初等行变换来实现.,一、线性方程组矩阵形式,二、初等行变换解线性方程组,第2页,2,一、线性方程组矩阵形式,线性方程组普通形式：,第3页,3,线性方程组矩阵形式：,A,称为线性方程组,系数矩阵,；若令 ，则称,矩阵 为线性方程组,增广矩阵,.,线性方程组与它增广矩阵是一一对应.,第4页,4,行对应方程，列对应未知元,二、初等行变换解线性方程组,(以例说明,),相当于将第一、二方程中 消去了,第5页,5,未知元个数多于方程个数，则存在不受约束未知元，称为自由未知元.,若选择 作为自由未知元，则 受约束,(为任意常数).,第6页,6,例,1.1 解线性方程组,(,P78,Ex.2(1),),解：,1,(为任意常数).,第7页,7,3,.2,线性方程组普通理论,在本节将介绍线性方程组有解条件，以及齐次线性方,程组有非零解条件.,一、非齐次线性方程组解研究,二、齐次线性方程组解研究,第8页,8,一、非齐次线性方程组解研究,例,2.1 求解非齐次线性方程组,解：,方程组无解.此时,普通地，对于方程组,AX=b,，,若,R,(,A,)，,则是不是,方程组一定无解呢？,第9页,9,例,2.2 求解非齐次线性方程组,(,P78,例2),解：,普通地，对于,n,元方程组,AX=b,，,若,R,(,A)=,R,(,A,b,)=,n,，,则是不是方程组一定有唯一解？,第10页,10,例,2.3 求解非齐次线性方程组,解：,第11页,11,选择 作为自由未知数,普通地，对于,n,元方程组,AX=b,，,若,R,(,A,)=,R,(,A,b,)=,r n,),n,元向量必线性相关.(,P95,例4),第44页,44,解,：,依据,Thm3.1,，,需要计算 和 .,由此可见,所以,线性相关；,线性无关.,例,3.2,已知,试讨论向量组 及向量组 线性相关性.,第45页,45,方程组 与,同解,利用初等变换不但能够判断向量组线性相关性，而且,能够寻找向量之间线性关系：,则 中部分向量与 中对应,向量有相同线性相关性和线性关系：,显然有,所以也有,第46页,46,3.线性相关性与线性表示,Thm3.4,向量组 (,m,1),线性相关充要条件,是其中最少有一个向量是其余向量线性组合.,必要性：,线性相关,系数最少有个能够不为零,充分性：,中有一个向量是其余向量线性组合,第47页,47,Thm3.5,设向量组 线性无关，而向量组,线性相关，则 必是,线性组合，且线性表示式惟一.,依据线性表示判定：,第48页,48,Thm3.6,设向量组 可由向量组,线性表示，若,r,s,，,则向量组 线性相关.,多者能被少者表示，则多者必线性相关.,第49页,49,推论1,设向量组 可由向量组,线性表示，若 线性无关，则,推论2,任意两个等价线性无关向量组，它们所含向量个,数相等.,第50页,50,四、向量组秩和极大线性无关组,在一个方程组中，可能有“多出”方程,在一个向量组中，可能有“多出”向量,这个“多出”意思是什么呢？,能够删除多出向量，从本质说，所给向量组没有变,化，因为被删除向量能够用余下向量组合出来.就,像在方程组中删除多出方程，方程组解是不会改变,.,Def3.6,设向量组 中有一部分向量组,，该部分向量组满足以下条件,(1)线性无关；,(2)再加入原向量组中任意其它一个向量(假如有话)所,形成新部分向量组都线性相关，,则称向量组 为向量组 一个,极大线性无关组,.,Def3.7向量组极大线性无关组所含向量个数称为,向,量组秩.,第51页,51,能够由向量组 出来,线性无关,线性相关,向量组与其极大线性无关组等价.这是极大线性无关组,一个本质性质.,一个向量组极大线性无关组不惟一.,第52页,52,Thm3.7,一个向量组任意两个极大线性无关组必等价，,且所含向量个数相等.,Thm3.8,向量组 秩等于矩阵,秩，换句话说，矩阵秩等于矩阵各列(行)所组成向,量组秩.,向量组 秩记为,第53页,53,证,：设向量组 秩,r,，,则存在部分组,线性无关，所以,再证 不会大于,r,：,用反证法,假设 ，则在矩阵 中存,在一个,r,+1,阶非零子式,D,，,不妨设,D,取自矩阵 第 列，则,线性无关，,这与向量组 秩为,r,矛盾！,第54页,54,例,3.3,设矩阵,求矩阵,A,各列组成向量组一个极大线性无关组，并,把不属于极大线性无关组列向量用极大线性无关组线性,表示出来.,解：,第55页,55,A,列向量组极大线性无关组,含有三个向量，由最终一个矩阵易知 是一个极,大线性无关组.,第56页,56,例,3.4 求证 (教材,P100，,例6),证：,能够由 线性表示，,极大线性无关组可由 线性表示,极大线性无关组可由 极大线,性无关组线性表示，,第57页,57,第三章 线性方程组与向量线性相关性,线性方程组理论是线性代数主要内容，普通问题,最终处理归根结底是要考虑一个相关线性方程组.线,性相关性一些概念是线性代数中基本概念之一.本,先利用矩阵秩讨论方程组有解性，然后利用向量,线性相关性讨论方程组解普通表示式.,本章重点：,线性方程组有解性条件,向量线性相关性基本概念与基本结论,线性方程组解结构理论,向量空间基本概念(基，维数，坐标等)(补充),第58页,58,3,.4,线性方程组解结构,在前面我们已经讨论了线性方程组相容性理论,，,又介,绍向量线性相关性理论，接下来要研究线性方程组,解结构，也就是线性方程组通解表示式有什么特征.,一、齐次线性方程组基础解系,二、齐次线性方程组解结构,三、非齐次线性方程组解结构,四、应用举例,第59页,59,一、齐次线性方程组基础解系,(1),(2),是(1)解，,是(2)解，,(1)与(2)都是线性方程组，所以线,性方程组解能够写成一个向量，,称为,解向量,.线性方程组全部解,组成一个向量组.,第60页,60,Thm3.9,设 都是齐次线性方程组 解，,则 也是齐次线性方程组 解.,齐次线性方程组解线性组合仍是齐次线性方程组解,齐次线性方程组解组成一个向量组，向量组中向量能够,由其极大线性无关表示，再由,Thm3.9,可知,齐次线性方程,组任一解能够由部分解表示出来.,第61页,61,Def3.8,设 是齐次线性方程组 一组解，,若它满足以下条件：,(1)线性无关；,(2)齐次线性方程组任一解都能表示为 线,性组合，,则称 是齐次线性方程组,基础解系,.,齐次线性方程组解组成向量组(解集)一个极大线性,无关组，就是齐次线性方程组一个基础解系.,当齐次线性方程组只有零解时，没有基础解系.,当齐次线性方程组有非零解时,基础解系中含有几个向量?,第62页,62,Thm3.10,齐次线性方程组有非零解时，一定有基础解系，,且基础解系含有,n-r,个向量，其中,n,是未知量个数，,r,是,系数矩阵秩.,证：,设,n,个未知数方程组,AX,=0,系数矩阵,A,秩为,r,，,不妨设,A,前,r,个列向量线性无关，则,A,经行变换可化为：,第63页,63,得齐次线性方程组通解，,第64页,64,记作,改写成向量形式，,第65页,65,令任意常数一个为1，其余为零：,得到,n-r,个解，,线性无关，而且齐次线性方程,AX,=0,任一,解都可由它线性表示，所以它是齐次线性方程组,AX,=0,基础解系，且含有,n-r,个向量.,第66页,66,基础解系求法：,(1)求齐次线性方程组通解，,(2)再分别令,n-r,个任意常数一个为1，其余为零，就可得,到,n-r,个解，这就是所求基础解系.,其实，任意常数取值能够是其它数组，只要所取,n-r,组,数线性无关就能够了.,令通解中任意常数为某一组数,实际上就是令线性方程组,自由未知量为某一组数，所以,我们能够直接由化简后,方程组，分别令自由未知量一个为1，其余为0,代入方,程组，就可得基础解系，不需要先写出通解.,第67页,67,例,4.1 求下 面齐次线性方程组基础解系(,P104,例1),解:,基础解系为,选择 为自由未知量，令,第68页,68,二、齐次线性方程组解结构,n,元齐次线性方程组,AX=,0，,若,R,(,A,)=,r,，,基础,解系，则该方程组通解为,第69页,69,三、非齐次线性方程组解结构,Thm3.11,若 是方程组,AX=b,一个特定解(普通称为,特解)，是其对应齐次线性方程组,AX=,0,基础解系，则非齐次线性方程组,AX=b,通解为,证：,先证任意线性组合 都是,AX=b,解，,第70页,70,再证,AX=b,任一解都能够表成线性组合,设 是,AX=b,任一解，,AX=b,两个解差是,AX=,0,解；,AX=b,解与,AX=,0,解之和是,AX=b,解.,第71页,71,线性方程组,AX=b,求解步骤：,(1)写出方程组对应增广矩阵(,A,b,)，,(2)对增广矩阵施行初等行变换，化为行阶梯形矩阵，,(3)判断方程组是否有解，若有解，继续对增广矩阵施行,初等行变换，化为行最简形矩阵，,(4)令自由未知量全部为零，可得特解,(5)令自由未知量一个为1,其余为零，可得对应齐次方,程组基础解系，,(6)写出通解.,第72页,72,例,4.2 求下面非齐次线性方程组解：(,P106,例2),解:,对增广矩阵施行初等行变换,第73页,73,选择 作为自由未知量，,令 得方程组特解,令 和 得对应齐次方程组基础解系,通解为,第74页,74,例,4.3,求解方程组,解:,对增广矩阵施行初等行变换：,通解为,第75页,75,四、应用举例,例,4.4 设,A,为 矩阵，且,R,(,A,)=,r,，,求证：必存在一个,秩为,n-r,矩阵,B,，,使得,AB,=0.,证：,考虑齐次线性方程组,AX=,0，,因为,R,(,A,)=,r,n,，,由,Thm3.10，,AX,=0,必存在基础解系，且,含有,n-r,个向量，设,AX=,0,基础解系为,显然满足,B,是 矩阵，秩为 ，且,第76页,76,例,4.5 设,A,为 矩阵，,B,为 矩阵，且,AB,=0，,证实,证：,对矩阵,B,按列分块,，,所以，是齐次线性方程组,AX=,0,解，所以,极大线性无关组中向量个数不超出,AX=,0,基础解系中向量个数，即有,第77页,77,例,4.6 设,AX=b,是一个4元非齐次线性方程组，,R,(,A,)=3，,是它三个解，且,求,AX=b,通解.,解:,因为,R,(,A,)=3，,AX=,0,基础解系只含有一个向量，,+,第78页,78,例,4.7,证实,证:,下面证方程组 与 同解：,若 满足 ，则有 ，,即,设,A,为 矩阵，为 维列向量.,若 满足 ，则有,即,从而推知,由以上可知 与 同解，所以,第79页,79,第三章 线性方程组与向量线性相关性,线性方程组理论是线性代数主要内容，普通问题,最终处理归根结底是要考虑一个相关线性方程组.线,性相关性一些概念是线性代数中基本概念之一.本,先利用矩阵秩讨论方程组有解性，然后利用向量,线性相关性讨论方程组解普通表示式.,本章重点：,线性方程组有解性条件,向量线性相关性基本概念与基本结论,线性方程组解结构理论,向量空间基本概念(基，维数，坐标等)(补充),第80页,80,补充：,向量空间基本概念,线性空间是线性代数中又一个基本概念，线性模型都是,定义在某个线性空间上.向量空间是最简单，含有直观,性线性空间.,在这部分中，只介绍向量空间基本概念：向量空间、,基、维数、坐标等.,第81页,81,Def01,设,V,为,n,维向量集合，满足以下三个条件,V,不是空集,；,若 ，则 ；,（,V,对于向量加法封闭）,若 ，则 ，,（,V,对于向量与数乘法封闭）,那么称集合,V,为,向量空间.,第82页,82,3维向量全体 ，就是一个向量空间.,因为3维向量和依然是3维向量，数乘3维向量依然是3维向量，另外，显然非空.,普通地，,n,维向量全体 也是一个向量空间.,(2),设 是两个已知,n,维向量，集合,是一个向量空间.,线性组合全体,由 所生成向量空间,(3)齐次线性方程组,AX=,0,解全体就组成了一个向,量空间，称为,解空间,.,第83页,83,Def02,设,V,为向量空间,，,r,个向量 ，,若满足,线性无关；,V,中任一向量都可由 线性表示，,只含零向量向量空间没有基，要求它维数为0.,这么向量空间称为,零空间,或,0维向量空间.,那么向量组 称为向量空间,V,一个基；,r,称为向量空间,V,维数,，记作 并称,V,为,r,维向,量空间.,第84页,84,向量空间,V,能够看作是一个向量组(,不过向量组不一定,是向量空间,),，依据极大线性无关组等价定义知：,V,维数就是向量组秩.,V,基就是向量组极大线性无关组，,向量空间基也是不唯一.,第85页,85,关于基和维数相关结论：,若向量空间 ，则,V,维数不超出,n,.,若向量空间 ,且 则,若向量组 是向量空间,V,一个基，则,V,可表示为,即,V,是基所生成向量空间,，这清楚地显示出了向量空间,V,结构.这就是基涵义.,(4),由向量组所生成向量空间基就是该向量组一,个极大线性无关组，它维数等于该向量组秩.,第86页,86,Def03,设 是向量空间,V,一个基，则中任一向量,x,可由它惟一地表示为,数组 称为,向量,x,在基 中坐标.,尤其地，,n,维向量空间 中向量 ，,若 ,则,所以 在基 中坐标为 .,第87页,87,Def04,设 和 是,r,维向量空间,两个基，依据基定义知，它们是等价.若,则称矩阵,P,从基 到基,过渡,矩阵.,上述等式称为向量空间从基 到基,基变换公式,.,过渡矩阵是可逆矩阵.,第88页,88,Def05,设基 到基,过渡矩阵为,P,向量 在基 中坐标为,在基 中坐标为 ，则,上述两个等式都称为,坐标变换公式,.,第89页,89,第90页,90,例,01,设 中两个基 和 ，其中,求从基 到基 过渡矩阵；,设向量 在基 中坐标为 ，求,在基 中坐标.,解,：,设从基 到基 过渡矩阵为,P,，,则,即,第91页,91,所以,因为 在基 中坐标为 ,所以,第92页,92,设 在基 中坐标为 ，则有,因而,所以,第93页,93,