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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。感谢您,概率与统计,开课系：理学院 统计与金融数学系,课程主页,:,教师:陈萍,e-mail:Probstat ,第1页,教材：,概率与统计,陈萍 等编,科学出版社,参考书：1.,概率论与数理统计,浙江大学 盛骤等 编,高等教育出版社,2.概率论与数理统计三十三讲,魏振军 编,中国统计出版社,第2页,序 言,?,概率论是研究什么？,随机现象：不确定性与统计规律性,概率论研究和揭示随机现象统计规律性科学,第3页,第一章 随机事件及其概率,随机事件及其运算,概率定义及其运算,条件概率,事件独立性,第4页,1.1,随机事件及其概率,一、随机试验(简称“试验”),随机试验特点(p2),1.可在相同条件下重复进行；,2.试验可能结果不止一个,但能确定全部可能结果;,3.一次试验之前无法确定详细是哪种结果出现。,随机试验可表为,E,第5页,E,1,:,抛一枚硬币，分别用“H”和“T”表示出正面和反面;,E,2,:,将一枚硬币连抛三次，考虑正反面出现情况；,E,3,:,将一枚硬币连抛三次，考虑正面出现次数;,E,4,:,掷一颗骰子，考虑可能出现点数；,E,5,:,统计某网站一分钟内受到点击次数；,E,6,:,在一批灯泡中任取一只，测其寿命;,E,7,:任选一人，统计他身高和体重,。,随机试验例,随机事件,第6页,二、样本空间(p2),1、样本空间：试验,全部可能结果所组成集合称为样本空间，记为S=e；,2、样本点:试验每一个结果或样本空间元素称为一个样本点,记为e.,3.由一个样本点组成单点集,称为一个基本事件,也记为e.,EX 给出,E1-E7,样本空间,幻灯片 6,第7页,随机事件,1.定义,(p3定义1.1.2)试验中可能出现或可能不出现情况叫“随机事件”,简称“事件”.记作A、B、C等,任何事件均可表示为样本空间某个子集.,称,事件A发生,当且仅当试验结果是子集A中元素,2.两个特殊事件,:必定事件,S,、不可能事件,.(,p3),比如,对于试验E,2,，以下A,、,B、C即为三个,随机事件:,A“最少出一个正面”,HHH,HHT,HTH,THH，HTT，THT，TTH；,B=,“两次出现同一面”=HHH,TTT,C=“,恰好出现一次正面”=HTT，THT，TTH,再如，试验,E,6,中,D“,灯泡寿命超出1000小时”,x:1000 xm),要求第,i,组恰,有n,i,个球(i=1,m)，共有分法：,第33页,4 随机取数问题,例4 从1到200这200个自然数中任取一个,(1)求取到数能被6整除概率,(2)求取到数能被8整除概率,(3)求取到数既能被6整除也能被8整除概率,解:N(S)=200,N(3)=200/24=8,N(1)=200/6=33,N(2)=200/8=25,(1),(2),(3)概率分别为:33/200,1/8,1/25,第34页,某人向目标射击，,以A表示事件“命中目标”，,P（A）=？,?,定义:(p9)事件A,在n次重复试验中出现n,A,次，则,比值n,A,/n,称为事件A在n次重复试验中,出现,频率,，记为,f,n,(A).,即,f,n,(A)n,A,/n.,1.3 频率与概率,第35页,历史上曾有些人做过试验,试图证实抛掷匀质硬币时，出现正反面机会均等。,试验者 n n,H,f,n,(H),De Morgan 2048 1061 0.5181,Buffon 4040 2048 0.5069,K.Pearson 1 6019 0.5016,K.Pearson 24000 1 0.5005,第36页,频率性质,(,1)0,f,n,(A),1；,(2)f,n,(,S,)1；f,n,(,)=0,(3),可加性：若AB,，,则,f,n,(A,B)f,n,(A)f,n,(B).,实践证实：当试验次数n增大时，f,n,(A),逐步,趋向一个稳定值,。,可将此稳定值记作P(A)，,作为事件A概率,第37页,1.3.2.概率公理化定义,注意到不论是对概率直观了解，还是频率定义方式，作为事件概率，都应含有前述三条基本性质，在数学上，我们就能够从这些性质出发，给出概率公理化定义,第38页,1.定义(p10),若对随机试验E,所对应样本空间,中每一事件A，均赋予一实数,P(A),，,集合函数,P(A)满足条件：,(1),P(A),0,；,(2)P(,S,)1；,(3),可列可加性,：,设A,1,，A,2,，,是一列两两互不相容事件，即A,i,A,j,，(ij),i,j1,2,有,P(A,1,A,2,)P(A,1,)P(A,2,)+.(1.1),则称,P(A),为事件A,概率,。,第39页,2.概率性质,P(10-13),(1),有限,可加性,：,设A,1,，A,2,，A,n,是n个两两互不相容事件，即A,i,A,j,，(ij),i,j1,2,n,则有,P(A1,A,2,A,n,)P(A,1,)P(A,2,)+P(A,n,);,(3),事件差,A,、,B是两个事件，则,P(A-B)=P(A)-P(AB),(2),单调不减性,：若事件A,B，,则,P(A),P(B),第40页,(4),加法公式,：对任意两事件A、B，,有,P(A,B)P(A)P(B)P(AB),该公式,可推广到任意n个事件A,1,，A,2,，A,n,情形；,(3),互补性,：P(A)1 P(A);,(5),可分性,：对任意两事件A、B，有,P(A)P(AB)P(AB).,第41页,某市有甲,乙,丙三种报纸,订每种报纸人数分别占全体市民人数30%,其中有10%人同时定甲,乙两种报纸.没有些人同时订甲乙或乙丙报纸.求从该市任选一人,他最少订有一个报纸概率.,EX,解:设A,B,C分别表示选到人订了甲,乙,丙报,第42页,例1.3.2.在1,10这10个自然数中任取一数，求,（1）取到数能被2或3整除概率，,（2）取到数即不能被2也不能被3整除概率，,（3）取到数能被2整除而不能被3整除概率。,解:设A取到,数能被2整除;,B-,取到,数能被3整除,故,第43页,袋中有十只球，其中九只白球，一只红球，十人依次从袋中各取一球(不放回)，问,第一个人取得红球概率是多少？,第二 个人取得红球概率是多少？,?,1.4 条件概率,第44页,若已知第一个人取到是白球，则第二个人取到红球概率是多少？,已知事件A发生条件下，,事件B发生概率称为,A条件下B条件概率，记作P(B|A),若已知第一个人取到是红球，则第二个人取到红球概率又是多少？,第45页,一、条件概率,例1 设袋中,有3个白球，2个红球，现从袋中任意抽取两次，每次取一个，取后不放回，,（1）已知第一次取到红球，求第二次也取到红球概率;,（2）求第二次取到红球概率,（3）求两次均取到红球概率,设A第一次取到红球,B第二次取到红球,第46页,S=,A,B,A,第一次取到红球,B第二次取到红球,第47页,显然，若事件A、B是古典概型样本空间S中两个事件，其中A含有n,A,个样本点,AB,含有n,AB,个样本点，则,称为,事件A发生条件下事件B发生,条件概率,(p14),普通地，设A、B,是,S,中两个事件,，,则,第48页,?,“,条件概率”是“概率”吗？,何时P(A|B)=P(A)?,何时P(A|B)P(A)?,何时P(A|B)0,则,P(AB)P(A)P(B|A).(1.4.2),式(1.4.2)就称为事件A、B概率,乘法公式,。,式(1.4.2)还可推广到三个事件情形：,P(ABC)P(A)P(B|A)P(C|AB).(1.4.3),普通地，有以下公式：,P(A,1,A,2,A,n,)P(A,1,)P(A,2,|A,1,).P(A,n,|A,1,A,n1,).,(1.4.4),第51页,例3,合中有3个红球，2个白球，每次从袋中任取一只，观察其颜色后放回，并再放,入一只与所取之球颜色相同球，若从合中连续取球4次,试求第1、2次取得白球、,第3、4次取得红球概率。,解：设A,i,为第i次取球时取到白球，则,第52页,三、全概率公式与贝叶斯公式,例4.(p16)市场上有甲、乙、丙三家工厂生产同一品牌产品，已知三家工厂市场拥有率分别为1/4、1/4、1/2，且三家工厂次品率分别为 2、1、3，试求市场上该品牌产品次品率。,B,第53页,定义,(p17),事件组,A,1,，A,2,，A,n,(n,可为,)，称为样本空间,S,一个划分,，若满足：,A,1,A,2,A,n,B,第54页,定理1、,(p17),设A,1,，,A,n,是,S,一个划分，且P(A,i,)0，(i1，n)，,则对任何事件B,S,有,式(1.4.5)就称为,全概率公式,。,第55页,例5(P17)有甲乙两个袋子，甲袋中有两个白球，1个红球，乙袋中有两个红球，一个白球这六个球手感上不可区分今从甲袋中任取一球放入乙袋，搅匀后再从乙袋中任取一球，问此球是红球概率？,解：设A,1,从甲袋放入乙袋是白球；,A,2,从甲袋放入乙袋是红球；,B从乙袋中任取一球是红球；,甲,乙,第56页,定理2,(p18)设A,1,，,A,n,是,S,一个划分，且P(A,i,)0，(i1，n)，,则对任何事件B,S,，,有,式(1.4.6)就称为,贝叶斯公式,。,思索：上例中，若已知取到一个红球，则从甲袋放入乙袋是白球概率是多少？,答:,第57页,(P22,22.),商店论箱出售玻璃杯，每箱20只，其中每箱含0，1，2只次品概率分别为0.8,0.1,0.1，某用户选中一箱，从中任选4只检验，结果都是好，便买下了这一箱.问这一箱含有一个次品概率是多少？,解,:,设A:从一箱中任取4只检验,结果都是好.,B,0,B,1,B,2,分别表示事件每箱含0，1，2只次品,已知:P(B,0,)=0.8,P(B,1,)=0.1,P(B,2,)=0.1,由Bayes公式:,第58页,例6(p18)数字通讯过程中，信源发射0、1两种状态信号，其中发0概率为0.55，发1概率为0.45。因为信道中存在干扰，在发0时候，接收端分别以概率0.9、0.05和0.05接收为0、1和“不清”。在发1时候，接收端分别以概率0.85、0.05和0.1接收为1、0和“不清”。,现接收端接收到一个“1”信号。问发端发是0概率是多少?,),B,A,(,P,),A,(,P,),A,B,(,P,),A,(,P,),A,B,(,P,),A,(,P,),A,B,(,P,+,0.067,解：设A-发射端发射0，,B-接收端接收到一个“1”信号,0(0.55),0 1 不,清,(0.9),(0.05),(0.05),1(0.45),1 0 不,清,(0.85),(0.05),(0.1),第59页,条件概率,条件概率 小 结,缩减样本空间,定义式,乘法公式,全概率公式,贝叶斯公式,第60页,1.5 事件独立性,一、两事件独立,(P19),定义1,设A、B,是两事件，P(A)0,若,P(B)P(B|A)(1.5.1),则称事件A与B相互,独立,。,式(1.5.1)等价于：,P(AB)P(A)P(B),(1.5.2),第61页,从一付52张扑克牌中任意抽取一张，以A表示抽出一张A，以B表示抽出一张黑桃，问A与B是否独立？,定理、,以下四件事等价：,(1)事件A、B,相互独立；(2)事件A、B相互独立；,(3)事件A、B相互独立；(4)事件A、B相互独立。,第62页,二、多个事件独立,定义2、,(p20),若三个事件A、B、C满足：,(1)P(AB)=P(A)P(B),P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(B)P(C),则称事件A、B、C,两两相互独立,；,若在此基础上还满足：,(2)P(ABC)P(A)P(B)P(C),(1.5.3),则称事件,A、B、C,相互独立,。,第63页,普通地，设A,1,，A,2,，A,n,是,n,个事件,，假如对,任意k (1,k,n),任意1,i,1,i,2,i,k,n，,含有等式,P(A,i1,A,i2,A,ik,)P(A,i1,)P(A,i2,)P(A,ik,),(1.5.4),则称,n,个事件,A,1,，A,2,，A,n,相互独立,。,思索：,1.,设事件A、B、C、D相互独立，则,2.,一颗,骰子掷4次最少得一个六点与两颗骰子掷24次最少得一个双六，这两件事，,哪一个有更多机会碰到？,答:0.518,0.496,第64页,三、事件独立性应用,1、,加法公式简化,：若,事件A,1,，A,2,，A,n,相互独立,则,(1.5.5),2、,在可靠性理论上应用,P23,24如图，1、2、3、4、5表示继电器触点,假设每个触点闭合概率为,p,且各继电器接点闭合是否相互独立，求L至R是通路概率。,第65页,设A-L至R为通路,A,i,-第i个继电器通,i=1,2,5,由全概率公式,第66页,EX1:一个学生欲到三家图书馆借一本参考书每家图书馆购进这种书概率是1/2，购进这种书图书馆中该书被借完了概率也是1/2各家图书馆是否购进该书相互独立问该学生能够借到书概率是多少？,第一章 小结,本章由六个概念（随机试验、事件、概率、条件概率、独立性），四个公式（加法公式、乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式）和一个概型（古典概型）组成,第67页,