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学 号
14051103

年论文

论文题目:
二重积分的计算与应用研究

院( 系) 名 称:
信息工程学院
专 业 名 称:
数学与应用数学专业
学 生 姓 名:
丁乾龙
指 导 教 师:
王君( 讲师)

哈尔滨学院
9月

学 号
14051103

密 级
公开

二重积分的计算与应用研究

Double Integral Calculation and Its Application

学生姓名:
丁乾龙
所在学院:
信息工程学院
所在专业:
数学与应用数学
指导教师:
王君
职 称:
讲师
所在单位:
哈尔滨学院
论文提交日期:
08月25日
论文答辩日期:

学位授予单位:

目 录
摘 要 IV
ABSTRACT V
前 言 1
第1章 绪论 2
1.1 选题背景 2
1.2 选题意义 2
1.3研究现状 2
1.4研究思路 3
第2章 二重积分的基本计算方法 4
2.1 二重积分的定义与性质 4
2.2 利用直角坐标系计算二重积分 5
2.3 利用变量替换法计算二重积分 7
2.4利用极坐标系计算二重积分 9
第3章 特殊二重积分的计算技巧 12
3.1 利用函数奇偶性与区域对称性计算 12
3.2 利用格林公式计算 13
3.3 利用轮换法计算 14
3.4 利用二重积分的几何意义计算 14
结 论 16
参考文献 17

摘 要
二重积分在现实中有着广泛的应用, 二重积分可用于求解空间立体体积和曲面面积。在物理力学中, 二重积分也有着不可代替的作用。
本文给出二重积分的概念及基本性质, 在此基础上总结了二重积分的七种比较常见的计算方法与计算技巧: 利用直接坐标系计算、 利用变量特换法计算、 利用极坐标系计算、 利用函数的奇偶性和区域对称性计算、 利用格林公式计算、 利用轮换法计算、 利用二重积分的几何意义计算, 还研究了一些二重积分在物理力学、 计算空间立体体积、 计算曲面面积、 计算曲线积分和曲面积分等方面的应用问题。

关键词: 二重积分; 计算方法; 计算技巧

ABSTRACT
The double integral is widely used in practice, the double integral can be used to solve the three-dimensional volume and surface area. In mechanics, the double integral also has an irreplaceable role.
This paper gives the concept and nature of the double integral, on the basis of summing up the seven common calculation method of double integral and calculation skills:using direct coordinate system to calculate, using variable replacement method to calculate, using the polar coordinate to calculate, using function and regional symmetry to calculate, using the parity of green formula to calculate, using the method of rotation to calculate, using the geometric meaning of double integral to calculate, also studies on some practical problems about the double integral such as physical mechanics, calculation of three-dimensional volume, surface area calculation, the calculation of curvilinear integral and surface integral.

Key words: double integral; computational methods; computational skills;

前 言
二重积分是《数学分析》中的重要内容, 它上承接着定积分, 下引出三重积分和曲线积分、 曲面积分.它在几何、 物理、 经济学等多个科学都有极其广泛的应用.函数的二重积分是《数学分析》中的重要内容, 它涉及到多个科学领域, 并起着至关重要的作用.然而在计算函数二重积分的过程中, 由于计算和函数比较繁琐, 因此按照二重积分的定义计算二重积分有很大的局限.计算机的广泛应用, 特别是MATLAB等数学计算软件的迅猛普及为二重积分的发展和应用开辟了广阔的前景.然而计算函数二重积分往往比较复杂和繁琐, 因此, 研究二重积分的计算不但很有必要, 而且不断寻找简便的算法依然是二重积计算方面的重要课题.

第1章 绪论
1.1 选题背景
对于二重积分的应用主要体现在求曲线积分, 曲面积分, 曲面面积和物理学中的一些平面薄板的重心坐标, 转动惯量以及对质点的引力等问题, 利用二重积分能够巧妙解决这些问题, 因此二重积分的计算与应用在物理学当中, 特别是在数学分析里是一门不可缺少的重要知识。
1.2 选题意义
二重积分的计算和应用研究在高等数学研究中具有重要意义, 对于二重积分的研究不但仅体现在理论上, 与其相关的几何模型和物理模型也在被讨论研究.二重积分的研究虽然以前也有不少人研究过, 但多数人只是理论上研究, 在实际应用中的研究还比较少, 比如在求物体的重心, 以及引力等, 甚至经济学中方面相关深入的研究比较狭窄[4].
在有些应用当中, 我们会遇到一些二重积分基本运算问题, 即在给定的被积函数和积分区域比较特殊时, 计算二重积分, 此时计算量就会很大.因此, 不断寻找简便的算法便成为二重积分运算方面的重要课题。
1.3 研究现状
采用层进式教学法能够由浅入深的让学生轻松掌握这种积分的算法.是高等数学的重点, 也是难点, 计算较为繁琐, 有的二重积分需要一定的技巧才能求出, 二重积分的计算方法主要是在极坐标系和直角坐标系下将二重积分化为二次积分, 进而要利用两次定积分计算此二重积分, 可是某些二重积分化为二次积分后计算仍相当困难, 这时, 我们就要采用特殊的算法计算。
文献[1]介绍了二重积分的发展及其相关应用; [2]~[15]主要介绍了二重积分的一些计算方法和相关性质定理; [16]~[26]主要介绍了一些二重积分在力学方面的一些应用.郑兆顺探究了直角坐标系下二重积分的计算; 曹毅探究了利用变量替换与极坐标系下二重积分的计算; 李娟探究了利用函数的奇偶性和积分区域的对称性简化二重积分的计算; 赵赫探究了利用格林公式来计算二重积分, 本文在此基础上还探究了一下利用轮换法, 格林公式, 二重积分的几何意义来计算一些特殊的二重积分[9]~[13].
1.4选题意义
经过查看图书与学校电子阅览室里的有关二重积分计算的资料, 最终分析决定主要研究以下几个方面:
( 1) 二重积分的基本计算方法;
( 2) 二重积分的特殊计算方法;
( 3) 二重积分的应用.
根据被积函数和积分区域的不同特征熟练采用不同的计算方法求二重积分.上述介绍的几种方法不一定全是最简单的, 也不是独立存在的, 有时还需要相互配合使用.总之, 在二重积分计算过程中要充分运用被积函数和积分区域的特征寻求最佳计算方法, 这对于知识的内在联系及推广思路, 是大有裨益的, 而能熟练选择出最简单的计算方法的能力需要在实践中逐步提高。
本课题最终将达到的目标: 根据被积函数和积分区域的特点选择简便的计算方法; 利用二重积分的一些性质来解决实际问题。

第2章 二重积分的基本计算方法
2.1 二重积分的定义与性质
设是定义在可求面积的有界闭区域上的函数, 是一个确定的数, 若对任给的正数, 总存在某个正数, 使对于的任何分割, 当它的细度<时, 属于的所有积分和都有
, ( 1)
则称在上可积, 数称为函数在上的二重积分, 记作
,
其中称为二重积分的被积函数, , 称为积分变量, 称为积分区域.
当时, 二重积分在几何上就表示以为曲顶, 为底的曲顶柱体的体积.当时, 二重积分的值就等于积分区域的面积.
由二重积分定义知道, 若在区域上可积, 则与定积分情况一样, 对任何分割, 只要当时, ( 1) 式都成立.因此为方便计算起见, 常选取一些特殊的分割方法, 如选用平行于坐标轴的直线网来分割, 则每一小网眼区域的面积.
此时一般把记作.
二重积分具有一系列与定积分完全相类似的性质, 现列举如下:
性质1 若在区域上可积, 为常数, 则在上也可积, 且
.
性质2 若在上都可积, 则在上也可积, 且
.
性质3 若在和上都可积, 且与无公共内点, 则在上也可积, 且
.
性质4 若在上可积, 且, 则
.
性质5 若在上可积, 则函数在上也可积, 且
.
性质6 若在上可积, 且, 则

这里是积分区域的面积.
性质7(中值定理) 若在有界闭区域上连续, 则存在, 使得

这里是积分区域的面积.
中值定理的几何意义是以为底, 为曲顶的曲顶柱体体积等于一个同底的平顶柱体的体积, 这个平顶柱体的高等于在区域中某点的函数值.

2.2利用直角坐标系计算二重积分
定理1 设在矩形区域上可积, 且对每个, 积分存在, 则累次积分也存在, 且
.
定理2 设在矩形区域上可积, 且对每个, 积分存在, 则累次积分也存在, 且

.

定理3 设有界闭区域是由两条交合曲线与, 且, 以及直线与所围成, 若函数在上连续, 则有.
定理4 设有界闭区域是由两条交合曲线与, 且以及直线与所围成, 若函数在上连续, 则有
.
例1 计算二重积分, 其中区域是由直线, 和双曲线所围成.
解 : 先对积分后对积分, 将积分在轴上, 在区间, 对任意, 对积分, 在内的积分顺序是到, 然后在积分区间上对积分, 即.
同理, 如果先对积分后对积分, 也可得到相应结果.
若给定的积分为二次积分, 但它不能用初等函数形式表示出来或者积分的计算量较大, 可考虑交换积分次序, 其一般步骤为: ( 1) 先根据给定的二次积分限, 写出积分区域的不等式表示式, 并依此作出区域的图形; (2)根据区域的图形, 重新选择积分限, 化为另一种类型的二重积分.特别地, 若积分被积函数中出现, , , 等函数时, 也可利用分部积分法来计算[6].
例2 设是由直线及围成的区域, 试计算: 的值.
解 : 若用先对后正确积分, 则
.
由于函数的原函数无法用初等函数形式表示, 因此改用另一种顺序的累次积分, 则有.由分部积分法, 即可算得:
.
许多常见的区域都能够分解成为有限个除边界外无公共内点的型区域或型区域因而解决了型区域或型区域上二重积分的计算问题, 那么一般区域上二重积分的计算问题也就得到了解决.
例3 计算二重积分, 其中为由直线及所围的三角形区域.
解: 当把看作区域时, 相应的
, .
因此

.

2.3利用变量替换法计算二重积分
当被积函数较为复杂, 这时能够考虑利用变量变换化被积函数为简单函数, 原积分区域相应的转化为新的积分区域, 进而利用公式进行计算[7].
引理 设变换, 将平面上由按段光滑封闭曲线所围的闭区域, 一对一地映成平面上的闭区域, 函数, 在内分别具有一阶连续偏导数且它们的函数行列式, , 则区域的面积.
定理5 设在有界闭区域上可积, 变换, 将平面由按段光滑封闭曲线所围成的闭区域一对一地映成平面上的闭区域, 函数, 在内分别具有一阶连续偏导数且它们的函数行列式, 则.
例4 求, 其中是由, , 所围区域.
解: 为了简化被积函数, 令, , 为此作变换 , , 则, 在变换的作用下,
.
例5 求抛物线, 和直线, 所围成区域的面积, .
解: 的面积.为了简化积分区域, 作变换, .
它把平面上的区域对应到平面上的矩形区域.
由于, ,
因此.
2.4 利用极坐标系计算二重积分
当积分区域是圆域或圆域的一部分, 或者被积函数的形式为时, 采用极坐标变换, 往往能达到简化积分区域或被积函数的目的.此时, 变换的函数行列式为.
应用极坐标替换将直角坐标系中的二重积分化为极坐标系中的二重积分, 能简化二重积分的计算, 二重积分的极坐标替换是
.
下面介绍二重积分在极坐标系下如何化为累次积分计算.
( 1) 若原点0且平面上射线常数与的边界至多交于两点, 则可表示成, ,
于是有.
类似地, 若平面上的圆常数与的边界至多交于两点, 则必可表示为, , 因此.
( 2) 若原点为的内点, 的边界的极坐标方程为, 则可表示成 , , 因此.
( 3) 若原点0在的边界上, 则为, ,
于是有.
例6 计算, 其中为区域.
解 : 如果用直角坐标系来计算, 这个积分却无法求出, 现采用极坐标,
此时表示为, , 故有
.
例7 计算, 其中为圆域: .
解: 由于原点为的内点, 故有
.
与极坐标相类似, 我们也能够作下面的广义极坐标变换: , ,
并计算得[8].
　例8 求椭球体的体积.
解: 由对称性, 椭球体的体积是第一卦限部分体积的8倍, 这一部分是以 为曲顶, 为底的曲顶柱体, 因此.应用广义极坐标变换, 由于, 因此.
第3章 特殊二重积分的计算技巧
3.1 利用函数奇偶性与区域对称性计算
( 1) 设区域关于轴对称, 若函数关于是奇函数, 因为函数关于是奇函数, 即关于原点对称, 因此有, 则; 若函数关于是偶函数, 因为函数关于是偶函数, 即关于轴对称, 因此有, 则 ( 其中是区域位于轴右侧的部分) .
( 2) 设区域关于轴对称, 若函数关于是奇函数, 因为函数关于是奇函数, 即关于原点对称, 因此有, 则; 若函数关于是偶函数, 因为函数关于是偶函数, 即关于轴对称, 因此有, 则( 其中是区域位于轴上侧的部分) .
( 3) 设区域关于轴和轴都对称, 同时也是关于对称的, 因为区域关于轴和轴对称, 也是关于对称, 因此有, , 则有( 其中是区域位于第一象限中的部分) .
下面仅证明( 1) , 类似能够证明( 2) , 由( 1) 和( 2) 可得( 3) .
证明: 由条件知, , 则, 其中分别是轴右侧, 左侧的部分.从而, 令, 则, .
当关于是奇函数, 即时, 有

故.
当关于是偶函数, 即时, 有

故.
例9 计算双纽线所围成的面积.
解: 采用极坐标变换, , 双纽线的极坐标方程是.因为双纽线关于轴和轴对称, 于是, 双纽线所围成区域的面积是第一象限内那部分区域面积的四倍.
第一象限那部分区域是,
于是.
例10 计算, 其中: .
解法1: , 时, 分为四个区域, 即在一, 二, 三, 四象限的部分依次记为.
利用极坐标计算这个二重积分
解法2: ( 利用奇偶对称性)
由于积分区域关于轴和轴对称, 而被积函数关于和是偶函数.因此有
.
3.2利用格林公式计算
定理6 若函数, 在闭区域上连续, 且有连续的一阶偏导数, 则有, 这里为区域的边界曲线, 并取正方向.
格林公式沟通了沿闭曲线的积分与二重积分之间的联系.
例11 计算, 其中是以, , 为顶点的三角形闭区域.
解: 令, , 则, 应用格林公式有

3.3 利用轮换法计算
当积分区域关于直线对称时, 有些二重积分可用轮换坐标的方法来简化计算.轮换坐标是换元法的一种特殊形式, 即将, 互换.将, 更换顺序后, 相当于将坐标轴重新命名, 积分区域没有发生变化, 则被积函数作相应变换后, 积分值不变.
例12 求, 其中为区域.
解: 积分区域关于直线对称, 根据轮换坐标对称性, 将, 互换, 则
.
3.4 利用二重积分的几何意义计算
二重积分的几何意义是各部分区域上柱体体积的代数和, 在平面上方的取正, 在平面下方的取负[15].
例13 计算二重积分, 其中.
解: 投影区域为圆域.被积函数为半球面
由二重积分的几何意义得.

结 论
本次的论文是对大学学习的一个总结.在历时将近两周的时间里, 在查找资料, 准备开题和论文设计过程中, 遇到了许许多多的问题, 在遇到问题, 分析问题和解决问题的过程中, 论文也慢慢地成型, 虽然在某些细节上还是比较粗糙, 但总体上还是达到了基本的研究要求, 基本能够解决一些常见的二重积分的计算这一问题, 为二重积分的计算提供一个参照.
当然, 在具体求解一个二重积分的计算时, 根据被积函数和积分区域的特点采用不同的计算方法是求二重积分的关键.上述介绍的几种方法不一定全是最简单的, 也不是独立存在的, 有时还需要相互配合使用.总之, 在二重积分的求解过程中要充分运用已知条件选择最佳计算方法, 这对于沟通积分各部分内容之间的联系及推广思路, 是大有裨益的, 而能熟练选择出最简单的计算方法的能力需要在实践中逐步提高.

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