数学建模马氏链模型省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件.ppt

本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢,第十二章 马氏链模型,12.1,健康与疾病,12.2,钢琴销售存贮策略,12.3,基因遗传,12.4,等级结构,12.5,资金流通,第1页,马氏链模型,系统在每个时期所处状态是随机,.,从一时期到下时期状态按一定概率转移,.,下时期状态只取决于本时期状态和转移概率,.,已知现在，未来与过去无关（无后效性）,描述一类主要,随机,动态,系统,(,过程,),模型,.,马氏链,(Markov Chain),时间、状态均为离散随机转移过程,第2页,经过有实际背景例子介绍马氏链基本概念和性质,.,例,1.,人健康情况分为健康和疾病两种状态，设对特定年纪段人，今年健康、明年保持健康状态概率为,0.8,而今年患病、明年转为健康状态概率为,0.7.,12.1,健康与疾病,人健康状态伴随时间推移会随机地发生转变,.,保险企业要对投保人未来健康状态作出预计,以制订保险金和理赔金数额,.,若某人投保时健康,问,10,年后他仍处于健康状态概率,.,第3页,X,n,+1,只取决于,X,n,和,p,ij,与,X,n,-1,无关,状态,与,状态转移,状态转移含有,无后效性,0.8,0.2,0.3,0.7,1,2,第4页,n,0,a,2,(,n,)0,a,1,(,n,)1,设投保时健康,给定,a,(0),预测,a,(,n,),n,=1,2,设投保时疾病,a,2,(,n,)1,a,1,(,n,)0,n,时状态概率趋于稳定值,稳定值与初始状态无关,.,3,0.778,0.222,7/9,2/9,0.7 0.77 0.777,0.3 0.23 0.223,7/9,2/9,状态,与,状态转移,1,0.8,0.2,2,0.78,0.22,0.8,0.2,0.3,0.7,1,2,第5页,1,2,3,0.1,0.02,1,0.8,0.25,0.18,0.65,例,2.,健康和疾病状态同上，,X,n,=1,健康,X,n,=2,疾病,p,11,=0.8,p,12,=0.18,p,13,=0.02,死亡为第,3,种状态，记,X,n,=3,健康与疾病,p,21,=0.65,p,22,=0.25,p,23,=0.1,p,31,=0,p,32,=0,p,33,=1,第6页,n,0 1 2 3,a,2,(,n,)0 0.18 0.189 0.1835,a,3,(,n,)0 0.02 0.054 0.0880,a,1,(,n,)1 0.8 0.757 0.7285,设投保时处于健康状态，预测,a,(,n,),n,=1,2,不论初始状态怎样，最终都要转到状态,3,；,一旦,a,1,(,k,)=,a,2,(,k,)=0,a,3,(,k,)=1,则对于,nk,a,1,(,n,)=0,，,a,2,(,n,)=0,a,3,(,n,)=1,即从状态,3,不会转移到其它状态,.,状态,与,状态转移,0,0,1,50,0.1293,0.0326,0.8381,第7页,马氏链基本方程,基本方程,第8页,马氏链两个主要类型,1.,正则链,从任一状态出发经有限次转移,能以正概率抵达另外任一状态,(,如例,1).,w,稳态概率,第9页,马氏链两个主要类型,2.,吸收链,存在吸收状态（一旦抵达就不会离开,状态,i,p,ii,=1,）,且,从任一非吸收状态出发经有,限次转移能以正概率抵达吸收状态,(,如例,2).,有,r,个吸收状态吸收链转移概率阵,标准形式,R,有非零元素,y,i,从第,i,个非吸收状态出发，被某个吸收状态吸收前平均转移次数,.,第10页,12.2,钢琴销售存贮策略,钢琴销售量很小，商店库存量不大以免积压资金,.,一家商店依据经验预计，平均每七天钢琴需求为,1,架,.,存贮策略,：每七天末检验库存量，仅当库存量为零时，才订购,3,架供下周销售；不然，不订购,.,预计在这种策略下失去销售机会可能性有多大,?,以及每七天平均销售量是多少,?,背景与问题,第11页,问题分析,用户到来相互独立，需求量近似服从泊松分布，其参数由需求均值为每七天,1,架确定，由此计算需求概率,.,存贮策略是周末库存量为零时订购,3,架,周末库存量可能是,0,1,2,3,，周初库存量可能是,1,2,3.,用马氏链描述不一样需求造成周初库存状态改变,.,动态过程中每七天销售量不一样，失去销售机会（需求超出库存）概率不一样,.,可按稳态情况（时间充分长以后）计算失去销售机会概率和每七天平均销售量,.,第12页,模型假设,钢琴每七天需求量服从泊松分布，平均每七天,1,架,.,存贮策略,：当周末库存量为零时，订购,3,架，周初到货；不然，不订购,.,以每七天初库存量作为状态变量，状态转移含有没有后效性,.,在稳态情况下计算失去销售机会概率和每七天平均销售量,作为该存贮策略评价指标,.,第13页,模型建立,D,n,第,n,周需求量，均值为,1,泊松分布,S,n,第,n,周初库存量,(,状态变量,),状态转移规律,D,n,0 1 2 3 3,P,0.368 0.368 0.184 0.061 0.019,状态转移阵,第14页,模型建立,状态概率,马氏链基本方程,正则链,稳态概率分布,w,满足,wP=w,已知初始状态，可预测第,n,周初库存量,S,n,=i,概率,n,状态概率,第15页,第,n,周失去销售机会概率,n,充分大时,模型求解,从长久看，失去销售机会可能性大约,10%.,1.,预计失去销售机会可能性,D,0 1 2 3 3,P,0.368 0.368 0.184 0.061 0.019,存贮策略评价指标,0.105,第16页,模型求解,第,n,周平均售量,从长久看，每七天平均销售量为,0.857,(,架,),n,充分大时,需求不超出存量,需求被售,需求超出存量,存量被售,2.,预计每七天平均销售量,存贮策略评价指标,每七天平均需求量,1,架,0.857,第17页,敏感性分析,当平均需求在每七天,1(,架,),附近波动时，最终止果有多大改变。,设,D,n,服从均值,泊松分布,状态转移阵,0.8,0.9,1.0,1.1,1.2,P,0.073,0.089,0.105,0.122,0.139,第,n,周,(,n,充分大,),失去销售机会概率,当平均需求,(,=,1.0),增加,(,或降低,),10%,时，,失去销售机会概率,P,将增加,(,或降低,),约,15%,.,第18页,12.3,基因遗传,背景,生物外部表征由内部对应基因决定基因分,优势基因,d,和,劣势基因,r,两种,.,每种外部表征由两个基因决定,每个基因,能够是,d,r,中任一个,.,形成,3,种基因类型：,dd,优种,D,dr,混种,H,rr,劣种,R,.,基因类型为优种和混种,外部表征呈,优势,；,基因类型为劣种,外部表征呈,劣势,.,生物繁殖时后代随机地（等概率地）继承,父、母各一个基因，形成它两个基因,.,父母基因类型决定后代基因类型概率,.,完全优势基因遗传,第19页,父母基因类型决定后代各种基因类型概率,父母基因类型组合,后代各种,基因类型,概率,DD,RR,DH,DR,HH,HR,D,R,H,1,0,0,0,0,1,1/2,1/2,0,01,0,1/4,1/2,1/4,0,1/2,1/2,3,种基因类型：,dd,优种,D,dr,混种,H,rr,劣种,R,完全优势基因遗传,P,(,D,DH,)=,P,(,dd,dd,dr,)=,P,(,d,dd,),P,(,d,dr,),P,(,R,HH,)=,P,(,rr,dr,dr,)=,P,(,r,dr,),P,(,r,dr,),=11/2=,1/2,=1/21/2=,1/4,第20页,随机繁殖,设群体中雄性、雌性百分比相等，,基因类型分布相同,(,记作,D,:,H,:,R,).,每一雄性个体以,D,:,H,:,R,概率与一雌性个体,交配，其后代随机地继承它们各一个基因,.,设初始一代基因类型百分比,D,:,H,:,R,=,a,:2,b,:,c,（,a+2b+c=,1),记,p=a+b,q=b+c,则群体中优势,基因和劣势基因百分比,d,:,r=p,:,q,(,p+q,=1).,假设,建模,状态,X,n,=1,2,3,第,n,代一个体属于,D,H,R,状态概率,a,i,(,n,),第,n,代一个体属于状态,i,(=1,2,3),概率,.,讨论基因类型演变情况,第21页,基因百分比,d:r=p:q,转移概率矩阵,状态转移概率,随机繁殖,第22页,马氏链模型,自然界中通常,p=q,=1/2,稳态分布,D,:,H,:,R,=1/4:1/2:1/4,基因类型为,D,和,H,优势表征,绿色，,基因类型为,R,劣势表征,黄色,.,解释“豆科植物茎，绿色,:,黄色,=3:1”,(,D+H,):,R,=3:1,随机繁殖,第23页,近亲繁殖,在一对父母大量后代中,雄雌随机配对繁殖，讨论一系列后代基因类型演变过程。,状态定义为配正确基因类型组合,X,n,=1,2,3,4,5,6,配对基因组合为,DD,RR,DH,DR,HH,HR,状态转移概率,马氏链模型,第24页,I,0,R,Q,状态,1(,DD,),2(,RR,),是吸收态，马氏链是吸收链,不论初始怎样，经若干代近亲繁殖，将全变为优种或劣种,.,计算从任一非吸收态出发，平均经过几代被吸收态吸收,.,纯种,(,优种和劣种,),一些品质不如混种，近亲繁殖下大约,56,代就需,重新选种,.,近亲繁殖,第25页,12.4,等级结构,社会系统中需要适当且稳定等级结构,.,描述,等级结构,演变过程,，预测未来结构,.,确定为到达某个理想结构应,采取策略,.,引发等级结构改变原因：,系统内部等级间,转移,：提升和降级,.,系统内外,交流,：调入和退出,(,退休、调离等,).,用马氏链模型描述确定性转移问题,(,将转移百分比视为概率,).,第26页,基本模型,a,(,t,),等级结构,等级,i,=1,2,k,（如助教、讲师、教授）,数量分布,n,(,t,)=(,n,1,(,t,),n,2,(,t,),n,k,(,t,),n,i,(,t),t,年属于等级,i,人数，,t,=0,1,百分比分布,a,(,t,)=(,a,1,(,t,),a,2,(,t,),a,k,(,t,),转移矩阵,Q,=,p,ij,k,k,p,ij,是每年从,i,转至,j,百分比,第27页,基本模型,r,i,每年调入,i,百分比,(,在总调入人数中,),p,ij,每年从,i,转至,j,百分比,第28页,基本模型,基本模型,第29页,基本模型,等级结构,a,(,t,),状态概率,P,转移概率矩阵,第30页,用调入百分比进行稳定控制,问题：给定,Q,哪些等级结构能够用适当调入百分比保持不变,a,为稳定结构,第31页,用调入百分比进行稳定控制,求稳定结构,a,=a,1,a,2,a,3,),(,a,1,+,a,2,+,a,3,=1),(0.5,0.5,0),a,2,=,a,1,a,3,=1.5,a,2,(0,0.4,0.6),a,*,B,(0,0,1),(0,1,0),(1,0,0),A,例,大学教师,(,助教、讲师、教授,),等级,i,=1,2,3,，已知每年转移百分比,可行域,A,稳定域,B,第32页,用调入百分比进行稳定控制,研究稳定域,B,结构,寻求,a,aQ,另一个形式,第33页,用调入百分比进行稳定控制,稳定域,B,是,k,维空间中以,s,i,为顶点凸多面体,研究稳定域,B,结构,第34页,用调入百分比进行稳定控制,例,(0,1,0),1,0,0),(0,0,1),0.286,0.286,S,1,S,2,S,3,B,稳定域,B,是以,s,i,为顶点三角形,第35页,用调入百分比进行,动态,调整,问题：给定,Q,和初始结构,a,(0),求一系列调入百分比,r,使尽快到达或靠近理想结构,逐步法：对于,Q,和,a,(0),求,r,使,a,(1),尽可能靠近,a,*,再将,a,(1),作为新,a,(0),继续下去,.,模型,第36页,例,(0,1,0),(1,0,0),(0,0,1),a,(0),0.286,0.286,a,*,a,(1),用调入百分比进行,动态,调整,求,r,使,a,(1),尽可能靠近,a,*,),428,.,0286,.,0,286,.,0,(,),1,0,0,(,),0,(,*,=,=,a,a,设,第37页,7,4,2,3,5,6,0.639,0.361,0,0.165,0.165,0.670,0.747,0.253,0,0.207,0.207,0.586,0.827,0.173,0,0.235,0.235,0.531,0.883,0.117,0,0.253,0.253,0.495,0.922,0.078,0,0.264,0.264,0.472,0.949,0.051,0,r,(,t,),a,(,t,),计算结果,a,(7),已靠近,a,*,观察,r,(,t,),特点,0.272,0.272,0457,用调入百分比进行,动态,调整,1,0.5,0.5,0,0.1,0.1,0.8,r,(,t,),a,(,t,),t,),428,.,0,286,.,0,286,.,0,(,),1,0,0,(,),0,(,*,=,=,a,a,设,第38页,等 级 结 构,等级结构演变、预测和控制在社会系统中有,广泛应用,.,讨论总人数和内部转移百分比不变情况下,用调入,百分比控制级结构改变,.,建立等级结构演变过程基本方程,预测未来结构,.,讨论各种推广情况：总人数按照一定百分比增加；,调入百分比有界；调入百分比固定而用内部转移百分比,控制级结构改变,.,第39页,12.5,资金流通,背景,各地域之间资金每年按一定百分比相互流通,.,各地域每年有资金流出并不再回来,.,银行计划每年向各地域投放或收回一定,资金,使各地域资金分布趋向稳定,.,建立模型描述各地域资金分布改变规律,.,讨论什么情况下分布趋向稳定,.,确定银行应投放或收回多少资金,.,问题,第40页,问题分析,资金流通,与“等级结构”进行类比,等级结构,地域间资金流通,等级间组员转移,资金流出地域,组员退出系统,银行向地域投放资金,从外部向系统调入组员,银行投放资金可为负值（收回资金）,调入组员数量不能为负值,各地域资金总和每年改变,系统总人数每年不变,相同点,不一样点,第41页,基本模型,资金分布,c,(,t,)=(,c,1,(,t,),c,2,(,t,),c,k,(,t,),，,c,i,(,t,),第,t,年地域,i,资金，,t,=0,1,2,，,i,=1,2,k,资金投放,d,=(,d,1,d,k,),d,i,每年向地域,i,投放资金（负值表示收回资金）,转移矩阵,Q,=,p,ij,k,k,p,ij,每年资金从地域,i,转至,j,百分比,第42页,基本模型,k,个地域资金看作系统,k,个状态,并增加状态,0,表示资金退出系统（吸收状态）,.,资金在,k+,1,个状态间转移矩阵,用马氏链模型描述,若存在稳定分布,c,(,)=,c,*,需检验对任意,t,i,c,(,t,),0.,计算,第43页,例,3,个地域资金转移百分比矩阵为,要到达稳定分布,c,*,=,(12,6,3),求银行每年向各地域投放资金,d.,c,(0),9,3,6,c,(1),10,7,2,c,(2),11.6667,5.6667,2.3333,c,(10),11.8359,5.7097,2.7432,若资金初始分布,c,(0)=(9,3,6),资金流通,若资金初始分布,c,(0)=(3,3,3),能到达稳定分布,c,*,吗,?,计算,向地域,1,投放,6,地域,2,投放,2,从地域,3,收回,4.,对任意,t,i,c,(,t,),0?,第44页,c,(0),3,3,3,c,(1),8,5,-1,不能到达稳定分布,c,*,c,(0),9,3,6,c,(1),10,7,2,c,(2),11.6667,5.6667,2.3333,c,(10),11.8359,5.7097,2.7432,资金流通,例,若资金初始分布,c,(0)=(3,3,3),能到达稳定分布,c,*,吗,?,0,(,同前,),对于初始分布,c,(0)=(9,3,6),对任意,t,i,c,(,t,),0?,第45页,