1、单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,3.1.3,导数的几何意义,4/30/2025,先来复习导数的概念,定义：,4/30/2025,练习：,4/30/2025,瞬时速度就是位移函数,s(t,),对时间,t,的导数,.,是,函数,f,(,x,),在以,x,0,与,x,0,+,x,为端点的区间,x,0,x,0,+,x(,或,x,0,+,x,x,0,),上的,平均变化率,而导数则是函数,f,(,x,),在点,x,0,处的,变化率,它反映了函数随自变量变化而变化的快慢程度,如果函数,y=,f(x,),在点,x=x,0,存在导数,就说函数,y=,f
2、x,),在点,x,0,处,可导,如果极限不存在,就说函数,f(x,),在点,x,0,处,不可导,.,4/30/2025,由导数的意义可知,求函数,y=,f(x,),在点,x,0,处的导数的基本方法是,:,注意,:,这里的增量不是一般意义上的增量,它可正也可负,.,自变量的增量,x,的形式是多样的,但不论,x,选择,哪种形式,y,也必须选择与之相对应的形式,.,4/30/2025,下面来看导数的几何意义,:,y=,f(x,),P,Q,M,x,y,O,x,y,P,y=,f(x,),Q,M,x,y,O,x,y,如图,曲线,C,是函数,y=,f(x,),的图象,P(x,0,y,0,),是曲线,C,上
3、的,任意一点,Q(x,0,+,x,y,0,+,y),为,P,邻近一点,PQ,为,C,的割线,PM/x,轴,QM/y,轴,为,PQ,的,倾斜角,.,斜率,!,4/30/2025,P,Q,o,x,y,y=,f(x,),割线,切线,T,请看当点,Q,沿着曲线逐渐向点,P,接近时,割线,PQ,绕着点,P,逐渐转动的情况,.,4/30/2025,我们发现,当点,Q,沿着曲线无限接近点,P,即,x,0,时,割线,PQ,有一个极限位置,PT.,则我们把直线,PT,称为曲线在点,P,处的,切线,.,设切线的倾斜角为,那么当,x0,时,割线,PQ,的斜率,称为曲线在点,P,处的,切线的斜率,.,即,:,这个概念
4、提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法,;,切线斜率的本质,函数在,x=x,0,处的导数,.,4/30/2025,例,1:,求曲线,y=,f(x,)=x,2,+1,在点,P(1,2),处的切线方程,.,Q,P,y,=,x,2,+1,x,y,-,1,1,1,O,j,M,D,y,D,x,因此,切线方程为,y-2=2(x-1),即,y=2x.,4/30/2025,求切线方程的一般步骤：,4/30/2025,4/30/2025,4/30/2025,小结：,导数的几何意义,求切线方程的一般步骤,4/30/2025,练习,:,如图已知曲线,求,:,(1),点,P,处的切线的斜率,;(2),点,P,处
5、的切线方程,.,y,x,-2,-1,1,2,-2,-1,1,2,3,4,O,P,即,点,P,处的切线的斜率等于,4.,(2),在点,P,处的切线方程是,y-8/3=4(x-2),即,12x-3y-16=0.,4/30/2025,在不致发生混淆时，,导函数,也简称,导数,什么是导函数,?,由函数,f(x,),在,x=x,0,处求导数的过程可以看到,当时,f(x,0,),是一个确定的数,.,那么,当,x,变化时,便是,x,的一个函数,我们叫它为,f(x,),的导函数,.,即,:,4/30/2025,如何求函数,y=,f(x,),的导数,?,4/30/2025,看一个例子,:,4/30/2025,下
6、面把前面知识小结,:,a.,导数是从众多实际问题中抽象出来的具有相同的数,学表达式的一个重要概念，要从它的几何意义和物,理意义了解认识这一概念的实质，学会用事物在全 过程中的发展变化规律来确定它在某一时刻的状态。,b.,要切实掌握求导数的三个步骤：,（,1,）求函数的增 量；,（,2,）求平均变化率；,（,3,）取极限，得导数。,4/30/2025,（,3,）函数,f(x,),在点,x,0,处的导数 就是导函数,在,x=x,0,处的函数值，即 。这也是,求函数在点,x,0,处的导数的方法之一。,小结,:,（,2,）函数的导数，是指某一区间内任意点,x,而言的,就是函数,f(x,),的导函数 。,（,1,）函数在一点处的导数，就是在该点的函数的改,变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个,常数，不是变数。,c.,弄清“函数,f(x,),在点,x,0,处的导数”、“导函数”、“导数”,之间的区别与联系。,4/30/2025,（,1,）求出函数在点,x,0,处的变化率 ，得到曲线,在点,(x,0,f(x,0,),的切线的斜率。,（,2,）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即,d.,求切线方程的步骤：,小结,:,无限逼近的极限思想是建立导数概念、用导数定义求 函数的导数的基本思想，丢掉极限思想就无法理解导 数概念。,4/30/2025,
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