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东 南 大 学 考 试 卷
学号 姓名
一.填空题( 前四题每题4分, 第5题8分, 满分24分)
1．函数的全部间断点分别是, 它们的类型依次分别为 跳跃间断点, 无穷间断点;
2．已知, 则, ; 3．设, 其中为可微函数, 则微分;
4．设, 若在处可导, 则, ;
5．举出符合各题要求的一例, 并将其填写在横线上:
( 1) 在处不连续, 但当时, 极限存在的函数有,
( 2) 在处
2、连续, 但在时不可导的函数有,
( 3) 在处导数为, 但不为极值点的连续函数有,
( 4) 属于””或””未定型, 且存在有限极限, 但极限不能用洛必达法则求得
的有.
二.单项选择题( 每题4分, 满分12分)
1．设是单调增函数, 是单调减函数, 且复合函数,
都有意义, 则下列函数组中全为单调减函数的是 [ C ]
(A) (B)
(C) (D)
2．当时, 若是比更高阶的无穷小, 则 [ B ]
(A) (B) (C)
3、 (D)
3．下面四个论述中正确的是 [ D ]
(A)若, 且数列单调递减, 则数列收敛, 且其极限 (B)若, 且数列收敛, 则其极限
(C)若, 则
(D)若, 则存在正整数, 当时, 都有。
三.计算题( 每题7分, 满分35分)
1． 解: 2.解:
3．设, 求 .
解:
4. 设, 求.
解:
5. 设是由方程所确定的隐函数, 求曲线在点
处的切线方程.
解: 对方程关于求导得: , 将代入得,
4、 于是所求切线方程为, 即.
四.( 8分) 设, 证明数列收敛并求极限.
证: , 有上界。
, 设,
, 由归纳法得: 单调递增,
故收敛。设在递推关系式中令, 得
, 即, 得, 由极限保序性得,
故
五.( 8分) 证明: 当时, 有
.
证: 设,
,
( 3分) 因此 , 故, 原不等式得证。
六. (7分) 设函数在区间上连续, 在内可导, , 试证: 存在一点, 使得
证: 设, 在区间上连续, 在内可导, 且
, 由罗尔定理知, 使得
, 由于, 得
七．(6分) 设 (其中为正整数),
( 1) 证明: 在内有唯一的零点, 即存在唯一的, 使;
( 2) 计算极限.
证: ( 1) 令, , ,
, 故, 使得,
在区间上连续, 在内至少存在一个零点。
, 记,
, , 即, 在内严格单调递减, 在内至多存在一个零点。在内存在唯一零点, 即在内存在唯一零点, 记为。
( 2) 由于, 而严格单调递减, 故
, 因此 , 得,
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