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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。感谢您,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。感谢您,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。感谢您,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。感谢您,数学建模过程,现实对象信息,数学模型解答,现实对象解答,数学模型,表述,（归纳）,求解,（演绎）,解释,验证,现实对象与数学模型关系,第1页,建立数学模型方法和步骤,1 方法,机理分析法：,以经典数学为工具，分析其内部机理规律。,统计分析法：,以随机数学为基础，经过对统计数据进行分,析，得到其内在规律。,如：多元统计分析。,系统分析法：,对复杂性问题或主观性问题研究方法。把,定性思维和结论用定量伎俩表示出来。,如：层次分析法。,第2页,2 建模步骤,模型准备,模型假设,模型建立,模型求解,模型分析,模型检验,模型应用,第3页,1）模型准备：了解问题,实际背景,，明确建模,目,，掌握对象,各种信息,如统计数据等，搞清实际,对象,特征,。,有时需查资料或到相关单位了解情况等。,第4页,2）模型假设：依据实际对象,特征,和建模,目标,，对问,题进行,必要地合理地简化,。不一样假设会得到不一样模型。假如假设过于简单可能会造成模型失败或部分失败，于是应该修改或补充假设，如“四足动物体重问题”；假如假设过于详细，试图把复杂实际现象各个原因都考虑进去，可能会陷入困境，无法进行下一步工作。分清问题主要方面和次要方面，抓主要原因，尽可能将问题均匀化、线性化。,3）模型建立：,第5页,分清变量类型，恰当使用数学工具；,抓住问题本质，简化变量之间关系；,要有严密数学推理，模型本身要正确；,要有足够准确度。,4）模型求解：能够包含解方程、画图形、证实定理,以及逻辑运算等。会用到传统和近代数学方,法，计算机技 术（编程或软件包）。尤其地近似计,算方法（泰勒级数，三角级数，二项式展开、代数,近似、有效数字等）。,第6页,6）模型检验：把模型分析结果“翻译”回到实,际对象中，用实际现象、数据等检验模型合理性,和适应性检验结果有三种情况：符合好，不好，阶,段性和部分性符合好。,7）模型应用：应用中可能发觉新问题，需继续完善。,5）模型分析：结果分析、数据分析。,变量之间依赖关系或稳定性态；数学预测；最优,决议控制。,第7页模型分类,1）按变量性质分：,离散模型,确定性模型,线性模型,单变量模型,连续模型,随机性模型,非线性模型,多变量模型,2）按时间改变对模型影响分,静态模型,参数定常模型,动态模型,参数时变模型,第8页,3）按模型应用领域（或所属学科）分,人口模型、交通模型、生态模型、城镇规划模型、,水资源模型、再生资源利用模型、污染模型、,生物数学模型、医学数学模型、地质数学模型、,数量经济学模型、数学社会学模型等。,4）按建立模型数学方法（或所属数学分支）分,初等模型、几何模型、线性代数模型、微分方程模型、,图论模型、马氏链模型、运筹学模型等。,第9页,5）按建模目标分,描述性模型、分析模型、预报模型、优化模型、,决议模型、控制模型等。,6）按对模型结构了解程度分,白箱模型：,其内在机理相当清楚学科问题，包含力学、热学、电学等。,灰箱模型,：其内在机理尚不十分清楚现象和问题，包含生态、气象、经济、交通等。,黑箱模型：,其内在机理（数量关系）很不清楚现象，如生命科学、社会科学等。,第10页,初 等 模 型,第11页,初等模型是指能够用初等数学方法来结构和求解模型。我们来建立以下四个问题数学模型。,我们来处理以下几个问题：,一 席位分配问题,二 核军备竞赛,三 产品抽样检验,第12页,一 席位分配问题,某校有200名学生，甲系100名，乙系60名，,丙系40名，若学生代表会议设20个席位，问三系各,有多少个席位？,按通例分配席位方案，即按人数百分比分配标准,表示某单位席位数,表示某单位人数,表示总人数,表示总席位数,1 问题提出,第13页,20个席位分配结果,系别,人数,所占百分比,分配方案,席位数,甲,100,100/200,(50/100),20=10,乙,60,60/200,(30/100),20=6,丙,40,40/200,(20/100),20=4,现丙系有6名学生分别转到甲、乙系各3名。,系别,人数,所占百分比,分配方案,席位数,甲,103,103/200=51.5%,51.5%,20,=10.3,乙,63,63/200=31.5%,31.5%,20=6.3,丙,34,34/200=17.0%,17.0%,20=3.4,10,6,4,10,6,4,现象1,丙系虽少了6人，但席位仍为4个,。（,不公平！,）,第14页,为了在表决提案时防止可能出现10：10平局，再设一个席位。,21个席位分配结果,系别,人数,所占百分比,分配方案,席位数,甲,103,103/200=51.5%,51.5%,21,=10.815,乙,63,63/200=31.5%,31.5%,21=6.615,丙,34,34/200=17.0%,17.0%,21=3.,570,11,7,3,现象2,总席位增加一席，丙系反而降低一席,。（,不公平,！）,通例分配方法,：,按百分比分配完取整数名额后，剩下名额,按通例分给小数部分较大者。,存在不公平现象，能否给出更公平分配席位方案？,第15页,2 建模分析,目标：,建立公平分配方案,。,反应公平分配数量指标可用,每席位代表人数,来衡量。,系别,人数,席位数,每席位代表人数,公平程度,甲,103,10,103/10=10.3,中,乙,63,6,63/6=10.5,差,丙,34,4,34/4=8.5,好,系别,人数,席位数,每席位代表人数,甲,100,10,100/10=10,乙,60,6,60/6=10,丙,40,4,40/4=10,第16页,系别,人数,席位数,每席位代表人数,公平程度,甲,103,11,103/11=9.36,中,乙,637,63/7=9,好,丙,34,3,34/3=11.33,差,普通地，,单位,人数,席位数,每席位代表人数,A,B,当,席位分配公平,第17页,但通常不一定相等，席位分配不公平程度用以下标准来判断。,此值越小分配越趋于公平，但这并不是一个好衡量标准。,单位,人数p,席位数n,每席位代表人数,绝对不公平标准,A,120,10,12,12-10=2,B,100,10,10,C,1020,10,102,102-100,=2,D,1000,10,100,C,D,不公平程度大为改进！,第18页,2）,相对不公平,表示每个席位代表人数，总人数一定时，此值,越大，代表人数就越多，分配席位就越少。,则A吃亏或对A 是不公平。,定义“相对不公平”,对A 相对不公,平值,同理，可定义对B 相对不公平值为：,第19页,对B 相对不公,平值,建立了衡量分配不公平程度数量指标,制订席位分配方案标准是使它们尽可能小。,3 建模,若A、B两方已占有席位数为,用相对不公平值,讨论当席位增加1 个时，应该给A 还是B 方。,不失普通性，,有下面三种情形。,第20页,情形1,说明即使给A 单位增加1席，仍对A,不公平，所增这一席必须给A单位。,情形2,说明当对A 不公平时，给A 单位增加1席，对B 又不公平。,计算对B 相对不公平值,情形3,说明当对A 不公平时，给B 单位增加1席，对A 不公平。,计算对A 相对不公平值,第21页,则这一席位给A 单位，不然给B 单位。,结论,：,当（*）成立时，增加一个席位应分配给A 单位，,反之，应分配给 B 单位。,第22页,记,则增加一个席位应分配给Q值 较大一方。,这么分配席位方法称为,Q值方法,。,若A、B两方已占有席位数为,4 推广,有m 方分配席位情况,设,方人数为,，已占有,个席位，,当总席位增加1 席时，计算,则1 席应分给Q值最大一方。从,开始，即每方,最少应得到以1 席，（假如有一方1 席也分不到，则把它排除在外。）,第23页,5 举例,甲、乙、丙三系各有些人数103，63，34，有21个席位，怎样分配？,按Q值方法：,第24页,甲,1,乙,1丙,1,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,甲：11，乙：6，丙：4,第25页,练习,学校共1000学生，235人住在A楼，333人住,在B楼，432住在C楼。学生要组织一个10人,委员会，试用通例分配方法，,dHondt方法,和,Q值方法分配各楼委员数，并比较结果。,第26页,dHondt方法,有k个单位，每单位人数为 p,i，,总席位数为n。,做法：,用自然数1,2,3,分别除以每单位人数，从所得数中由大到小取前 n 个，（这n 个数来自各个单位人数用自然数相除结果），这n 个数中哪个单位有几个所分席位就为几个。,第27页,二 核军备竞赛,冷战时期美苏声称为了保卫自己安全，实施“核威慑战略”，核军备竞赛不停升级。,伴随前苏联解体和冷战结束，双方经过了一系列核裁军协议。,在什么情况下双方核军备竞赛不会无限扩张，而存在暂时平衡状态。,当一方采取加强防御、提升武器精度、发展多弹头导弹等办法时，平衡状态会发生什么改变。,预计平衡状态下双方拥有最少核武器数量，这个数量受哪些原因影响。,背景,第28页,以双方(战略)核导弹数量描述核军备大小。,假定双方采取以下一样,核威慑战略,：,认为对方可能发起所谓第一次核打击，即倾其全部核导弹攻击己方核导弹基地；,乙方在经受第一次核打击后，应保留足够核导弹，给对方主要目标以毁灭性打击。,在任一方实施第一次核打击时，假定一枚核导弹只能攻击对方一个核导弹基地。,摧毁这个基地可能性是常数，它由一方攻击精度和另一方防御能力决定。,模型假设,第29页,图模型,y,=,f,(,x,)甲方有,x,枚导弹，乙方所需最少导弹数,x,=,g,(,y,)乙方有,y,枚导弹，甲方所需最少导弹数,当,x,=0时,y,=,y,0,，,y,0,乙方,威慑值,x,y,y,0,0,y,0,甲方实施第一次打击后已经没有导弹，乙方为毁灭甲方工业、交通中心等目标所需导弹数,x,1,x,0,y,1,P,(,x,m,y,m,),x,=,g,(,y,),x,y,0,y,0,y,=,f,(,x,),y,=,f,(,x,),乙安全区,甲安全区,双方,安全区,P,平衡点(双方最少导弹数),乙安全线,第30页,甲方增加经费保护及疏散工业、交通中心等目标,乙方威慑值,y,0,变大,x,y,0,y,0,x,0,P,(,x,m,y,m,),x,=,g,(,y,),y,=,f,(,x,),甲方被动防御也会使双方军备竞赛升级。,（其它原因不变）,乙安全线,y,=,f,(,x,)上移,模型解释,平衡点,P,P,第31页,甲方将固定核导弹基地改进为可移动发射架,乙安全线,y,=,f,(,x,)不变,甲方残余率变大,威慑值,x,0,和交换比不变,x,减小，甲安全线,x,=,g,(,y,)向,y,轴靠近,x,y,0,y,0,x,0,P,(x,m,y,m,),x,=,g,(,y,),y,=,f,(,x,),模型解释,甲方这种单独行为，会使双方核导弹降低,P,P,第32页,三 产品抽样检验,产品质量是每个企业都十分关心一个问题，质量监控一个经常采取方法是抽样检验。人们设计出了各种各样给出整批产品可接收准则抽样方案。,问题,：,一个陶器企业生产咖啡杯，杯上饰以某著名运动员头像，人们设计了以下两种抽样方案：,第33页,方案A（单抽样方案）,随机地从批量中选20个杯子，假如有两个或少于两个不合格，就接收批量，不然拒绝该批量。,方案B(双抽样方案),随机地从批量中选10个杯子，假如没有不合格就接收该批量，假如有两个或多于两个不合格就拒绝该批量。而若有一个不合格，再做检验，随机地选另外10个杯子，当提取第二批抽样时，计算20个组合抽样中不合格杯子个数，如不合格数不多于1个就接收该批量，不然就拒绝该批量。,讨论这两种方法优缺点。,第34页,分析与建模,两种方法中有效性可经过首先假设不合格数所占百分比为p来进行分析。然后我们对每种方法求出接收该批量概率，并对p值一些取值范围计算其概率。,对方法A而言，若得到一个不合杯子概率为p,抽样量是20，则不合格数为2、1、0概率分别为：,第35页,把这些概率加起来，就会得到：,所以，接收该批量概率由下式给出：,对于方法B,，,第一次抽样接收概率是,假如发觉一个不合格杯子就要做第,二次抽样。10个中有1个不合格杯子概率为：,第36页,若在第二次抽样中只找到0或1个不合格杯子，则接收该批量。这时概率为：,所以，组合概率由下式给出:,因而对于方法B而言，接收概率是：,这么给出接收该批量概率为：,第37页,现在，我们对各种p值来看看怎样用这些,公式。,比如来计算一下当p=0.01和0.2时接收 概率，以下表：,方 法,概 率 P,0.01 0.2,A,B,0.999 0.206,0.995 0.208,使人感到意外是，两个方法之间相差很小，所以方法B可能是可用两种方法中很好一个，因为它可能需要较少抽样数。,第38页,需要指出是，衡量一个模型优劣全在于它应用效果，而不是采取了多么高深数学方法。深入说，假如对于某个实际问题，我们用初等方法和所谓高等方法建立了两个模型，他们应用效果相差无几，那么受到人们欢迎并采取，一定是前者而非后者。,第39页,