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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢您,薛定谔方程,（Schrodinger equation）,第二章,第1页,1,本章目录,2.1 薛定谔方程建立,2.2 无限深方势阱中粒子,2.3 势垒穿透,2.4 一维谐振子,*2.5,力学量,算符本征值问题,第2页,2,德拜,指出：,几周后薛定谔,找到,（提出）了波函数满足微,薛定谔方程是描述微观粒子,基本方程，,它最初只是一个假定，,2.1 薜定谔方程建立,“对于波，应该有一个波动方程。”,从而建立了描述微观粒,子运动规律学科,量子力学。,它是不能够由其它基本原理,推导出来，,以后经过,试验检验了它正确性。,1925年,薛定谔,在介绍,德布罗意波汇报后，,分方程,薛定谔方程，,同牛顿定律一样，,第3页,3,Erwin Schrodinger,奥地利人,1887-1961,创建量子力学,1933年诺贝尔,物理学奖取得者,薛定谔,第4页,4,一.薛定谔方程,（1926）,寻找粒子满足微分方程思绪：,在非相对论情况下，有：,由,一维自由粒子波函数,又,比较上两式得：,这就是,一维自由粒子波函数,满足微分方程。,第5页,5,若粒子在势场中，势能函数为,U,(,x,t,)，,则粒子总能量,于是有：,又,比较上两式得：,这就是,一维势场中,粒子,满足微分方程。,第6页,6,三维情形：,令,引入,算符,非定态薛定谔方程,以上是,非相对论、不发生实物粒子产生和淹,灭,（可发射、吸收）时粒子波函数满足方程，,它是非相对论量子力学基本方程。,(Hamiltonian operator),哈密顿算符,若,则称 为能量算符,（反应粒子总能量）,引入 后，有,第7页,7,一个,“基本假定”。,二.关于薛定谔方程讨论,1.薛定谔方程,是,线性,偏微分方程，,若 和 是薛定谔方程解，,则 也是薛定谔方程解。,2.薛定谔方程关于时间是一阶，,经典波动方程：,（时间二阶）,薛定谔方程,是量子力学,解满足态叠加原理。,所以它,这不一样于,第8页,8,则薛定,谔,方程可,分离变量。,三.定态薛定谔方程,则有：,若 与,t,无关，,设,双方同除,必须为常量,则,分别有：,和,第9页,9,振动因子,称为,定态薛定谔方程，,方程,解为,式中,E,含有能量量纲，,A,0,能够是复数。,方程,其解依赖于,形式。,对,自由粒子，,U,=0，,其,一维定态薛定谔方程：,第10页,10,该方程解为,若令,则,E,正是粒子能量，,p,正是粒子动量。,自由粒子波函数,令,普通情况下：,这种,E,取定值,状态称,定态,（stationary state），,以后我们将只研究定态。,第11页,11,海森伯,（Heisenberg，德，1932 Nob)，,海森伯,狄拉克,泡利,（1901,1976）,（1902,1984）,（1900,1958）,狄拉克,（Dirac，英，1933,Nob,），,泡利,（Pauli，美，1945,Nob），,都对量子力学做出了主要贡献。,第12页,12,2.2 无限深方势阱中粒子,从数学上来讲：,E,不论为何值该方程都有解。,连续和归一，,从物理上来讲：,特定,E,值称为,能量本征值。,本节我们将在一个详细情况下，求解,定态薛定谔方程,E,只有取一些特定值，该方,程解才能满足波函数条件单值、有限、,特定,E,值所对应,方程称为,能量本征方程，,对应,波函数称为,能量本征函数。,第13页,13,一.一维无限深方形势阱中波函数与能量,极,限,a,金属,U,(,x,),U,=,U,0,U,=,U,0,E,U,=0,x,0,U,=0,E,U,U,U,(,x,),x,0,无限深方势阱,（potential well）,第14页,14,E,0，,可令,通解：,待定常数,A,、,由,应满足物理条件决定。,以上解已自然满足,单值，有限,条件。,第15页,15,连续条件：,因为边界外,=0，所以有：,由此得：,其中,l,1,和,l,2,是整数。,将上两式相加得：,令,即,l,也是整数,l,取0或1时,(,x,)有以下两种表示：,第16页,16,是奇函数,(odd function),是偶函数,(even function),1.能量,E,l,=0 时，,=0，,l,=1 时，,=,/,2,，,l,为其它整数值时，,所得解与,o,(,x,)、,e,(,x,),形式相同（可能差正、负号，,但不影响|,|,2,）。,从能量意义看，应有,E,0，,但,能否,E,=0呢？,在限定粒子位置范围情况下（在势阱中），,由不确定关系知，动量不确定量应不为零，,所以动量,P,0，,E,0,第17页,17,由,由,能量,E,能连续吗？,二者合并在一起，可得,得,由,第18页,18,这表明，束缚在势阱内粒子能量只能取,离散值,E,n,能量量子化，,每一能量值对应,一个,能级，,E,n,称为,能量本征值，,n,称为,量子数。,最低能量,零点能,能级间隔,宏观情况或量子数很大时，可认为能量连续。,第19页,19,2.波长,由能量、动量关系和德布罗意关系，有,德布罗意波长,上式表明，德布罗意波含有驻波形式,每一个能量本征态，,因为势阱中德布罗意波只有形成驻波才能,稳定，,所以也能够反过来说，,势阱中能量,量子化是德布罗意波形成驻波必定结果。,（势阱边界为波节）。,对应于德布罗意波一个特定波长驻波。,第20页,20,3.波函数,（1）波函数空间部分,归一化条件：,由此得,第21页,21,所以有,能量本征函数：,（2）全部波函数,考虑,振动因子,有,函数所描写状态称粒子,“能量本征态”。,该函数称,“能量本征波函数”每个本征波,（3）概率密度：,（驻波解）,第22页,22,n,很大时，,势,阱内粒子概率,分布趋于均匀。,量子 经典,|,2,n,|,E,n,|,2,n,|,束缚态,(bound state),E,1,E,2,E,3,E,4,E,n,n,0,x,势阱内粒子概率分布与经典情况不一样,玻尔对应原理,第23页,23,2.3 势垒穿透,（barrier penetration）,一.粒子进入势垒,粒子从,x,=-,处以能量,E,入射，,金属或半导体接触处势能隆起，形成势垒。,势垒物理模型：,入射能量,E,0）,：,x,区,0,区,E,U,0,U,(,x,),1,2,令,有,第25页,25,入射波,反射波,透射,3.通解,当,x,时,，,2,(,x,),应有限,，,得,D,=0，,E,U,0,2,透射,1,入射+反射,x,区,区,0,于是有,（波动型解）,（指数型解）,第26页,26,可见在（,E,U,0,）,区域粒子出现概率,0,4.概率密度,（II 区）,U,0,、,x,透入概率,经典：,粒子不能进入,E,U,0,能够有：,粒子穿过势垒区和能量守恒并不矛盾。,只要势垒区宽度,x,=,a,不是无限大，,粒子有波动性，遵从不确定关系，,从能量守恒角度看是不可能。,以至,第30页,30,经典,量子,隧道,效应,第31页,31,三.隧道效应应用,隧道二极管，金属场致发射，核,衰变，,1.核,衰变,U,Th+He,238,234,4,是经过,隧道效应出来。,对不一样核，算出衰变概率和试验一致。,r,R,U,35MeV,4.25MeV,0,核力势能,库仑势能,第32页,32,2.扫描隧道显微镜,（STM）,（Scanning Tunneling Microscopy）,STM,是一项技术上重大创造，,原理：,利用量子力学隧道效应,1986.Nob：,鲁斯卡,（E.Ruska）,1932创造电,子显微镜,毕宁,（G.Binning）,罗尔,（Rohrer）,创造STM,表面微观结构,（不接触、不破坏样品）。,用于观察,第33页,33,U,0,U,0,U,0,A,常量,样品表面平均势,垒高度（eV）,d,1nm（10A）,。,d,变,i,变，反应表面情况。,A,B,d,E,隧道电流,i,A,B,U,d,探针,样品,电子云重合,第34页,34,竖直分辨本事可达约10,2,nm；,横向分辨本事与探针、样品材料及绝缘物相关，,技术关键：,1.消震：,多级弹簧，底部铜盘涡流阻尼。,2.探针尖加工：,电化学腐蚀，强电场去污，,针尖只有12个原子！,3.驱动和到位：,利用压电效应逆效应 电致伸缩，,一步步扫描，扫描一步0.04nm，扫描1(,m),2,约0.7s。,4.反馈：,保持,i,不变,d,不变（不撞坏针尖）。,d,变 0.1nm,i,变几十倍，非常灵敏。,在真空中可达 0.2 nm。,第35页,35,隧道电流,反馈传感器,参考信号,显示器,压电控制,加电压,扫描隧道显微镜示意图,第36页,36,中国科学院化学研究所研制CSTM-9000型,STM,第37页,37,用STM得到神经细胞象,硅表面STM扫描图象,第38页,38,用原子操纵写出“100”和“中国”,第39页,39,1991年恩格勒等用,STM,在镍单晶表面逐一移动氙原子，拼成了字母,IBM，,每个字母长5纳米,第40页,40,1991年2月IBM“原子书法”小组又创造出“分子绘画”艺术,“CO,小人”,图中每个白团是单个CO分子竖在铂片表面上图象，,上端为氧原子,CO分子间距：0.5 nm,“分子人”身高：5 nm,堪称世界上最小“小人图”,移动分子试验成功，表明人们朝着用单一原子和小分子组成新分子目标又前进 了一步，其内在意义当前尚无法估量。,第41页,41,镶嵌了48个Fe原子Cu表面,STM照片,Fe,原子间距：0.95 nm，,圆圈平均半径：7.13,nm,48个Fe原子形成,“量子围栏”,，,围栏中电子形成驻波。,第42页,42,谐振子不但是经典物理主要模型，,而且也是量子物理主要模型。,如：,黑体辐射、,分子振动，,若选线性谐振子平衡位置为坐标原点,和势能,m,粒子质量,k,谐振子劲度系数,谐振子角频率,2.4 一维谐振子,零点，,则一维线性谐振子势能能够表示为：,晶格点阵振动,。,1.势能,第43页,43,2.谐振子定态薛定谔方程,3.谐振子能量,n,=0,1,2,解定态薛定谔方程得,由,和,有,第44页,44,能量特点：,(1)量子化，等间距：,符合不确定关系,(3)有选择定则：,(2)有零点能：,所以室温下分子可视为刚性。,能级跃迁要满足,(4)当,n,时，,符合,玻尔对应原理。,能量量子化,能量连续,（宏观振子能量对应,n,10,25,，,E,10,-33,J,）,分子振动,E,（10,2,10,1,eV）,kT,(室温,)，,第45页,45,4.,谐振子,波函数,H,n,是,厄密,（Hermite）,多项式，,最高阶是,第46页,46,5.概率密度,波函数,概率密度,n,=0,x,n,=0,x,n,=1,x,n,=1,x,n,=2,x,n,=2,x,第47页,47,线性谐振子,n,=11 时概率密度分布：,经典谐振子在原点速度最大，停留时间短，,振子在两端速度为零，,粒子出现概率小；,出现概率最大。,虚线是经典结果,第48页,48,x,n,很大,E,n,E,1,E,2,E,0,0,U,(,x,),概率密度特点：,(1),概率在,E,U,区仍有分布,隧道效应,第49页,49,比如基态位置概率分布在,x,=0 处最大，,(3)当,n,时，,经典振子,在,x,=0处概率最小。,符合,玻尔对应原理。,量子概率分布,x,n,很大,0,n,=1,n,=2,n,=3,U,(,x,),(2),n,小时，概率分布与经典谐振子完全不一样,经典概率分布，,第50页,50,以位矢 为自变量空间，称,“位置表象”。,*2.5 力学量算符及其本征值问题,“算符化”。,由不确定关系知，在位置表象中动量 并,不存在，,不然“轨道”概念就成立了。,在量子力学中，,角动量,和能量等力学量问题时，,处理,诸如动量、,需要将这些,力学量,第51页,51,一维自由粒子波函数,对,求导,，得到方程：,一.力学量算符引入,第52页,52,由以上对波函数求导操作得到物理启示：,定义,能量算符、动量算符,和,坐标算符,分别为,将它们作用到一维自由粒子波函数上，有,第53页,53,坐标函数力学量,，,其量子力学所对应,如势能,和作用力 。,与动量相关经典力学量,，,其量子力学所,比如，,动能算符表示式：,所以在位置表象,中，算符化规则是：,（在直角坐标中）,算符形式不变。,对应算符可用动量对应关系得出。,由,给出,第54页,54,角动量算符表示式：,在直角坐标中：,第55页,55,在球极坐标中：,角动量算符模方为：,（直角坐标）,（球极）,第56页,56,任一力学量,（经典）,（量子）,二.力学量算符,本征值和本征函数,当算符 作用在函数 上，若其结果是,描述力学量,A,取确定值 时,本征态,称上式为算符,本征方程,（,eigenequation）,称为力学量,A,一个,本征值eigenvalue）,称为对应于,A,n,本征函数,（eigenfunction）,同一个函数乘以一个常量时：,第57页,57,由本征方程解出全部本征值就是对应力学,组成力学量,A,本征函数系,组成力学量,A,本征值谱,（spectrum）,如定态薛定谔方程：,就是能量本征方程，,就是能量算符，,本函数,n,是,A,取定值,A,n,本征态。,在态,n,上测量力学量,A,，只能测得,A,n,。,n,就是能量取本征值,E,n,时本征函数。,量可能取值,。,第58页,58,在直角坐标系下，该动量本征方程解为：,这正是一维自由粒子波函数空间部分，,比如动量算符,本征方程是,它给定了自由粒子动量,p,x,。,第59页,59,三.本征函数性质,（以一维为例）,1.,本函数,是,A,取定值,A,n,态。,在态,n,(,x,),上测量力学量,A,，只能测得,A,n,。,2.,本函数系,组成正交、归一完,备函数系：,（1）本征函数总能够归一化：,（2）本征函数有正交性（可严格证实）：,1，,m,=,n,0，,m,n,第60页,60,（3）本征函数含有完备性：,任一物理上合理归一化波函数，都可由,C,n,2,为,(,x,)中包含,n,(,x,)状态百分比。,力学量,A,本征函数系展开：,第61页,61,3.力学量,A,平均值,在状态,(,x,),上对力学量,A,作屡次（大数）,能够证实有,第二章结束,测量，,则,A,平均值为,即由本征函数可计算力学量平均值。,第62页,62,