1、高等数学电子教案,第二节 换元积分法,一、第一类换元法,通常一个函数的导数是容易求出的,但是要求一个,函数的原函数是很困难的.直到现在只能求出绝少部分,的原函数.为了求解原函数，现在介绍几种常用的积分,方法.第一换元积分法也称为凑元法。,定理1 设,u,=,(,x,),在区间,a,b,上可导,g,(,u,)在,.,上有,原函数,G,(,u,),则不定积分存在,且,证明:用复合函数的求导法则，验证,第一换元积分法(凑元法)的关键是把f(x)dx凑成,g(x),(x)dx如何凑?这是一个技巧性很强的工作，,要求我们熟练掌握基本积分公式。在解题前需要一些,三角函数的恒等变换,分子分母的有理化,分子
2、加减某,项等方法.但不同的方法得到积分的结果往往不相同,我们可通过求导可知道它们是否同一被积函数.,“凑”的方法：通常把较复杂的函数看成,g,(,(,x,),例1,例2,的积分，,对于形如,当,m,n,中有一个为奇数时，总可以用这个方法处理.,例3,例4,例5,(1)关于自变量是线性形式,例如,(2)被积函数可写成,常见的凑元法有以下几种情况:,的形式，例如,(3)被积函数可写成,f,(,x,n,),x,n,-1,的形式,例如,(4)被积函数可写成,g,(,x,n,),x,2,n,-1,的形式,例如,(5)被积函数可写成,f,(sin,x,)cosx或,f,(cos,x,)sin,x,的形式,
3、例如,(6)被积函数可写成,(7)利用三角函数公式,常用的三角形式:,倍角公式,积化和差公式,的形式,例如,此外，常用的三角公式还有sec,2,x,=1+tg,2,x,等,例如,例6,例7,例8,例9,例10,例11,例12,例13,例14,例15,例16,二、第二换元法,定理 设,x,=,(,t,)是单调,可导的函数,并且,(,t,)0,又设,f,(t),(,t,)具有原函数,(,t,),则有换元公式,成立，其中,是,x,=,(,t,)的反函数.,证明:,公式成立是有条件的.,1)等号右边的不定积分或原函数要存在,且容易积分.,2)求出后要用反函数代回原变量.单调性是保证反函数的,存在.,常
4、用的变量代换有下列四种类型：,利用三角函数进行代换,可以使被积函数简单,当被积函数含有平方和或平方差的二次根式时,根据恰,当的三角恒等式作三角代换.例如对,1、三角代换,例1 求,解:,例2 求,解:,例3 求,把,x,a,及,x,-,a,的结合起来,我们得到,从上面的例子可看出:,可作代换,x,=,a,sin,t,化去根式;,，,如果被积函数含有,，,可作代换,x,=,a,tan,t,化去根式;,如果被积函数含有,如果被积函数含有,，,可作代换,x,=,a,sec,t,化去根式;,但具体解题时要分析被积函数的具体情况,选取尽可能简,捷的代换.,例如,当被积函数是三角有理式时,作“万能”代换,将被积,函数有理化.,例4 求,还有一部分采用反三角函数代换，例如,t,x,1,例5 求,2、根式代换,目的是将无理数变成有理数,便于积分,例6,求,3、倒数代换,，应用双曲代换,例7 求,4、双曲代换,当被积函数含有根号,时有类似的结果,综合得到,下面的积分在今后的计算中常会遇到,我们可把它们作,为积分公式处理.,例8 求,解:,例9 求,解:,例10 求,解:,利用上述结果进行二次根式,的有理式积分,例11,例12,例13,
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