1、单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。感谢,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。感谢,第三章 随机变量数字特征,随机变量数学期望,1/24,前面讨论了随机变量概率分布,分布律、概率密度、分布函数能完整地描述随机变量统计规律性,.,但在许多实际问题中,并不需要全方面考查随机变量改变情况,而只要知道它一些数字特征即可,.,比如,在评价某地域职员收入水平
2、时,通常只要知道该地域职员平均工资。,又如,在评价一批棉花质量时,既要注意纤维平均长度,又要注意纤维长度与平均长度之间偏离程度,平均长度较大,偏离程度小,则质量就很好,.,2/24,一、,数学期望概念,1.,问题提出,1654,年,一个名叫,梅累骑士就,“,两个赌徒,约定,赌若干局,且谁先赢,c,局便算赢家,若在一,赌徒胜,a,局,(,a,c,),另一赌徒胜,b,局,(,b,c,),时便终止,赌博,问应怎样分赌本”为题讨教于帕斯卡,帕,斯卡与费马通信讨论这一问题,于,1654,年共同,建立了概率论第一个基本概念,数学期望,3/24,设某教练员有甲、乙两名射击运动员,现,需要选拔其中一名参加运动
3、会,依据过去,统计显示,二人技术水平以下,:,乙射手,甲射手,试问哪个射手技术很好,?,引例1,选拔运动员,4/24,解,:,运动员水平是经过其平均水平来衡量,故甲射手技术比很好,.,因而甲、乙两射手平均水平分别为,甲射手,乙射手,5/24,引例2,加权平均成绩,为该生各门课程,算术平均成绩,.,设某学生大学四年各门课程,成绩分别为,其学分分别为,则称,6/24,显然算术平均成绩是加权平均成绩一个特例,令,因为加权平均考虑了各课程学分占总学分,即 ，,比重，可见加权平均才充分地表达了平均值意义,.,7/24,定义,1,设离散型随机变量,X,分布律为,数学期望,E,(,X,),反应了离散型随机变
4、量,取值平均水平,，它是随机变量主要数字特征,.,假如,则称级数,绝对收敛，,X,数学期望,简称,期望,记作,E,(,X,),即,为,2.离散型随机变量数学期望,8/24,注,1,E,X,是一个实数,而,非,变量,它是一个,加权平均,与普通平均值不一样,它从本质上表达了随机变量,X,取值,平均水平,也称为,均值,.,注,2,级数绝对收敛性,确保了级数和不随级数各项次序改变而改变,之所以这么要求是因为数学期望是反应随机变量,X,取值平均,它不会因为可能值排列次序而改变,.,9/24,假如不计算其它费用,保险企业预期平均从,每个被保险人身上盈利,100,元,试问每年应收被保险人保险费多少元,?,例
5、保险企业对机动车进行保险,.,设保险企业对每个被保险人赔偿钱数,(,单位,:,元,),为随机变量,X,其分布律为,X,P,100 000 10 000 5 000 1 000 0,0.001 0.005 0.05 0.1 0.844,10/24,X,P,100 000 10 000 5 000 1 000 0,0.001 0.005 0.05 0.1 0.844,分析,:,保险企业一定要先预算出对每个被保险人平均赔偿金,这个平均赔偿金就是,X,数学期望,.,保险企业预期平均对每个被保险人赔偿,500,元,保险企业又预期平均从每个被保险人身上盈利,100,元,故保险企业应收被保险人保险费,60
6、0,元,.,11/24,设随机变量,X,服从参数为,n,p,二项分布,例,1,(,二项分布,),设随机变量,X,B,n,p,求,E,X,.,解,则有,3.常见离散型随机变量数学期望,其分布律为,12/24,同时可得两点分布,B,1,p,数学期望为,p,.,np,13/24,解,则有,例2,(,泊松分布,),因而泊松分布,P,数学期望为,.,设,X,且其分布律为,设随机变量,X,P,(,),求,E,X,.,14/24,常见离散型随机变量数学期望,15/24,16/24,4.连续型随机变量数学期望定义,定义,2,设连续型随机变量,X,概率密度为,则称积分,值为随机变量,X,绝对收敛，即,数学期望,f,x,，若积分,记为,E,X,即,17/24,注,:,并非全部随机变量都有期望！,18/24,均匀分布,:,5.常见连续型随机变量数学期望,19/24,标准正态分布,:,X N,(0,1),正态分布,:,指数分布,:,20/24,常见连续型随机变量数学期望小结,21/24,22/24,23/24,作业,P54：3，6，8,24/24,
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