1、单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,一、概念的引入,第三节 阶行列式的定义和性质,三阶行列式,说明,（,1,）,三阶行列式共有 项，即 项,（,2,）每项都是位于不同行不同列的三个元素的,乘积,（,3,）,每项的正负号都取决于位于不同行不同列 的三个元素的下标排列,1,列标排列的逆序数为,偶排列,奇排列,例如,列标排列的逆序数为,2,二、阶行列式的定义,定义,3,第一定义式：,4,说明,1,、,行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和未知量个数相同
2、的一次方程组的需要而定义的,;,2,、阶行列式是 项的代数和,;,3,、,阶行列式的每项都是位于不同行、不同列 个元素的乘积,;,4,、,一阶行列式 不要与绝对值记号相混淆,;,5,、的符号为,5,例题,例,1,计算对角行列式,分析,解,在阶行列式的定义中，行列式的元素,记作，记号不仅代表一个数，还表明这个数在行列式中的位置本例中是具体数，不能显示它们在行列式中的位置因此，需要把数在行列式中的位置标示出来,从而得到乘积中各元素的列标排列为,6,即行列式中不为零的项为,所以 只能等于,同理可得,从而这个项为零，,展开式中项的一般形式是,7,例,证明,对角行列式,8,证明,第一式是显然的,下面证第
3、二式,.,若记,则依行列式定义,证毕,9,例,计算上,三角行列式,分析根据行列式的定义，,展开式中项的一般形式是,所以不为零的项只有,解,当时,，,此项等于零，因此,对于,当时,，,从而此项也等于零，因此,10,同理可得,下三角行列式,11,例,12,3.,行列式的第二种定义,对于行列式展开式的任意一项,其中行标排列 为自然排列，,为列标排列,的逆序数,，,交换 与 的位置得,这时，这一项的值不变，而行标排列与列标排列同,作了一次相应的对换：,13,由于行标排列和列标排列都作了一次对换，因此,它们逆序数之和的奇偶性没有改变,.,则 和 的奇偶性相同，从而,这表明，行列式的展开式中每一项前的符号
4、由行,标排列和列标排列的逆序数之和的奇偶性确定,.,当列,标排列变为标准排列时，行标排列相应的变为一个,新的排列，设为 ，其逆序数为 ，则,14,定理,2,阶行列式也可定义为,其中,为行标排列的 逆序数,.,第二种定义式,15,练习,16,四、行列式的性质,记,行列式,称为行列式,的,转置行列式,.,性质,1,行列式与它的转置行列式相等,.,说明,此性质表明，行列式中的行和列具有同等的地,位，行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立，,反之亦然,.,证明,17,性质,2,互换行列式的两行（列），行列式变号,.,推论,如果行列式有两行（列）完全相同，则此,行列式等于零,.,证明,性质,3,证明,
5、行列式的某一行（列）中所有的元素都乘,以同一数,等于用数 称此行列式,.,性质,4,推论,行列式中如果有两行（列）元素成比例，,则此行列式等于零,.,行列式中某一行（列）的所有元素的公因,子可以提到行列式符号的外面,.,举例,18,性质,5,若行列式的某一行（列）的元素都是两数,之和，例如第 列的元素都是两数之和：,则 等于下列两个行列式之和：,说明,此性质表明行列式可以按照某一行（列）分拆成两个行列式,.,19,性质,6,把行列式的某一列（行）的各元素乘以同,一数然后加到另一列（行）对应的元素上,去，行列式的值不变,.,例如,以数,k,乘第,1,列加到第,3,列,20,五、小结,1,、,行列
6、式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的,.,2,、,阶行列式共有 项，每项都是位于不同行、不同列的 个元素的乘积,正负号由下标排列的逆序数决定,.,3,、,行列式共有,6,条性质和两条推论,.,21,思考题,已知,22,含 的项有两项,即,对应于,又,思考题解答,23,性质,1,的证明,记,则,根据定义,根据第二种定义,返回,下标不表示在行列式中的位置,24,性质,2,的证明,对换 两行得到,则当 时,，,当 时,，,于是,25,这时，行标排列 为自然排列，列标排,列为,而 为,排列 的,逆序数,，,设排列 逆序数为 ，则,返回,26,以数 乘第四行的各,元素加到第一行：,(1),(2),返回,27,性质,3,的证明,记,则当 时，,当 时,，,于是,返回,28,
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