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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。感谢您,第三章 简单优化模型,3.1,存贮模型,3.2,生猪出售时机,3.3,森林救火,3.4,最优价格,3.5 血管分支,3.6,消费者均衡,3.7,冰山运输,第1页,现实世界中普遍存在着优化问题,静态优化问题指最优解是数(不是函数),建立静态优化模型关键之一是依据建模目确实定恰当目标函数,求解静态优化模型普通用微分法,静 态 优 化 模 型,第2页,3.1,存贮模型,问 题,配件厂为装配线生产若干种产品，轮换产品时因更换设,备要付生产准备费，产量大于需求时要付贮存费。该厂,生产能力非常大，即所需数量可在很短时间内产出。,已知某产品日需求量100件，生产准备费5000元，贮存费,每日每件1元。试安排该产品生产计划，即多少天生产,一次（生产周期），每次产量多少，使总费用最小。,要,求,不只是回答下列问题，而且要建立生产周期、产量与,需求量、准备费、贮存费之间关系。,第3页,问题分析与思索,天天生产一次,，每次100件，无贮存费，准备费5000元。,日需求100件，准备费5000元，贮存费每日每件1元。,10天生产一次,，每次1000件，贮存费900+800+100 =4500元，准备费5000元，总计9500元。,50天生产一次,，每次5000件，贮存费4900+4800+100=122500元，准备费5000元，总计127500元。,平均天天费用950元,平均天天费用2550元,10天生产一次平均天天费用最小吗?,天天费用5000元,第4页,这是一个优化问题，关键在建立目标函数。,显然不能用一个周期总费用作为目标函数,目标函数天天总费用平均值,周期短，产量小,周期长，产量大,问题分析与思索,贮存费少，准备费多,准备费少，贮存费多,存在最正确周期和产量，使总费用（二者之和）最小,第5页,模 型 假 设,1.产品天天需求量为常数,r,；,2.每次生产准备费为,c,1,天天每件产品贮存费为,c,2,；,3.,T,天生产一次（周期）,每次生产,Q,件，当贮存量,为零时，,Q,件产品马上到来（生产时间不计）；,建 模 目,设,r,c,1,c,2,已知，求,T,Q,使天天总费用平均值最小。,4.为方便起见，时间和产量都作为连续量处理。,第6页,模 型 建 立,0,t,q,贮存量表示为时间函数,q,(,t,),T,Q,r,t,=0生产,Q,件，,q,(0)=,Q,q,(,t,),以,需求速率,r,递减，,q,(,T,)=0.,一周期,总费用,天天总费用平均,值（目标函数）,离散问题连续化,一周期贮存费为,A=QT,/2,第7页,模型求解,求,T,使,模型分析,模型应用,c,1,=5000,c,2,=1，,r,=100,T,=10(,天),Q,=1000(件),C,=1000(,元),回答下列问题,第8页,经济批量订货公式,（EOQ,公式,）,天天需求量,r,，每次订货费,c,1,天天每件贮存费,c,2,，,用于订货、供给、存贮情形,不允许缺货存贮模型,问：为何不考虑生产费用？在什么条件下才不考虑？,T,天订货一次(周期),每次订货,Q,件，当贮存量降到,零时，,Q,件马上到货。,第9页,允许缺货存贮模型,A,B,0,q,Q,r,T,1,t,当贮存量降到零时仍有需求,r,出现缺货，造成损失,原模型假设：贮存量降到零时,Q,件马上生产出来(或马上到货),现假设：允许缺货,天天每件缺货损失费,c,3,缺货需补足,T,一周期贮存费,一周期缺货费,周期,T,t=T,1,贮存量降到零,一周期总费用,第10页,天天总费用,平均值,（目标函数）,一周期总费用,求,T,Q,使,为与,不允许缺货存贮模型相比，,T,记作,T,Q,记作,Q,第11页,不允许缺货模型,记,允许缺货模型,不允许缺货,第12页,允许缺货模型,0,q,Q,r,T,1,t,T,注意：缺货需补足,Q,每七天期初存贮量,R,每七天期生产量,R,（或订货量）,Q,不允许缺货时产量(或订货量),第13页,3.2,生猪出售时机,喂养场天天投入4元资金，用于饲料、人力、设备，,预计,可使80千克重生猪体重增加2千克。,问题,市场价格当前为每千克8元不过,预测,天天会降低 0.1元，问生猪应何时出售。,假如,预计,和,预测,有误差，对结果有何影响。,分析,投入资金使生猪体重随时间增加，出售单价随时间降低，故存在最正确出售时机，使利润最大,第14页,求,t,使,Q,(,t,)最大,10天后出售，可多得利润20元,建模及求解,生猪体重,w,=80+,rt,出售价格,p,=8-,gt,销售收入,R=pw,资金投入,C,=4,t,利润,Q=R-C,=,pw-C,预计,r,=2，,若当前出售，利润为808=640（元）,t,天出售,=10,Q,(10),=,660 640,g,=0.1,第15页,敏感性分析,研究,r,g,改变时对模型结果影响,预计,r,=2，,g,=0.1,设,g,=0.1不变,t,对,r,（相对）敏感度,生猪天天体重增加量,r,增加1%，出售时间推迟3%。,r,t,第16页,敏感性分析,预计,r,=2，,g,=0.1,研究,r,g,改变时对模型结果影响,设,r,=2不变,t,对,g,（相对）敏感度,生猪价格天天降低量,g,增加1%，出售时间提前3%。,g,t,第17页,健壮性分析,保留生猪直到利润增值等于天天费用时出售,由,S,(,t,r,)=3,提议过一周后(,t,=7)重新预计 ,再作计算。,研究,r,g,不是常数时对模型结果影响,w,=80+,rt,w,=,w,(,t,),p,=8-,gt,p,=,p,(,t),若 (10%),则 （30%）,天天利润增值,天天投入资金,第18页,3.3,森林救火,森林失火后，要确定派出消防队员数量。,队员多，森林损失小，救援费用大；,队员少，森林损失大，救援费用小。,综合考虑损失费和救援费，确定队员数量。,问题分析,问题,记队员人数,x,失火时刻,t,=0,开始救火时刻,t,1,灭火时刻,t,2,时刻,t,森林烧毁面积,B,(,t,).,损失费,f,1,(,x,)是,x,减函数,由烧毁面积,B,(,t,2,)决定,.,救援费,f,2,(,x,)是,x,增函数,由队员人数和救火时间决定,.,存在恰当,x,，使,f,1,(,x,),f,2,(,x,)之和最小,第19页,关键是对,B,(,t,)作出合理简化假设,.,问题分析,失火时刻,t,=0,开始救火时刻,t,1,灭火时刻,t,2,画出时刻,t,森林烧毁面积,B,(,t,)大致图形,t,1,t,2,0,t,B,B,(,t,2,),分析,B,(,t,)比较困难,转而讨论森林烧毁速度,dB/dt,.,第20页,模型假设,3）,f,1,(,x,)与,B,(,t,2,)成正比，系数,c,1,(烧毁单位面积损失费）,1）0,t,t,1,dB/dt,与,t,成正比，系数,(火势蔓延速度）,2）,t,1,t,t,2,降为,-x,(,为队员平均灭火,速度）,4）每个,队员单位时间灭火费用,c,2,一次性费用,c,3,假设,1,）解释,r,B,火势以失火点为中心，均匀向四面呈圆形蔓延，半径,r,与,t,成正比,面积,B,与,t,2,成正比，,dB/dt,与,t,成正比.,第21页,模型建立,b,0,t,1,t,t,2,假设1）,目标函数总费用,假设3）4）,假设2）,第22页,模型建立,目标函数总费用,模型求解,求,x,使,C,(,x,)最小,结果解释,/,是火势不继续蔓延最少队员数,b,0,t,1,t,2,t,其中,c,1,c,2,c,3,t,1,为已知参数,第23页,模型应用,c,1,c,2,c,3,已知,t,1,可预计,c,2,x,c,1,t,1,x,c,3,x,结果解释,c,1,烧毁单位面积损失费,c,2,每个,队员单位时间灭火费,c,3,每个,队员一次性费用,t,1,开始救火时刻,火,势蔓延速度,每个,队员平均灭火,速度,.,为何?,可,设置一系列数值,由模型决定队员数量,x,第24页,3.4,最优价格,问题,依据产品成本和市场需求，在产销平衡条件下确定商品价格，使利润最大,假设,1）产量等于销量，记作,x,2）收入与销量,x,成正比，系数,p,即价格,3）支出与产量,x,成正比，系数,q,即成本,4）销量,x,依赖于价格,p,x,(,p,)是减函数,建模与求解,收入,支出,利润,深入设,求,p,使,U,(,p,)最大,第25页,使利润,U,(,p,)最大最优价格,p,*,满足,最大利润在边际收入等于边际支出时到达,建模与求解,边际收入,边际支出,第26页,结果解释,q/,2 成本二分之一,b,价格上升1单位时销量下降 幅度（需求对价格敏感度）,a,绝对需求(,p,很小时需求),b,p,*,a,p,*,思索：怎样得到参数,a,b,?,第27页,3.5 血 管 分 支,背景,机体提供能量维持血液在血管中流动,给血管壁以营养,克服血液流动阻力,消耗能量取决于血管几何形状,在长久进化中动物血管几何形状已经到达能量最小标准,研究在能量最小标准下，血管分支处粗细血管半径百分比和分岔角度,问题,第28页,模型假设,一条粗血管和两条细血管在分支点对称地处于同一平面,血液流动近似于粘性流体在刚性管道中运动,血液给血管壁能量随管壁内表面积和体积增加而增加，管壁厚度近似与血管半径成正比,q,q,1,q,1,A,B,B,C,H,L,l,l,1,r,r,1,q,=2,q,1,r,/,r,1,?,考查血管AC与CB,CB,第29页,粘性流体在刚性管道中运动,p,A,C,压力差，,粘性系数,克服阻力消耗能量,提供营养消耗能量,管壁内表面积 2,rl,管壁体积,(,d,2,+2,rd,),l,管壁厚度,d,与,r,成正比,模型假设,q,q,1,q,1,A,B,B,C,H,L,l,l,1,r,r,1,第30页,模型建立,q,q,1,q,1,A,B,B,C,H,L,l,l,1,r,r,1,克服阻力消耗能量,提供营养消耗能量,机体为血流提供能量,第31页,模型求解,q,q,1,q,1,A,B,B,C,H,L,l,l,1,r,r,1,第32页,模型解释,生物学家：结果与观察大致吻合,大动脉半径,r,max,毛细血管半径,r,min,大动脉到毛细血管有,n,次分岔,观察：狗血管,血管总条数,推论,n=,？,第33页,q,2,U,(,q,1,q,2,)=,c,q,1,0,3.6,消费者均衡,问题,消费者对甲乙两种商品偏爱程度用无差异曲线族表示，问他怎样分配一定数量钱，购置这两种商品，以到达最大满意度。,设甲乙数量为,q,1,q,2,消费者无差异曲线族(单调减、下凸、不相交），记作,U,(,q1,q,2,)=,c,U,(,q,1,q,2,)效用函数,已知甲乙价格,p,1,p,2,有钱,s,，试分配,s,购置甲乙数量,q,1,q,2,使,U,(,q,1,q,2,)最大.,第34页,s,/,p,2,s/,p,1,q,2,U,(,q,1,q,2,)=,c,q,1,0,模型及,求解,已知价格,p,1,p,2,钱,s,求,q,1,q,2,或,p,1,q,1,/,p,2,q,2,使,U,(,q,1,q,2,)最大,几何解释,直线MN:,最优解,Q,:,MN,与,l,2,切点,斜率,M,Q,N,第35页,结果解释,边际效用,消费者均衡状态在两种商品边际效用之比恰等于它们价格之比时到达。,效用函数,U,(,q,1,q,2,),应满足条件,A.,U,(,q,1,q,2,)=,c,所确定函数,q,2,=,q,2,(,q,1,)单调减、下凸,解释,B,实际意义,第36页,效用函数,U,(,q,1,q,2,),几个惯用,形式,消费者均衡状态下购置两种商品费用之比与二者价格之比平方根成正比。,U,(,q,1,q,2,)中参数,分别表示消费者对甲乙,两种商品偏爱程度。,第37页,购置两种商品费用之比与二者价格无关。,U,(,q,1,q,2,)中参数,分别表示对甲乙,偏爱程度。,思索：怎样推广到,m,(2)种商品情况,效用函数,U,(,q,1,q,2,),几个惯用,形式,第38页,3.7,冰山运输背景,波斯湾地域水资源贫乏，淡化海水成本为每立方米0.1英镑。,教授提议从9600千米远南极用拖船运输冰山，取代淡化海水,从经济角度研究冰山运输可行性。,建模准备,1.日租金和最大运量,船 型,小 中 大,日租金（英镑）,最大运量（米,3,）,4.0,6.2,8.0,5,10,5,10,6,10,7,第39页,2.燃料消耗（英镑/千米）,3.融化速率（米/天）,与南极距离(千米),船速(千米/小时),0 1000 4000,1,3,5,0 0.1 0.3,0 0.15 0.45,0 0.2 0.6,冰山体积(米,3,),船速(千米/小时),10,5,10,6,10,7,1,3,5,8.4 10.5 12.6,10.8 13.5 16.2,13.2 16.5 19.8,建模准备,第40页,建模目标,选择船型和船速，使冰山抵达目标地后每立米水费用最低，并与淡化海水费用比较,模型假设,航行过程中船速不变，总距离9600千米,冰山呈球形，球面各点融化速率相同,抵达目标地后，每立方米冰可融化0.85立方米水,建模分析,目标地水体积,运输过程融化规律,总费用,目标地冰体积,初始冰山体积,燃料消耗,租金,船型,船速,船型,船型,船速,船型,第41页,模型建立,1.冰山融化规律,船速,u,(千米/小时),与南极距离,d,(千米),融化速率,r,(米/天）,r,是,u,线性函数；,d,4000时,u,与,d,无关.,航行,t,天,第,t,天融化速率,0 1000 4000,1,3,5,0 0.1 0.3,0 0.15 0.45,0 0.2 0.6,u,r,d,第42页,1.冰山融化规律,冰山初始半径,R,0,，航行,t,天时半径,冰山初始体积,t,天时体积,总航行天数,选定,u,V,0,航行,t,天时冰山体积,抵达目标地时冰山体积,第43页,2.燃料消耗,10,5,10,6,10,7,1,3,5,8.4 10.5 12.6,10.8 13.5 16.2,13.2 16.5 19.8,V,u,q,1,燃料消耗,q,1,(英镑/千米),q,1,对,u,线性,对log,10,V,线性,选定,u,V,0,航行第,t,天燃料消耗,q,(英镑/天),燃料消耗总费用,第44页,V,0,5,10,5,10,6,10,7,f,(,V,0,)4.0 6.2 8.0,3.运输每立方米水费用,冰山初始体积,V,0,日租金,f,(,V,0,)（英镑）,航行天数,总燃料消花费用,拖船租金费用,冰山运输总费用,第45页,冰山抵达目标地后得到水体积,3.运输每立方米水费用,冰山运输总费用,运输每立方米水费用,抵达目标地时冰山体积,第46页,模型求解,选择船型和船速，使冰山抵达目标地后每立方米水费用最低,求,u,V,0,使,Y,(,u,V,0,)最小,u,=45(千米/小时),V,0,=10,7,(米,3,)，,Y,(,u,V,0,)最小,V,0,只能取离散值,经验公式很粗糙,3,3.5,4,4.5,5,10,7,0.0723,0.0683,0.0649,0.0663,0.0658,0.2251,0.,0.1834,0.1842,0.1790,10,6,78.9032,9.8220,6.2138,5.4647,4.5102,V,0,u,5,10,6,取几组（,V,0,，,u,）用,枚举法计算,第47页,结果分析,因为未考虑影响航行种种不利原因，冰山抵达目标地后实际体积会显著小于,V,(,u,V,0,)。,相关部门认为，只有当计算出,Y,(,u,V,0,)显著低于淡化海水成本时，才考虑其可行性。,大型拖船,V,0,=10,7,(米,3,)，船速,u,=45(千米/小时),冰山抵达目标地后每立米水费用,Y,(,u,V,0,)约0.065(英镑),即使0.065英镑略低于淡化海水成本0.1英镑，不过模型假设和结构非常简化与粗糙。,第48页,