第六章-测量误差的基本知识.ppt

第六章测量误差的基本知识,第一节 测 量 误 差,第二节 偶然误差的特性,第三节 评定精度的指标,第四节 误差传播定律,第五节 算术平均值及观测值的中误差,第六节 加权平均值及其精度评定,第一节 测 量 误 差,一、观测条件,测量误差产生的原因很多，概括起来，有以下三个方面：,在同一个量的各观测值之间，或在各观测值与其理论上的应有值之间存在差异的现象，在测量工作中是普遍存在的。为什么会产生这种差异呢？,测量仪器,观测者,外界条件,人、仪器和环境是测量工作得以进行的必要条件，通常把这三个方面综合起来称为,观测条件,。,在测量中产生误差是不可避免的。,二、测量误差的分类,1.系统误差,在相同的观测条件下进行一系列的观测，如果出现的误差在大小、符号上表现出系统性，或在观测过程中按一定的规律变化，或者为某一常数，这种误差称为“,系统误差,”。,系统误差对观测值的影响一般具有,累积性,，消除或减弱系统误差影响的措施：,可以通过对观测值施加改正,采用用一定的测量方法,二、测量误差的分类,2.偶然误差,在相同的观测条件下进行一系列的观测，如果误差在符号和大小上都表现出偶然性，即从单个误差看，该系列误差的大小和符号没有任何规律性，但就大量误差的总体而言，具有一定的统计规律，这种误差称为,偶然误差,。,偶然误差是由人力所不能控制的因素或无法估计的因素（如人眼的分辨能力、仪器的极限精度和气象因素等）引起的测量误差。,通过,多次重复观测取平均值,，可以抵消一些偶然误差。,二、测量误差的分类,3.粗差,粗差即粗大误差，是指比在正常观测条件下所可能出现的最大偶然误差还要大的误差。,粗差要比偶然误差大上好几倍。,在,对观测列进行数据处理,时，应该采用各种方法来消除或削弱系统误差的影响，使之达到实际上可以忽略不计的程度；探测粗差的存在并剔除粗差。那么，该观测列中主要是存在着偶然误差。,三、多余观测,要使,观测值的个数多于未知量的个数,，就要进行多余观测。,为了检查和及时发现观测值中有无粗差存在，,为了提高最后结果的质量。,通过多余观测必然会发现在观测结果之间不相一致或不符合应有关系而产生的不符值。第二节 偶然误差的特性,任何一个被观测量客观上总是存在着一个能代表其真正大小的数值，这一数值就称为该被观测量的,真值,，用,X,表示。,通过观测得到的数值称为该量的,观测值,。,设:对某一量进行了,n,次观测，其观测值用,l,i,（,i,=1,，,2,，,n,）表示。,i,=,X,l,i,，（,i,=1,，,2,，,n,）,(6-1),式中，,称为,真误差,（简称误差），此处,仅指偶然误差。,一、误差分布表,例：在相同的观测条件下，独立地观测了 358 个三角形的全部内角，设三角形内角和的真值为,X,，三角形内角和的观测值为,L,i,，则三角形内角和的真误差（,三角形闭合差,）为；,i,=,X,L,i,（,i,=1,2,3,358）,计算每个三角形内角之和的偶然误差（三角形闭合差），将它们分为负误差和正误差，按误差绝对值由小到大排列次序。以误差区间,d,=3进行误差个数,k,的统计，并计算其相对个数,k,i,n,（n358），,k,i,n,称为,“误差出现在某个区间内”这一事件的,频率,。,误 差 分 布 表,误差区间(,d,),/(),负误差,正误差,备,注,k,k,/,n,k,k,/,n,d,=3,等于区间左端值的误差算入该区间内。,0,3,45,0.126,46,0.128,3,6,40,0.112,41,0.115,6,9,33,0.092,33,0.092,9,12,23,0.064,21,0.059,12,15,17,0.047,16,0.045,15,18,13,0.036,13,0.036,18,21,6,0.017,5,0.014,21,24,4,0.011,2,0.006,24,以上,0,0,0,0,181,0.505,177,0.495,二、频率直方图,每一误差区间上的长方条面积，就代表误差出现在该区间的频率。,各长方条面积的总和等于,1,。,形象直观地描述误差分布情况。,三、偶然误差的,特性,(,1,)在一定观测条件下的有限次观测中，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值。,（,2,）绝对值较小的误差出现的频率大，绝对值较大的误差出现的频率小；,（3,）绝对值相等的正、负误差具有大致相等的出现频率；,（,4,）当观测次数无限增大时，偶然误差的理论平均值趋近于零。即偶然误差具有抵偿性。用公式表示为,四、概率密度函数,描述正态分布曲线的数学方程式称为正态分布的,概率密度函数,。,式中，,为,标准差,，以偶然误差为自变量，以标准差,为密度函数的唯一参数。,标准差的平方,2,为,方差,。方差为偶然误差平方的理论平均值。,标准差为,第三节 评定精度的指标,精度,是指一组误差分布的密集或离散的程度。,在相同的观测条件下进行的一组观测，它对应着一种确定的误差分布，,如果误差分布较为密集，则这一组观测精度较高；,如果误差分布较为离散，则这一组观测精度较低。,同精度观测值,一、中误差,正态分布曲线具有两个拐点，,拐点,在横轴上的坐标为,拐,=,的大小，可以反映精度的高低。故常用标准差,作为衡量精度的指标。,由有限个观测值的偶然误差求得的标准差的近似值（估值）称为“,中误差,”，,不同中误差的正态分布曲线,二、极限误差,根据误差理论，在大量同精度观测的一组误差中，误差落在,（-，+），（-2，+2）,和,（-3，+3）,的概率分别为：,通常将3倍标准差作为偶然误差的极限值限，称为,极限误差,。即,限,=3,在实际测量工作中，以3倍中误差作为偶然误差的容许值，称为,容许误差,或,限差,。要求较严格时常采用2倍中误差作为容许误差。,三、相对误差,例如:丈量两段距离：L,1,=1000,m,；L,2,=80,m,，,中误差分别为：,m,1,=20,mm,；,m,2,=20,mm,，,此时,衡量精度应采用,相对中误差,，它是中误差绝对值与观测值之比。,K,1,K,2,，可见L,1,的量距精度高于L,2,。,相对误差,等于误差的绝对值与相应观测值之比。它是一个无名数，通常写成分子为1的分数形式,，,即用,1,/,N,表示。,第四节 误差传播定律,问题,测量工作中某些未知量需要由若干,独立观测值,按一定的函数关系间接计算出来，即,某些量是观测值的函数,。,如何根据观测值的中误差求得观测值函数的中误差呢？,定义,阐述观测值中误差与观测值函数的中误差之间关系的定律，称为,误差传播定律,。,一、线性函数,设有线性函数,z,为,函授,z,的中误差关系式为,1.,倍数函数,z=k x,m,z,=,k m,x,一、线性函数,2.,和差函数,当观测值,x,i,为等精度观测时，,m,1,=m,2,=m,n,=m,，则上式变为,在水准测量中，,两水准点间的高差中误差,用下式计算,或,二、般函数,式中,x,1,x,2,x,n,为独立观测值，其中误差分别为,m,1,，,m,2,m,n,，,上式是误差传播定律的一般形式。,应用误差传播定律时，要求观测值必须是,独立观测值,，它们的真误差应是,独立误差,。,第五节 算术平均值及观测值的中误差,一、算术平均值设某个未知量的真值为,X,，,在相同的观测条件下,，对该量进行,n,次观测，观测值分别为,l,1,，,l,2,，,l,n,，求该,未知量的,最或然值,。,根据偶然误差的第（4）特性,当观测次数无限增大时，观测值的算术平均值趋近于该量的真值。,二、算术平均值的中误差,设对某量进行,n,次等精度观测，观测值为,l,i,，中误差均为,m,，,算术平均值的中误差是观测值中误差的 倍。,因此，,适当增加观测次数,可以提高算术平均值,的精度。,三、按观测值的改正数计算中误差,最或然值与观测值之差称为观测值的,改正数,（,v,）:,一组同精度观测值取算术平均值后，,各改正数的总和恒等于零,。这是算术平均值的特性，可以作为计算中的校核。,按观测值的改正值计算观测值中误差的公式,（,白塞尔公式,）,三、按观测值的改正数计算中误差,用改正数,计算算术平均值中误差,的公式,按观测值的改正值,计算观测值中误差,的公式,（白塞尔公式）,第六节 加权平均值及其精度评定,一、不等精度观测及观测值的权,如何根据不同精度的观测值来确定其最或然值呢？,“,权,”，此处用作“权衡轻重”之意。,某一观测值或观测值的函数的精度越高（中误差,m,越小），其权应越大。,以P 表示权，定义：,权与中误差的平方成反比,。,或,式中，,m,0,为任意常数。,求一组观测值的权时，必须采取同一,m,0,值。,一、不等精度观测及观测值的权,m,0,是权等于,1,的观测值的中误差，,等于,1,的权为,单位权,，权为,1,的观测值为,单位权观测值,。,m,0,为单位权观测值的中误差，简称为,单位权中误差,。,一组观测值的权之比等于它们的中误差平方的倒数之比。,m,0,起一个,比例常数,的作用。不论假设,m,0,为何值。这组权之间的比例关系不变。,权反映了观测值之间的相互精度关系。,就计算,P,值来说，不在乎权本身数值的大小，而在于确定它们之间的比例关系。,二、加权平均值,对某一未知量，,L,1,，,L,2,，,，,L,n,为一组不等精度的观测值，其中误差为,m,1,，,m,2,，,m,n,，,其权为,P,1,，,P,2,，,P,n,。其加权平均值为：,由于同一量的各个观测值都相近似，取,L,0,为近似值，计算加权平均值的,实用公式,为：,二、加权平均值,根据同一量的,n,次不等精度观测值，计算其加权平均值,x,后，用下式,计算观测值的改正值,不等精度观测值的改正值还满足下列条件：,三、定权的常用方法,1.水准测量的权,（1）按,测站数,定权,设每测站观测高差的精度相同，其中误差均为,m,站,，则不同测站数的水准路线,观测高差的中误差,为：,式中,n,i,为各水准路线的测站数。,取,c,个测站观测高差的中误差为单位权中误差，即,（,i,=1，2，,n,）,则各路线,观测高差的权,为,（,i,=1，2，,n,）,（2）按水准路线长度定权,设每千米观测高差的精度相同，其中误差均为,m,km,，各路线,观测高差的权,为,：,（,i,=1，2，,n,）,式中,L,i,为各路线距离的千米里数，,c,是单位权观测高差的路线千米数。,当每千米观测高差为同精度时，各路线观测高差的权与距离的千米数成反比,。,2.距离丈量的权,在丈量距离时，如果单位长度（,1,km,）丈量精度均相等，设为,m,km,，丈量,D,i,千米距离的权为：,（,i,=1，2，,n,）,式中,c,是单位权观测值的千米数。,当单位长度丈量的中误差均相等时，距离丈量的权与其长度成反比。,3.同精度观测值的算术平均值的权,设有一组观测值,L,1,L,2,，,L,n,，它们分别是,N,1,N,2,N,n,个同精度观测值的算术平均值，若每次观测的中误差均为,m,，各算术平均值的中误差,（,i,=1，2，,n,）,（,i,=1，2，,n,）,各,L,i,的权为,由不同个数的同精度观测值所求得的算术平均值，其权与观测值个数成正比。,四、加权平均值的中误差,加权平均值的权即为观测值的权之和。,五、单位权中误差的计算,只要算出单位权中误差，根据各观测值的权和观测值函数的权，就可计算出各观测值的中误差和观测值函数的中误差。,设有一组不等精度观测值,L,i,（,i,=1，2，,n,），其权和真误差分别为,P,i,和,i,。,用不同精度观测值的真误差计算单位权中误差的公式：,按不等精度观测值的改正数计算单位权中误差的公式：,思考题,1.为什么在观测结果中一定存在偶然误差？偶然误差有何特性？能否将其消除?,2.观测结果中的系统误差有什么特点，它给观测结果带来怎样的影响?如何减弱或消除？,3.何谓中误差、极限误差和相对误差？中误差和真误差有何区别？,4.什么是单位权？什么是单位权中误差？什么样的观测值称为单位权观测值？,